Całka krzywoliniowa skierowana w R

Całka krzywoliniowa skierowana w R

Wstęp

Definicja

Załóżmy, że łuk>

AB jest łukiem skierowanym, tzn. nadajemy mu kierunek od punktu A do punktu B, a przedstawienie parametryczne tego łuku ma postać:







x = x (t) y = y (t) z = z(t)

t ∈ [α; β] x (t), y (t) i z(t) – funkcje ciągłe

Jeżeli wartości parametru t = α odpowiada punkt A = (x (α), y (α), z(α)), a wartości parametru t = β odpowiada punkt B = (x (β), y (β), z(β)), to mówimy, że parametryzacja jest zgodna z kierunkiem łuku>

AB,a jeżeli jest odwrotnie, to mówimy, żeparametryzacja jest niezgodna z kierunkiem łuku>

AB (przeciwna do kierunku łuku).

3

Wstęp

Definicja

Załóżmy, że łuk>

AB jest łukiem skierowanym, tzn. nadajemy mu kierunek od punktu A do punktu B, a przedstawienie parametryczne tego łuku ma postać:







x = x (t) y = y (t) z = z(t)

t ∈ [α; β] x (t), y (t) i z(t) – funkcje ciągłe

Jeżeli wartości parametru t = α odpowiada punkt A = (x (α), y (α), z(α)), a wartości parametru t = β odpowiada punkt B = (x (β), y (β), z(β)), to mówimy, że parametryzacja jest zgodna z kierunkiem łuku>

AB,

a jeżeli jest odwrotnie, to mówimy, żeparametryzacja jest niezgodna z kierunkiem łuku>

AB (przeciwna do kierunku łuku).

Wstęp

Definicja

Załóżmy, że łuk>

AB jest łukiem skierowanym, tzn. nadajemy mu kierunek od punktu A do punktu B, a przedstawienie parametryczne tego łuku ma postać:







x = x (t) y = y (t) z = z(t)

t ∈ [α; β] x (t), y (t) i z(t) – funkcje ciągłe

Jeżeli wartości parametru t = α odpowiada punkt A = (x (α), y (α), z(α)), a wartości parametru t = β odpowiada punkt B = (x (β), y (β), z(β)), to mówimy, że parametryzacja jest zgodna z kierunkiem łuku>

AB,a jeżeli jest odwrotnie, to mówimy, żeparametryzacja jest niezgodna z kierunkiem łuku>

AB (przeciwna do kierunku łuku).

3

Wstęp

Definicja

Jeżeli krzywa zamknięta K jest skierowana w ten sposób, że powierzchnia, której brzegiem jest ta krzywa, znajduje się po lewej stronie krzywej, to mówimy, że krzywa K jest skierowana dodatnio (oznaczenie: +K ), w przeciwnym przypadku krzywa K jest skierowana ujemnie (oznaczenie:

−K ).

Określenie i sposób obliczania całki krzywoliniowej skierowanej

Definicja Załóżmy, że>

AB jest łukiem gładkim skierowanym.

Niech ponadto w każdym punkcie łuku>

AB będzie określone pole wektorowe ~F (x , y , z) = [P(x , y , z), Q(x , y , z), R(x , y , z)] (np. pole grawitacyjne, elektryczne, magnetyczne), gdzie P(x , y , z), Q(x , y , z) oraz R(x , y , z) są funkcjami ciągłymi.

3

Określenie i sposób obliczania całki krzywoliniowej skierowanej

Definicja - c.d.

Całkę krzywoliniową skierowaną w R³ określamy wzorem:

Z

>AB

P(x , y , z) dx + Q(x , y , z) dy + R(x , y , z) dz =

=

β

Z

α

P(x (t), y (t), z(t))x⁰(t) + Q(x (t), y (t), z(t))y⁰(t)+

+R(x (t), y (t), z(t))z⁰(t)^dt jeżeli>

AB jest łukiem danym parametrycznie o parametryzacji zgodnej z kierunkiem łuku.

Określenie i sposób obliczania całki krzywoliniowej skierowanej

Uwaga

Jeżeli parametryzacja łuku jest niezgodna z jego kierunkiem, to przed całką oznaczoną w powyższym wzorze bierzemy znak „−”.

3

Gradient funkcji. Rotacja, dywergencja, potencjał pola wektorowego

Definicja

Niech f (x , y , z) będzie funkcją, która ma ciągłe pochodne cząstkowe I-szego rzędu w pewnym obszarze D ⊂ R³.

Gradientem funkcji f nazywamy pole wektorowe

∇f (x, y , z) =

∂f

∂x,∂f

∂y,∂f

∂z



Definicja

Niech P(x , y , z), Q(x , y , z), R(x , y , z) będą funkcjami, które mają ciągłe pochodne cząstkowe I-szego rzędu w pewnym obszarze D ⊂ R³.

Rotacją (wirowością) pola wektorowego

F (x , y , z) = [P(x , y , z), Q(x , y , z), R(x , y , z)] nazywamy pole wektorowe~ rot ~F =

∂R

∂y −∂Q

∂z,∂P

∂z −∂R

∂x,∂Q

∂x −∂P

∂y



Gradient funkcji. Rotacja, dywergencja, potencjał pola wektorowego

Definicja

Niech f (x , y , z) będzie funkcją, która ma ciągłe pochodne cząstkowe I-szego rzędu w pewnym obszarze D ⊂ R³.

Gradientem funkcji f nazywamy pole wektorowe

∇f (x, y , z) =

∂f

∂x,∂f

∂y,∂f

∂z



Definicja

Niech P(x , y , z), Q(x , y , z), R(x , y , z) będą funkcjami, które mają ciągłe pochodne cząstkowe I-szego rzędu w pewnym obszarze D ⊂ R³.

Rotacją (wirowością) pola wektorowego

F (x , y , z) = [P(x , y , z), Q(x , y , z), R(x , y , z)] nazywamy pole wektorowe~ rot ~F =

∂R

∂y −∂Q

∂z,∂P

∂z −∂R

∂x,∂Q

∂x −∂P

∂y



3

Gradient funkcji. Rotacja, dywergencja, potencjał pola wektorowego

Uwaga

Rotację pola wektorowego ~F (x , y , z) = [P(x , y , z), Q(x , y , z), R(x , y , z)]

można zapisać za pomocą następującego wyznacznika stopnia 3:

rot ~F =       

~i ~j ~k

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

P Q R

Gradient funkcji. Rotacja, dywergencja, potencjał pola wektorowego

Definicja

Niech P(x , y , z), Q(x , y , z), R(x , y , z) będą funkcjami jak wyżej.

Dywergencją (rozbieżnością) pola wektorowego

F (x , y , z) = [P(x , y , z), Q(x , y , z), R(x , y , z)] nazywamy funkcję trzech~ zmiennych wyrażoną wzorem:

div ~F = ∂P

∂x +∂Q

∂y +∂Q

∂z

Definicja

Niech A(x₀, y₀, z₀) będzie punktem wewnętrznym obszaru D ⊂ R³. Jeżeli div ~F (x₀, y₀, z₀) > 0, to A jest punktem źródłowym pola F .~ Jeżeli div ~F (x0, y0, z0) < 0, to A jest ujściem polaF .~

Jeżeli div ~F (x₀, y₀, z₀) = 0, to A jest punktem bezźródłowym polaF .~ Jeżeli w każdym punkcie div ~F ≡ 0, to ~F nazywamypolem bezźródłowym.

3

Gradient funkcji. Rotacja, dywergencja, potencjał pola wektorowego

Definicja

Niech P(x , y , z), Q(x , y , z), R(x , y , z) będą funkcjami jak wyżej.

Dywergencją (rozbieżnością) pola wektorowego

F (x , y , z) = [P(x , y , z), Q(x , y , z), R(x , y , z)] nazywamy funkcję trzech~ zmiennych wyrażoną wzorem:

div ~F = ∂P

∂x +∂Q

∂y +∂Q

∂z Definicja

Niech A(x₀, y₀, z₀) będzie punktem wewnętrznym obszaru D ⊂ R³. Jeżeli div ~F (x₀, y₀, z₀) > 0, to A jest punktem źródłowym pola F .~

Jeżeli div ~F (x0, y0, z0) < 0, to A jest ujściem polaF .~

Jeżeli div ~F (x₀, y₀, z₀) = 0, to A jest punktem bezźródłowym polaF .~ Jeżeli w każdym punkcie div ~F ≡ 0, to ~F nazywamypolem bezźródłowym.

Gradient funkcji. Rotacja, dywergencja, potencjał pola wektorowego

Definicja

Niech P(x , y , z), Q(x , y , z), R(x , y , z) będą funkcjami jak wyżej.

Dywergencją (rozbieżnością) pola wektorowego

F (x , y , z) = [P(x , y , z), Q(x , y , z), R(x , y , z)] nazywamy funkcję trzech~ zmiennych wyrażoną wzorem:

div ~F = ∂P

∂x +∂Q

∂y +∂Q

∂z Definicja

Niech A(x₀, y₀, z₀) będzie punktem wewnętrznym obszaru D ⊂ R³. Jeżeli div ~F (x₀, y₀, z₀) > 0, to A jest punktem źródłowym pola F .~ Jeżeli div ~F (x0, y0, z0) < 0, to A jest ujściem polaF .~

Jeżeli div ~F (x₀, y₀, z₀) = 0, to A jest punktem bezźródłowym polaF .~ Jeżeli w każdym punkcie div ~F ≡ 0, to ~F nazywamypolem bezźródłowym.

3

Gradient funkcji. Rotacja, dywergencja, potencjał pola wektorowego

Definicja

Niech P(x , y , z), Q(x , y , z), R(x , y , z) będą funkcjami jak wyżej.

Dywergencją (rozbieżnością) pola wektorowego

F (x , y , z) = [P(x , y , z), Q(x , y , z), R(x , y , z)] nazywamy funkcję trzech~ zmiennych wyrażoną wzorem:

div ~F = ∂P

∂x +∂Q

∂y +∂Q

∂z Definicja

Niech A(x₀, y₀, z₀) będzie punktem wewnętrznym obszaru D ⊂ R³. Jeżeli div ~F (x₀, y₀, z₀) > 0, to A jest punktem źródłowym pola F .~ Jeżeli div ~F (x0, y0, z0) < 0, to A jest ujściem polaF .~

Jeżeli div ~F (x₀, y₀, z₀) = 0, to A jest punktem bezźródłowym polaF .~

Jeżeli w każdym punkcie div ~F ≡ 0, to ~F nazywamypolem bezźródłowym.

Gradient funkcji. Rotacja, dywergencja, potencjał pola wektorowego

Definicja

Niech P(x , y , z), Q(x , y , z), R(x , y , z) będą funkcjami jak wyżej.

Dywergencją (rozbieżnością) pola wektorowego

F (x , y , z) = [P(x , y , z), Q(x , y , z), R(x , y , z)] nazywamy funkcję trzech~ zmiennych wyrażoną wzorem:

div ~F = ∂P

∂x +∂Q

∂y +∂Q

∂z Definicja

Niech A(x₀, y₀, z₀) będzie punktem wewnętrznym obszaru D ⊂ R³. Jeżeli div ~F (x₀, y₀, z₀) > 0, to A jest punktem źródłowym pola F .~ Jeżeli div ~F (x0, y0, z0) < 0, to A jest ujściem polaF .~

Jeżeli div ~F (x₀, y₀, z₀) = 0, to A jest punktem bezźródłowym polaF .~ Jeżeli w każdym punkcie div ~F ≡ 0, to ~F nazywamypolem bezźródłowym.

3

Gradient funkcji. Rotacja, dywergencja, potencjał pola wektorowego

Definicja

Niech P(x , y , z), Q(x , y , z), R(x , y , z) będą funkcjami jak wyżej.

Pole wektorowe F (x , y , z) = [P(x , y , z), Q(x , y , z), R(x , y , z)] jest~ potencjalne ⇔ istnieje taka funkcja f (x, y , z), że

F = ∇f~

Taką funkcję f nazywamy potencjałem pola wektorowego F .~ Twierdzenie (kryterium potencjalności pola)

Pole wektorowe ~F jest potencjalne ⇔ rot ~F ≡ 0

Gradient funkcji. Rotacja, dywergencja, potencjał pola wektorowego

Definicja

Niech P(x , y , z), Q(x , y , z), R(x , y , z) będą funkcjami jak wyżej.

Pole wektorowe F (x , y , z) = [P(x , y , z), Q(x , y , z), R(x , y , z)] jest~ potencjalne ⇔ istnieje taka funkcja f (x, y , z), że

F = ∇f~

Taką funkcję f nazywamy potencjałem pola wektorowego F .~

Twierdzenie (kryterium potencjalności pola) Pole wektorowe ~F jest potencjalne ⇔ rot ~F ≡ 0

3

Gradient funkcji. Rotacja, dywergencja, potencjał pola wektorowego

Definicja

Niech P(x , y , z), Q(x , y , z), R(x , y , z) będą funkcjami jak wyżej.

Pole wektorowe F (x , y , z) = [P(x , y , z), Q(x , y , z), R(x , y , z)] jest~ potencjalne ⇔ istnieje taka funkcja f (x, y , z), że

F = ∇f~

Taką funkcję f nazywamy potencjałem pola wektorowego F .~ Twierdzenie (kryterium potencjalności pola)

Pole wektorowe ~F jest potencjalne ⇔ rot ~F ≡ 0

Niezależność całki krzywoliniowej skierowanej od drogi całkowania

Twierdzenie

Jeżeli ~F jest polem potencjalnym w obszarze Ω ⊂ R³, to I

K

P(x , y , z) dx + Q(x , y , z) dy + R(x , y , z) dz = 0

gdzie K ⊂ Ω jest dowolną krzywą zamkniętą.

Twierdzenie (o niezależności całki krzywoliniowej skierowanej od drogi całkowania

Pole wektorowe ~F jest potencjalne w obszarze Ω ⊂ R³ ⇔ Z

>AB

P(x , y , z) dx + Q(x , y , z) dy + R(x , y , z) dz dla>

AB ⊂ Ω nie zależy od drogi całkowania, a jedynie od początku A i końca B tej drogi.

3

Niezależność całki krzywoliniowej skierowanej od drogi całkowania

Twierdzenie

Jeżeli ~F jest polem potencjalnym w obszarze Ω ⊂ R³, to I

K

P(x , y , z) dx + Q(x , y , z) dy + R(x , y , z) dz = 0

gdzie K ⊂ Ω jest dowolną krzywą zamkniętą.

Twierdzenie (o niezależności całki krzywoliniowej skierowanej od drogi całkowania

Pole wektorowe ~F jest potencjalne w obszarze Ω ⊂ R³ ⇔ Z

>AB

P(x , y , z) dx + Q(x , y , z) dy + R(x , y , z) dz dla>

AB ⊂ Ω nie zależy od

Sposób wyznaczania potencjału

Jeżeli pole ~F jest potencjalne, to jego potencjał f możemy wyznaczyć np.

za pomocą całki krzywoliniowej skierowanej. Jeżeli A(x0, y0, z0) jest punktem ustalonym, a punkt B(x , y , z) jest punktem bieżącym, to

f (x , y , z) − f (x0, y0, z0) = Z

>AB

P(x , y , z) dx + Q(x , y , z) dy + R(x , y , z) dz =

=

x

Z

x0

P(t, y0, z0) dt +

y

Z

y0

Q(x , t, z0) dt +

z

Z

z0

R(x , y , t) dt =

=

y

Z

y0

Q(x0, t, z0) dt +

z

Z

z0

R(x0, y , t) dt +

x

Z

x0

P(t, y , z) dt =

= Zz

z0

R(x₀, y₀, t) dt + Zx

x0

P(t, y₀, z) dt +

y

Z

y0

Q(x , t, z) dt itd.

3

Sposób wyznaczania potencjału

Jeżeli pole ~F jest potencjalne, to jego potencjał f możemy wyznaczyć np.

za pomocą całki krzywoliniowej skierowanej. Jeżeli A(x0, y0, z0) jest punktem ustalonym, a punkt B(x , y , z) jest punktem bieżącym, to f (x , y , z) − f (x0, y0, z0) =

Z

>AB

P(x , y , z) dx + Q(x , y , z) dy + R(x , y , z) dz =

=

x

Z

x0

P(t, y0, z0) dt +

y

Z

y0

Q(x , t, z0) dt +

z

Z

z0

R(x , y , t) dt =

=

y

Z

y0

Q(x0, t, z0) dt +

z

Z

z0

R(x0, y , t) dt +

x

Z

x0

P(t, y , z) dt =

= Zz

z0

R(x₀, y₀, t) dt + Zx

x0

P(t, y₀, z) dt +

y

Z

y0

Q(x , t, z) dt itd.

Sposób wyznaczania potencjału

Jeżeli pole ~F jest potencjalne, to jego potencjał f możemy wyznaczyć np.

za pomocą całki krzywoliniowej skierowanej. Jeżeli A(x0, y0, z0) jest punktem ustalonym, a punkt B(x , y , z) jest punktem bieżącym, to f (x , y , z) − f (x0, y0, z0) =

Z

>AB

P(x , y , z) dx + Q(x , y , z) dy + R(x , y , z) dz =

=

x

Z

x0

P(t, y0, z0) dt +

y

Z

y0

Q(x , t, z0) dt +

z

Z

z0

R(x , y , t) dt =

=

y

Z

y0

Q(x0, t, z0) dt +

z

Z

z0

R(x0, y , t) dt +

x

Z

x0

P(t, y , z) dt =

= Zz

z0

R(x₀, y₀, t) dt + Zx

x0

P(t, y₀, z) dt +

y

Z

y0

Q(x , t, z) dt itd.

3

Sposób wyznaczania potencjału

Jeżeli pole ~F jest potencjalne, to jego potencjał f możemy wyznaczyć np.

za pomocą całki krzywoliniowej skierowanej. Jeżeli A(x0, y0, z0) jest punktem ustalonym, a punkt B(x , y , z) jest punktem bieżącym, to f (x , y , z) − f (x0, y0, z0) =

Z

>AB

P(x , y , z) dx + Q(x , y , z) dy + R(x , y , z) dz =

=

x

Z

x0

P(t, y0, z0) dt +

y

Z

y0

Q(x , t, z0) dt +

z

Z

z0

R(x , y , t) dt =

=

y

Z

y0

Q(x0, t, z0) dt +

z

Z

z0

R(x0, y , t) dt +

x

Z

x0

P(t, y , z) dt =

= Zz

z0

R(x₀, y₀, t) dt + Zx

x0

P(t, y₀, z) dt +

y

Z

y0

Q(x , t, z) dt itd.

Sposób wyznaczania potencjału

Jeżeli pole ~F jest potencjalne, to jego potencjał f możemy wyznaczyć np.

za pomocą całki krzywoliniowej skierowanej. Jeżeli A(x0, y0, z0) jest punktem ustalonym, a punkt B(x , y , z) jest punktem bieżącym, to f (x , y , z) − f (x0, y0, z0) =

Z

>AB

P(x , y , z) dx + Q(x , y , z) dy + R(x , y , z) dz =

=

x

Z

x0

P(t, y0, z0) dt +

y

Z

y0

Q(x , t, z0) dt +

z

Z

z0

R(x , y , t) dt =

=

y

Z

y0

Q(x0, t, z0) dt +

z

Z

z0

R(x0, y , t) dt +

x

Z

x0

P(t, y , z) dt =

= Zz

z0

R(x₀, y₀, t) dt + Zx

x0

P(t, y₀, z) dt +

y

Z

y0

Q(x , t, z) dt itd.

3

Zastosowanie całki krzywoliniowej skierowanej

Praca w polu siły ~F (x , y , z) = [P(x , y , z), Q(x , y , z), R(x , y , z)] wykonana na drodze>

AB:

W = Z

>AB

F ◦ dl =~ Z

>AB

P(x , y , z) dx + Q(x , y , z) dy + R(x , y , z) dz

Potencjał pola ~F (x , y , z) = [P(x , y , z), Q(x , y , z), R(x , y , z)] (jeżeli pole jest potencjalne).

Zastosowanie całki krzywoliniowej skierowanej

Praca w polu siły ~F (x , y , z) = [P(x , y , z), Q(x , y , z), R(x , y , z)] wykonana na drodze>

AB:

W = Z

>AB

F ◦ dl =~ Z

>AB

P(x , y , z) dx + Q(x , y , z) dy + R(x , y , z) dz

Potencjał pola ~F (x , y , z) = [P(x , y , z), Q(x , y , z), R(x , y , z)] (jeżeli pole jest potencjalne).

3