Całka krzywoliniowa skierowana

Lista nr 1 Elektrotechnika sem.III, studia niestacjonarne, 2019/20

Całka krzywoliniowa skierowana

1. Obliczyć:

a) Z

> AB

2xydx − x

dy, jeżeli >

AB jest: 1

odcinkiem, 2

łukiem paraboli y = x

ł¸ acz¸ acym punkt A(0, 0) z punktem B(1, 1),

b) Z

> AB

xdy, jeżeli >

AB jest łukiem elipsy o przedstawieniu parametrycznym x = 2 cos t, y = sin t, t ∈ h0; π/2i, niezgodnym z

kierunkiem tego łuku, c)

Z

> AB

(2a−y)dx+xdy, jeżeli >

AB jest łukiem cykloidy o przedstawieniu parametrycznym x = t−sin t, y = 1−cos t, t ∈ h0; 2πi,

niezgodnym z kierunkiem tego łuku, d)

Z

> AB xdx

y + dy

y − 1 , gdzie >

AB jest skierowanym łukiem cykloidy x = t − sin t, y = 1 − cos t, od punktu A  π − 3 6 , 2 − √

3 2



do B  2π − 3 √ 3 6 , 1

2

 ,

2. Obliczyć poniższe całki dwoma sposobami: bezpośrednio i stosując tw. Greena:

a) I

+K

x

dx + y

dy, jeżeli K jest okr¸ egiem o równaniu x

+ y

= 1,

b) I

+K

xdx + ydy, jeżeli K jest brzegiem kwadratu o wierzchołkach A(0, 0), B(0, 1), C(1, 1) i D(1, 0),

c) I

−K

sin x cos y dx + cos x sin y dy, jeżeli K jest prostokątem o wierzchołkach A(0, 0), B(3, 0), C(3, 1), D(0, 1),

d) I

−K

xy dx + (x

+ y

) dy, jeżeli K jest elipsą x

+ 4y

= 9,

e) I

+K

(2x − 3y) dx + (y − 5x) dy, jeżeli K jest trójkątem o wierzchołkach A(0, 2), B(2, 2), C(2, 10).

3. Sprawdzić, czy dane pole wektorowe jest potencjalne. Jeżeli tak, to znaleźc jego potencjał.

a) ~ F = [3x

y, x

+ cos y], b) ~ F =  1

y + cos x, − x y

+ e

 ,

c) ~ F =

 1

(x + 2y)

, 2

(x + 2y)

+ 3



, d) ~ F = [y cos(xy) + 2x, x cos(xy)],