Całka krzywoliniowa skierowana w R
3Wstęp
Definicja
Załóżmy, że łuk>
AB jest łukiem skierowanym, tzn. nadajemy mu kierunek od punktu A do punktu B, a przedstawienie parametryczne tego łuku ma postać:
x = x (t) y = y (t) z = z(t)
t ∈ [α; β] x (t), y (t) i z(t) – funkcje ciągłe
Jeżeli wartości parametru t = α odpowiada punkt A = (x (α), y (α), z(α)), a wartości parametru t = β odpowiada punkt B = (x (β), y (β), z(β)), to mówimy, że parametryzacja jest zgodna z kierunkiem łuku>
AB,a jeżeli jest odwrotnie, to mówimy, żeparametryzacja jest niezgodna z kierunkiem łuku>
AB (przeciwna do kierunku łuku).
3
Wstęp
Definicja
Załóżmy, że łuk>
AB jest łukiem skierowanym, tzn. nadajemy mu kierunek od punktu A do punktu B, a przedstawienie parametryczne tego łuku ma postać:
x = x (t) y = y (t) z = z(t)
t ∈ [α; β] x (t), y (t) i z(t) – funkcje ciągłe
Jeżeli wartości parametru t = α odpowiada punkt A = (x (α), y (α), z(α)), a wartości parametru t = β odpowiada punkt B = (x (β), y (β), z(β)), to mówimy, że parametryzacja jest zgodna z kierunkiem łuku>
AB,
a jeżeli jest odwrotnie, to mówimy, żeparametryzacja jest niezgodna z kierunkiem łuku>
AB (przeciwna do kierunku łuku).
Wstęp
Definicja
Załóżmy, że łuk>
AB jest łukiem skierowanym, tzn. nadajemy mu kierunek od punktu A do punktu B, a przedstawienie parametryczne tego łuku ma postać:
x = x (t) y = y (t) z = z(t)
t ∈ [α; β] x (t), y (t) i z(t) – funkcje ciągłe
Jeżeli wartości parametru t = α odpowiada punkt A = (x (α), y (α), z(α)), a wartości parametru t = β odpowiada punkt B = (x (β), y (β), z(β)), to mówimy, że parametryzacja jest zgodna z kierunkiem łuku>
AB,a jeżeli jest odwrotnie, to mówimy, żeparametryzacja jest niezgodna z kierunkiem łuku>
AB (przeciwna do kierunku łuku).
3
Wstęp
Definicja
Jeżeli krzywa zamknięta K jest skierowana w ten sposób, że powierzchnia, której brzegiem jest ta krzywa, znajduje się po lewej stronie krzywej, to mówimy, że krzywa K jest skierowana dodatnio (oznaczenie: +K ), w przeciwnym przypadku krzywa K jest skierowana ujemnie (oznaczenie:
−K ).
Określenie i sposób obliczania całki krzywoliniowej skierowanej
Definicja Załóżmy, że>
AB jest łukiem gładkim skierowanym.
Niech ponadto w każdym punkcie łuku>
AB będzie określone pole wektorowe ~F (x , y , z) = [P(x , y , z), Q(x , y , z), R(x , y , z)] (np. pole grawitacyjne, elektryczne, magnetyczne), gdzie P(x , y , z), Q(x , y , z) oraz R(x , y , z) są funkcjami ciągłymi.
3
Określenie i sposób obliczania całki krzywoliniowej skierowanej
Definicja - c.d.
Całkę krzywoliniową skierowaną w R3 określamy wzorem:
Z
>AB
P(x , y , z) dx + Q(x , y , z) dy + R(x , y , z) dz =
=
β
Z
α
P(x (t), y (t), z(t))x0(t) + Q(x (t), y (t), z(t))y0(t)+
+R(x (t), y (t), z(t))z0(t)dt jeżeli>
AB jest łukiem danym parametrycznie o parametryzacji zgodnej z kierunkiem łuku.
Określenie i sposób obliczania całki krzywoliniowej skierowanej
Uwaga
Jeżeli parametryzacja łuku jest niezgodna z jego kierunkiem, to przed całką oznaczoną w powyższym wzorze bierzemy znak „−”.
3
Gradient funkcji. Rotacja, dywergencja, potencjał pola wektorowego
Definicja
Niech f (x , y , z) będzie funkcją, która ma ciągłe pochodne cząstkowe I-szego rzędu w pewnym obszarze D ⊂ R3.
Gradientem funkcji f nazywamy pole wektorowe
∇f (x, y , z) =
∂f
∂x,∂f
∂y,∂f
∂z
Definicja
Niech P(x , y , z), Q(x , y , z), R(x , y , z) będą funkcjami, które mają ciągłe pochodne cząstkowe I-szego rzędu w pewnym obszarze D ⊂ R3.
Rotacją (wirowością) pola wektorowego
F (x , y , z) = [P(x , y , z), Q(x , y , z), R(x , y , z)] nazywamy pole wektorowe~ rot ~F =
∂R
∂y −∂Q
∂z,∂P
∂z −∂R
∂x,∂Q
∂x −∂P
∂y
Gradient funkcji. Rotacja, dywergencja, potencjał pola wektorowego
Definicja
Niech f (x , y , z) będzie funkcją, która ma ciągłe pochodne cząstkowe I-szego rzędu w pewnym obszarze D ⊂ R3.
Gradientem funkcji f nazywamy pole wektorowe
∇f (x, y , z) =
∂f
∂x,∂f
∂y,∂f
∂z
Definicja
Niech P(x , y , z), Q(x , y , z), R(x , y , z) będą funkcjami, które mają ciągłe pochodne cząstkowe I-szego rzędu w pewnym obszarze D ⊂ R3.
Rotacją (wirowością) pola wektorowego
F (x , y , z) = [P(x , y , z), Q(x , y , z), R(x , y , z)] nazywamy pole wektorowe~ rot ~F =
∂R
∂y −∂Q
∂z,∂P
∂z −∂R
∂x,∂Q
∂x −∂P
∂y
3
Gradient funkcji. Rotacja, dywergencja, potencjał pola wektorowego
Uwaga
Rotację pola wektorowego ~F (x , y , z) = [P(x , y , z), Q(x , y , z), R(x , y , z)]
można zapisać za pomocą następującego wyznacznika stopnia 3:
rot ~F =
~i ~j ~k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
P Q R
Gradient funkcji. Rotacja, dywergencja, potencjał pola wektorowego
Definicja
Niech P(x , y , z), Q(x , y , z), R(x , y , z) będą funkcjami jak wyżej.
Dywergencją (rozbieżnością) pola wektorowego
F (x , y , z) = [P(x , y , z), Q(x , y , z), R(x , y , z)] nazywamy funkcję trzech~ zmiennych wyrażoną wzorem:
div ~F = ∂P
∂x +∂Q
∂y +∂Q
∂z
Definicja
Niech A(x0, y0, z0) będzie punktem wewnętrznym obszaru D ⊂ R3. Jeżeli div ~F (x0, y0, z0) > 0, to A jest punktem źródłowym pola F .~ Jeżeli div ~F (x0, y0, z0) < 0, to A jest ujściem polaF .~
Jeżeli div ~F (x0, y0, z0) = 0, to A jest punktem bezźródłowym polaF .~ Jeżeli w każdym punkcie div ~F ≡ 0, to ~F nazywamypolem bezźródłowym.
3
Gradient funkcji. Rotacja, dywergencja, potencjał pola wektorowego
Definicja
Niech P(x , y , z), Q(x , y , z), R(x , y , z) będą funkcjami jak wyżej.
Dywergencją (rozbieżnością) pola wektorowego
F (x , y , z) = [P(x , y , z), Q(x , y , z), R(x , y , z)] nazywamy funkcję trzech~ zmiennych wyrażoną wzorem:
div ~F = ∂P
∂x +∂Q
∂y +∂Q
∂z Definicja
Niech A(x0, y0, z0) będzie punktem wewnętrznym obszaru D ⊂ R3. Jeżeli div ~F (x0, y0, z0) > 0, to A jest punktem źródłowym pola F .~
Jeżeli div ~F (x0, y0, z0) < 0, to A jest ujściem polaF .~
Jeżeli div ~F (x0, y0, z0) = 0, to A jest punktem bezźródłowym polaF .~ Jeżeli w każdym punkcie div ~F ≡ 0, to ~F nazywamypolem bezźródłowym.
Gradient funkcji. Rotacja, dywergencja, potencjał pola wektorowego
Definicja
Niech P(x , y , z), Q(x , y , z), R(x , y , z) będą funkcjami jak wyżej.
Dywergencją (rozbieżnością) pola wektorowego
F (x , y , z) = [P(x , y , z), Q(x , y , z), R(x , y , z)] nazywamy funkcję trzech~ zmiennych wyrażoną wzorem:
div ~F = ∂P
∂x +∂Q
∂y +∂Q
∂z Definicja
Niech A(x0, y0, z0) będzie punktem wewnętrznym obszaru D ⊂ R3. Jeżeli div ~F (x0, y0, z0) > 0, to A jest punktem źródłowym pola F .~ Jeżeli div ~F (x0, y0, z0) < 0, to A jest ujściem polaF .~
Jeżeli div ~F (x0, y0, z0) = 0, to A jest punktem bezźródłowym polaF .~ Jeżeli w każdym punkcie div ~F ≡ 0, to ~F nazywamypolem bezźródłowym.
3
Gradient funkcji. Rotacja, dywergencja, potencjał pola wektorowego
Definicja
Niech P(x , y , z), Q(x , y , z), R(x , y , z) będą funkcjami jak wyżej.
Dywergencją (rozbieżnością) pola wektorowego
F (x , y , z) = [P(x , y , z), Q(x , y , z), R(x , y , z)] nazywamy funkcję trzech~ zmiennych wyrażoną wzorem:
div ~F = ∂P
∂x +∂Q
∂y +∂Q
∂z Definicja
Niech A(x0, y0, z0) będzie punktem wewnętrznym obszaru D ⊂ R3. Jeżeli div ~F (x0, y0, z0) > 0, to A jest punktem źródłowym pola F .~ Jeżeli div ~F (x0, y0, z0) < 0, to A jest ujściem polaF .~
Jeżeli div ~F (x0, y0, z0) = 0, to A jest punktem bezźródłowym polaF .~
Jeżeli w każdym punkcie div ~F ≡ 0, to ~F nazywamypolem bezźródłowym.
Gradient funkcji. Rotacja, dywergencja, potencjał pola wektorowego
Definicja
Niech P(x , y , z), Q(x , y , z), R(x , y , z) będą funkcjami jak wyżej.
Dywergencją (rozbieżnością) pola wektorowego
F (x , y , z) = [P(x , y , z), Q(x , y , z), R(x , y , z)] nazywamy funkcję trzech~ zmiennych wyrażoną wzorem:
div ~F = ∂P
∂x +∂Q
∂y +∂Q
∂z Definicja
Niech A(x0, y0, z0) będzie punktem wewnętrznym obszaru D ⊂ R3. Jeżeli div ~F (x0, y0, z0) > 0, to A jest punktem źródłowym pola F .~ Jeżeli div ~F (x0, y0, z0) < 0, to A jest ujściem polaF .~
Jeżeli div ~F (x0, y0, z0) = 0, to A jest punktem bezźródłowym polaF .~ Jeżeli w każdym punkcie div ~F ≡ 0, to ~F nazywamypolem bezźródłowym.
3
Gradient funkcji. Rotacja, dywergencja, potencjał pola wektorowego
Definicja
Niech P(x , y , z), Q(x , y , z), R(x , y , z) będą funkcjami jak wyżej.
Pole wektorowe F (x , y , z) = [P(x , y , z), Q(x , y , z), R(x , y , z)] jest~ potencjalne ⇔ istnieje taka funkcja f (x, y , z), że
F = ∇f~
Taką funkcję f nazywamy potencjałem pola wektorowego F .~ Twierdzenie (kryterium potencjalności pola)
Pole wektorowe ~F jest potencjalne ⇔ rot ~F ≡ 0
Gradient funkcji. Rotacja, dywergencja, potencjał pola wektorowego
Definicja
Niech P(x , y , z), Q(x , y , z), R(x , y , z) będą funkcjami jak wyżej.
Pole wektorowe F (x , y , z) = [P(x , y , z), Q(x , y , z), R(x , y , z)] jest~ potencjalne ⇔ istnieje taka funkcja f (x, y , z), że
F = ∇f~
Taką funkcję f nazywamy potencjałem pola wektorowego F .~
Twierdzenie (kryterium potencjalności pola) Pole wektorowe ~F jest potencjalne ⇔ rot ~F ≡ 0
3
Gradient funkcji. Rotacja, dywergencja, potencjał pola wektorowego
Definicja
Niech P(x , y , z), Q(x , y , z), R(x , y , z) będą funkcjami jak wyżej.
Pole wektorowe F (x , y , z) = [P(x , y , z), Q(x , y , z), R(x , y , z)] jest~ potencjalne ⇔ istnieje taka funkcja f (x, y , z), że
F = ∇f~
Taką funkcję f nazywamy potencjałem pola wektorowego F .~ Twierdzenie (kryterium potencjalności pola)
Pole wektorowe ~F jest potencjalne ⇔ rot ~F ≡ 0
Niezależność całki krzywoliniowej skierowanej od drogi całkowania
Twierdzenie
Jeżeli ~F jest polem potencjalnym w obszarze Ω ⊂ R3, to I
K
P(x , y , z) dx + Q(x , y , z) dy + R(x , y , z) dz = 0
gdzie K ⊂ Ω jest dowolną krzywą zamkniętą.
Twierdzenie (o niezależności całki krzywoliniowej skierowanej od drogi całkowania
Pole wektorowe ~F jest potencjalne w obszarze Ω ⊂ R3 ⇔ Z
>AB
P(x , y , z) dx + Q(x , y , z) dy + R(x , y , z) dz dla>
AB ⊂ Ω nie zależy od drogi całkowania, a jedynie od początku A i końca B tej drogi.
3
Niezależność całki krzywoliniowej skierowanej od drogi całkowania
Twierdzenie
Jeżeli ~F jest polem potencjalnym w obszarze Ω ⊂ R3, to I
K
P(x , y , z) dx + Q(x , y , z) dy + R(x , y , z) dz = 0
gdzie K ⊂ Ω jest dowolną krzywą zamkniętą.
Twierdzenie (o niezależności całki krzywoliniowej skierowanej od drogi całkowania
Pole wektorowe ~F jest potencjalne w obszarze Ω ⊂ R3 ⇔ Z
>AB
P(x , y , z) dx + Q(x , y , z) dy + R(x , y , z) dz dla>
AB ⊂ Ω nie zależy od
Sposób wyznaczania potencjału
Jeżeli pole ~F jest potencjalne, to jego potencjał f możemy wyznaczyć np.
za pomocą całki krzywoliniowej skierowanej. Jeżeli A(x0, y0, z0) jest punktem ustalonym, a punkt B(x , y , z) jest punktem bieżącym, to
f (x , y , z) − f (x0, y0, z0) = Z
>AB
P(x , y , z) dx + Q(x , y , z) dy + R(x , y , z) dz =
=
x
Z
x0
P(t, y0, z0) dt +
y
Z
y0
Q(x , t, z0) dt +
z
Z
z0
R(x , y , t) dt =
=
y
Z
y0
Q(x0, t, z0) dt +
z
Z
z0
R(x0, y , t) dt +
x
Z
x0
P(t, y , z) dt =
= Zz
z0
R(x0, y0, t) dt + Zx
x0
P(t, y0, z) dt +
y
Z
y0
Q(x , t, z) dt itd.
3
Sposób wyznaczania potencjału
Jeżeli pole ~F jest potencjalne, to jego potencjał f możemy wyznaczyć np.
za pomocą całki krzywoliniowej skierowanej. Jeżeli A(x0, y0, z0) jest punktem ustalonym, a punkt B(x , y , z) jest punktem bieżącym, to f (x , y , z) − f (x0, y0, z0) =
Z
>AB
P(x , y , z) dx + Q(x , y , z) dy + R(x , y , z) dz =
=
x
Z
x0
P(t, y0, z0) dt +
y
Z
y0
Q(x , t, z0) dt +
z
Z
z0
R(x , y , t) dt =
=
y
Z
y0
Q(x0, t, z0) dt +
z
Z
z0
R(x0, y , t) dt +
x
Z
x0
P(t, y , z) dt =
= Zz
z0
R(x0, y0, t) dt + Zx
x0
P(t, y0, z) dt +
y
Z
y0
Q(x , t, z) dt itd.
Sposób wyznaczania potencjału
Jeżeli pole ~F jest potencjalne, to jego potencjał f możemy wyznaczyć np.
za pomocą całki krzywoliniowej skierowanej. Jeżeli A(x0, y0, z0) jest punktem ustalonym, a punkt B(x , y , z) jest punktem bieżącym, to f (x , y , z) − f (x0, y0, z0) =
Z
>AB
P(x , y , z) dx + Q(x , y , z) dy + R(x , y , z) dz =
=
x
Z
x0
P(t, y0, z0) dt +
y
Z
y0
Q(x , t, z0) dt +
z
Z
z0
R(x , y , t) dt =
=
y
Z
y0
Q(x0, t, z0) dt +
z
Z
z0
R(x0, y , t) dt +
x
Z
x0
P(t, y , z) dt =
= Zz
z0
R(x0, y0, t) dt + Zx
x0
P(t, y0, z) dt +
y
Z
y0
Q(x , t, z) dt itd.
3
Sposób wyznaczania potencjału
Jeżeli pole ~F jest potencjalne, to jego potencjał f możemy wyznaczyć np.
za pomocą całki krzywoliniowej skierowanej. Jeżeli A(x0, y0, z0) jest punktem ustalonym, a punkt B(x , y , z) jest punktem bieżącym, to f (x , y , z) − f (x0, y0, z0) =
Z
>AB
P(x , y , z) dx + Q(x , y , z) dy + R(x , y , z) dz =
=
x
Z
x0
P(t, y0, z0) dt +
y
Z
y0
Q(x , t, z0) dt +
z
Z
z0
R(x , y , t) dt =
=
y
Z
y0
Q(x0, t, z0) dt +
z
Z
z0
R(x0, y , t) dt +
x
Z
x0
P(t, y , z) dt =
= Zz
z0
R(x0, y0, t) dt + Zx
x0
P(t, y0, z) dt +
y
Z
y0
Q(x , t, z) dt itd.
Sposób wyznaczania potencjału
Jeżeli pole ~F jest potencjalne, to jego potencjał f możemy wyznaczyć np.
za pomocą całki krzywoliniowej skierowanej. Jeżeli A(x0, y0, z0) jest punktem ustalonym, a punkt B(x , y , z) jest punktem bieżącym, to f (x , y , z) − f (x0, y0, z0) =
Z
>AB
P(x , y , z) dx + Q(x , y , z) dy + R(x , y , z) dz =
=
x
Z
x0
P(t, y0, z0) dt +
y
Z
y0
Q(x , t, z0) dt +
z
Z
z0
R(x , y , t) dt =
=
y
Z
y0
Q(x0, t, z0) dt +
z
Z
z0
R(x0, y , t) dt +
x
Z
x0
P(t, y , z) dt =
= Zz
z0
R(x0, y0, t) dt + Zx
x0
P(t, y0, z) dt +
y
Z
y0
Q(x , t, z) dt itd.
3
Zastosowanie całki krzywoliniowej skierowanej
Praca w polu siły ~F (x , y , z) = [P(x , y , z), Q(x , y , z), R(x , y , z)] wykonana na drodze>
AB:
W = Z
>AB
F ◦ dl =~ Z
>AB
P(x , y , z) dx + Q(x , y , z) dy + R(x , y , z) dz
Potencjał pola ~F (x , y , z) = [P(x , y , z), Q(x , y , z), R(x , y , z)] (jeżeli pole jest potencjalne).
Zastosowanie całki krzywoliniowej skierowanej
Praca w polu siły ~F (x , y , z) = [P(x , y , z), Q(x , y , z), R(x , y , z)] wykonana na drodze>
AB:
W = Z
>AB
F ◦ dl =~ Z
>AB
P(x , y , z) dx + Q(x , y , z) dy + R(x , y , z) dz
Potencjał pola ~F (x , y , z) = [P(x , y , z), Q(x , y , z), R(x , y , z)] (jeżeli pole jest potencjalne).
3