Całka krzywoliniowa skierowana w R

Całka krzywoliniowa skierowana w R

2

Wstęp

Definicja

Załóżmy, że łuk>

AB jest łukiem skierowanym, tzn. nadajemy mu kierunek od punktu A do punktu B, a przedstawienie parametryczne tego łuku ma postać:

( x = x (t)

y = y (t) t ∈ [α; β] x (t) i y (t) – funkcje ciągłe

Jeżeli wartości parametru t = α odpowiada punkt A = (x (α), y (α)), a wartości parametru t = β odpowiada punkt B = (x (β), y (β)), to mówimy, że parametryzacja jest zgodna z kierunkiem łuku>

AB,a jeżeli jest odwrotnie, to mówimy, żeparametryzacja jest niezgodna z kierunkiem łuku>

AB (przeciwna do kierunku łuku).

2

Wstęp

Definicja

Załóżmy, że łuk>

AB jest łukiem skierowanym, tzn. nadajemy mu kierunek od punktu A do punktu B, a przedstawienie parametryczne tego łuku ma postać:

( x = x (t)

y = y (t) t ∈ [α; β] x (t) i y (t) – funkcje ciągłe

Jeżeli wartości parametru t = α odpowiada punkt A = (x (α), y (α)), a wartości parametru t = β odpowiada punkt B = (x (β), y (β)), to mówimy, że parametryzacja jest zgodna z kierunkiem łuku>

AB,

a jeżeli jest odwrotnie, to mówimy, żeparametryzacja jest niezgodna z kierunkiem łuku>

AB (przeciwna do kierunku łuku).

2

Wstęp

Definicja

Załóżmy, że łuk>

AB jest łukiem skierowanym, tzn. nadajemy mu kierunek od punktu A do punktu B, a przedstawienie parametryczne tego łuku ma postać:

( x = x (t)

y = y (t) t ∈ [α; β] x (t) i y (t) – funkcje ciągłe

Jeżeli wartości parametru t = α odpowiada punkt A = (x (α), y (α)), a wartości parametru t = β odpowiada punkt B = (x (β), y (β)), to mówimy, że parametryzacja jest zgodna z kierunkiem łuku>

AB,a jeżeli jest odwrotnie, to mówimy, żeparametryzacja jest niezgodna z kierunkiem łuku>

AB (przeciwna do kierunku łuku).

2

Wstęp

Definicja

Jeżeli krzywa zamknięta K jest skierowana w ten sposób, że obszar ograniczony przez tę krzywą jest po jej lewej stronie, to mówimy, że krzywa K jest skierowana dodatnio (oznaczenie: +K ), w przeciwnym przypadku krzywa K jest skierowana ujemnie (oznaczenie: −K ).

2

Określenie i sposób obliczania całki krzywoliniowej skierowanej

Definicja Załóżmy, że>

AB jest łukiem gładkim skierowanym.

Niech ponadto w każdym punkcie łuku>

AB będzie określone pole

wektorowe ~F (x , y ) = [P(x , y ), Q(x , y )] (np. pole grawitacyjne, elektryczne, magnetyczne), gdzie P(x , y ) oraz Q(x , y ) są funkcjami ciągłymi.

Całkę krzywoliniową skierowaną w R² określamy wzorem: Z

>AB

P(x , y ) dx + Q(x , y ) dy =

=

β

Z

α

P(x (t), y (t))x⁰(t) + Q(x (t), y (t))y⁰(t)^ dt

jeżeli>

AB jest łukiem danym parametrycznie o parametryzacji zgodnej z kierunkiem łuku.

2

Określenie i sposób obliczania całki krzywoliniowej skierowanej

Definicja Załóżmy, że>

AB jest łukiem gładkim skierowanym.

Niech ponadto w każdym punkcie łuku>

AB będzie określone pole

wektorowe ~F (x , y ) = [P(x , y ), Q(x , y )] (np. pole grawitacyjne, elektryczne, magnetyczne), gdzie P(x , y ) oraz Q(x , y ) są funkcjami ciągłymi.

Całkę krzywoliniową skierowaną w R² określamy wzorem:

Z

>AB

P(x , y ) dx + Q(x , y ) dy =

=

β

Z

α

P(x (t), y (t))x⁰(t) + Q(x (t), y (t))y⁰(t)^dt

jeżeli>

AB jest łukiem danym parametrycznie o parametryzacji zgodnej z kierunkiem łuku.

2

Określenie i sposób obliczania całki krzywoliniowej skierowanej

Uwaga

Jeżeli parametryzacja łuku jest niezgodna z jego kierunkiem, to przed całką oznaczoną w powyższym wzorze bierzemy znak „−”.

2

Określenie i sposób obliczania całki krzywoliniowej skierowanej

Definicja

Całkę krzywoliniową skierowaną w R² określamy wzorem:

Z

>AB

P(x , y ) dx + Q(x , y ) dy =

=

b

Z

a

P(x , g (x )) + Q(x , g (x ))g⁰(x )^ dx

jeżeli>

AB jest łukiem danym jawnie wzorem y = g (x ), x ∈ [a; b], przy czym A = (a, g (a)), B = (b, g (b)).

2

Określenie i sposób obliczania całki krzywoliniowej skierowanej

Definicja

Całkę krzywoliniową skierowaną w R² określamy wzorem:

Z

>AB

P(x , y ) dx + Q(x , y ) dy =

=

d

Z

c

P(h(y ), y )h⁰(y ) + Q(h(y ), y )^ dy

jeżeli>

AB jest łukiem danym jawnie wzorem x = h(y ), y ∈ [c; d ], przy czym A = (h(c), c), B = (h(d ), y ).

2

Gradient funkcji. Rotacja, dywergencja, potencjał pola wektorowego

Definicja

Niech f (x , y ) będzie funkcją, która ma ciągłe pochodne cząstkowe I-szego rzędu w pewnym obszarze D ⊂ R².

Gradientem funkcji f nazywamy pole wektorowe

∇f (x, y ) =

∂f

∂x,∂f

∂y



Definicja

Niech P(x , y ), Q(x , y ) będą funkcjami, które mają ciągłe pochodne cząstkowe I-szego rzędu w pewnym obszarze D ⊂ R².

Rotacją (wirowością) pola wektorowego F (x , y ) = [P(x , y ), Q(x , y )]~ nazywamy funkcję dwóch zmiennych wyrażoną wzorem:

rot ~F = ∂Q

∂x −∂P

∂y

2

Gradient funkcji. Rotacja, dywergencja, potencjał pola wektorowego

Definicja

Niech f (x , y ) będzie funkcją, która ma ciągłe pochodne cząstkowe I-szego rzędu w pewnym obszarze D ⊂ R².

Gradientem funkcji f nazywamy pole wektorowe

∇f (x, y ) =

∂f

∂x,∂f

∂y



Definicja

Niech P(x , y ), Q(x , y ) będą funkcjami, które mają ciągłe pochodne cząstkowe I-szego rzędu w pewnym obszarze D ⊂ R².

Rotacją (wirowością) pola wektorowego F (x , y ) = [P(x , y ), Q(x , y )]~ nazywamy funkcję dwóch zmiennych wyrażoną wzorem:

rot ~F = ∂Q

∂x −∂P

∂y

2

Gradient funkcji. Rotacja, dywergencja, potencjał pola wektorowego

Definicja

Niech P(x , y ), Q(x , y ) będą funkcjami jak wyżej.

Dywergencją (rozbieżnością) pola wektorowego

F (x , y ) = [P(x , y ), Q(x , y )] nazywamy funkcję dwóch zmiennych~ wyrażoną wzorem:

div ~F = ∂P

∂x +∂Q

∂y

Definicja

Niech A(x0, y0) będzie punktem wewnętrznym obszaru D ⊂ R². Jeżeli div ~F (x0, y0) > 0, to A jestpunktem źródłowym pola F .~ Jeżeli div ~F (x₀, y₀) < 0, to A jestujściem pola F .~

Jeżeli div ~F (x₀, y₀) = 0, to A jestpunktem bezźródłowym polaF .~

Jeżeli w każdym punkcie div ~F ≡ 0, to ~F nazywamypolem bezźródłowym.

2

Gradient funkcji. Rotacja, dywergencja, potencjał pola wektorowego

Definicja

Niech P(x , y ), Q(x , y ) będą funkcjami jak wyżej.

Dywergencją (rozbieżnością) pola wektorowego

F (x , y ) = [P(x , y ), Q(x , y )] nazywamy funkcję dwóch zmiennych~ wyrażoną wzorem:

div ~F = ∂P

∂x +∂Q

∂y

Definicja

Niech A(x0, y0) będzie punktem wewnętrznym obszaru D ⊂ R². Jeżeli div ~F (x0, y0) > 0, to A jestpunktem źródłowym pola F .~

Jeżeli div ~F (x₀, y₀) < 0, to A jestujściem pola F .~

Jeżeli div ~F (x₀, y₀) = 0, to A jestpunktem bezźródłowym polaF .~

Jeżeli w każdym punkcie div ~F ≡ 0, to ~F nazywamypolem bezźródłowym.

2

Gradient funkcji. Rotacja, dywergencja, potencjał pola wektorowego

Definicja

Niech P(x , y ), Q(x , y ) będą funkcjami jak wyżej.

Dywergencją (rozbieżnością) pola wektorowego

F (x , y ) = [P(x , y ), Q(x , y )] nazywamy funkcję dwóch zmiennych~ wyrażoną wzorem:

div ~F = ∂P

∂x +∂Q

∂y

Definicja

Niech A(x0, y0) będzie punktem wewnętrznym obszaru D ⊂ R². Jeżeli div ~F (x0, y0) > 0, to A jestpunktem źródłowym pola F .~ Jeżeli div ~F (x₀, y₀) < 0, to A jestujściem pola F .~

Jeżeli div ~F (x₀, y₀) = 0, to A jestpunktem bezźródłowym polaF .~

Jeżeli w każdym punkcie div ~F ≡ 0, to ~F nazywamypolem bezźródłowym.

2

Gradient funkcji. Rotacja, dywergencja, potencjał pola wektorowego

Definicja

Niech P(x , y ), Q(x , y ) będą funkcjami jak wyżej.

Dywergencją (rozbieżnością) pola wektorowego

F (x , y ) = [P(x , y ), Q(x , y )] nazywamy funkcję dwóch zmiennych~ wyrażoną wzorem:

div ~F = ∂P

∂x +∂Q

∂y

Definicja

Niech A(x0, y0) będzie punktem wewnętrznym obszaru D ⊂ R². Jeżeli div ~F (x0, y0) > 0, to A jestpunktem źródłowym pola F .~ Jeżeli div ~F (x₀, y₀) < 0, to A jestujściem pola F .~

Jeżeli div ~F (x0, y0) = 0, to A jestpunktem bezźródłowym polaF .~

Jeżeli w każdym punkcie div ~F ≡ 0, to ~F nazywamypolem bezźródłowym.

2

Gradient funkcji. Rotacja, dywergencja, potencjał pola wektorowego

Definicja

Niech P(x , y ), Q(x , y ) będą funkcjami jak wyżej.

Dywergencją (rozbieżnością) pola wektorowego

F (x , y ) = [P(x , y ), Q(x , y )] nazywamy funkcję dwóch zmiennych~ wyrażoną wzorem:

div ~F = ∂P

∂x +∂Q

∂y

Definicja

Niech A(x0, y0) będzie punktem wewnętrznym obszaru D ⊂ R². Jeżeli div ~F (x0, y0) > 0, to A jestpunktem źródłowym pola F .~ Jeżeli div ~F (x₀, y₀) < 0, to A jestujściem pola F .~

Jeżeli div ~F (x0, y0) = 0, to A jestpunktem bezźródłowym polaF .~

Jeżeli w każdym punkcie div ~F ≡ 0, to ~F nazywamypolem bezźródłowym.

2

Gradient funkcji. Rotacja, dywergencja, potencjał pola wektorowego

Definicja

Niech P(x , y ), Q(x , y ) będą funkcjami jak wyżej.

Pole wektorowe F (x , y ) = [P(x , y ), Q(x , y )] jest~ potencjalne⇔ istnieje taka funkcja f (x , y ), że

F = ∇f~

Taką funkcję f nazywamy potencjałem pola wektorowego F .~

Twierdzenie (kryterium potencjalności pola) Pole wektorowe ~F jest potencjalne ⇔ rot ~F ≡ 0

2

Gradient funkcji. Rotacja, dywergencja, potencjał pola wektorowego

Definicja

Niech P(x , y ), Q(x , y ) będą funkcjami jak wyżej.

Pole wektorowe F (x , y ) = [P(x , y ), Q(x , y )] jest~ potencjalne⇔ istnieje taka funkcja f (x , y ), że

F = ∇f~

Taką funkcję f nazywamy potencjałem pola wektorowego F .~

Twierdzenie (kryterium potencjalności pola) Pole wektorowe ~F jest potencjalne ⇔ rot ~F ≡ 0

2

Gradient funkcji. Rotacja, dywergencja, potencjał pola wektorowego

Definicja

Niech P(x , y ), Q(x , y ) będą funkcjami jak wyżej.

Pole wektorowe F (x , y ) = [P(x , y ), Q(x , y )] jest~ potencjalne⇔ istnieje taka funkcja f (x , y ), że

F = ∇f~

Taką funkcję f nazywamy potencjałem pola wektorowego F .~

Twierdzenie (kryterium potencjalności pola) Pole wektorowe ~F jest potencjalne ⇔ rot ~F ≡ 0

2

Niezależność całki krzywoliniowej skierowanej od drogi całkowania

Twierdzenie Greena

Niech K jest krzywą zamkniętą skierowaną dodatnio, ograniczającą obszar regularny D.

Niech ponadto P(x , y ) i Q(x , y ) będą funkcjami, które mają ciągłe pochodne cząstkowe w obszarze D. Wówczas

I

+K

P(x , y ) dx + Q(x , y ) dy = Z Z

D

∂Q

∂x −∂P

∂y

 dxdy

Uwaga

Jeżeli krzywa zamknięta jest skierowana ujemnie, to przed całką podwójną w powyższym wzorze bierzemy znak „−”.

2

Niezależność całki krzywoliniowej skierowanej od drogi całkowania

Twierdzenie Greena

Niech K jest krzywą zamkniętą skierowaną dodatnio, ograniczającą obszar regularny D.

Niech ponadto P(x , y ) i Q(x , y ) będą funkcjami, które mają ciągłe pochodne cząstkowe w obszarze D. Wówczas

I

+K

P(x , y ) dx + Q(x , y ) dy = Z Z

D

∂Q

∂x −∂P

∂y

 dxdy

Uwaga

Jeżeli krzywa zamknięta jest skierowana ujemnie, to przed całką podwójną w powyższym wzorze bierzemy znak „−”.

2

Niezależność całki krzywoliniowej skierowanej od drogi całkowania

Wniosek

Jeżeli ~F jest polem potencjalnym w obszarze Ω ⊂ R², to I

K

P(x , y ) dx + Q(x , y ) dy = 0

gdzie K ⊂ Ω jest dowolną krzywą zamkniętą.

Twierdzenie (o niezależności całki krzywoliniowej skierowanej od drogi całkowania

Pole wektorowe ~F jest potencjalne w obszarze Ω ⊂ R² ⇔ Z

>AB

P(x , y ) dx + Q(x , y ) dy dla>

AB ⊂ Ω nie zależy od drogi całkowania,

a jedynie od początku A i końca B tej drogi.

2

Niezależność całki krzywoliniowej skierowanej od drogi całkowania

Wniosek

Jeżeli ~F jest polem potencjalnym w obszarze Ω ⊂ R², to I

K

P(x , y ) dx + Q(x , y ) dy = 0

gdzie K ⊂ Ω jest dowolną krzywą zamkniętą.

Twierdzenie (o niezależności całki krzywoliniowej skierowanej od drogi całkowania

Pole wektorowe ~F jest potencjalne w obszarze Ω ⊂ R² ⇔ Z

>AB

P(x , y ) dx + Q(x , y ) dy dla>

AB ⊂ Ω nie zależy od drogi całkowania,

a jedynie od początku A i końca B tej drogi.

2

Sposób wyznaczania potencjału

Jeżeli pole ~F jest potencjalne, to jego potencjał f możemy wyznaczyć np.

za pomocą całki krzywoliniowej skierowanej. Jeżeli A(x0, y0) jest punktem ustalonym, a punkt B(x , y ) jest punktem bieżącym, to

f (x , y ) − f (x0, y0) = Z

>AB

P(x , y ) dx + Q(x , y ) dy =

=

x

Z

x0

P(t, y0) dt +

y

Z

y0

Q(x , t) dt =

=

y

Z

y0

Q(x₀, t) dt +

x

Z

x0

P(t, y ) dt

2

Sposób wyznaczania potencjału

Jeżeli pole ~F jest potencjalne, to jego potencjał f możemy wyznaczyć np.

za pomocą całki krzywoliniowej skierowanej. Jeżeli A(x0, y0) jest punktem ustalonym, a punkt B(x , y ) jest punktem bieżącym, to

f (x , y ) − f (x0, y0) = Z

>AB

P(x , y ) dx + Q(x , y ) dy =

=

x

Z

x0

P(t, y0) dt +

y

Z

y0

Q(x , t) dt =

=

y

Z

y0

Q(x₀, t) dt +

x

Z

x0

P(t, y ) dt

2

Sposób wyznaczania potencjału

Jeżeli pole ~F jest potencjalne, to jego potencjał f możemy wyznaczyć np.

za pomocą całki krzywoliniowej skierowanej. Jeżeli A(x0, y0) jest punktem ustalonym, a punkt B(x , y ) jest punktem bieżącym, to

f (x , y ) − f (x0, y0) = Z

>AB

P(x , y ) dx + Q(x , y ) dy =

=

x

Z

x0

P(t, y0) dt +

y

Z

y0

Q(x , t) dt =

=

y

Z

y0

Q(x₀, t) dt +

x

Z

x0

P(t, y ) dt

2

Sposób wyznaczania potencjału

Jeżeli pole ~F jest potencjalne, to jego potencjał f możemy wyznaczyć np.

za pomocą całki krzywoliniowej skierowanej. Jeżeli A(x0, y0) jest punktem ustalonym, a punkt B(x , y ) jest punktem bieżącym, to

f (x , y ) − f (x0, y0) = Z

>AB

P(x , y ) dx + Q(x , y ) dy =

=

x

Z

x0

P(t, y0) dt +

y

Z

y0

Q(x , t) dt =

=

y

Z

y0

Q(x₀, t) dt +

x

Z

x0

P(t, y ) dt

2

Zastosowanie całki krzywoliniowej skierowanej

Praca w polu siły ~F (x , y ) = [P(x , y ), Q(x , y )] wykonana na drodze>

AB:

W = Z

>AB

F ◦ dl =~ Z

>AB

P(x , y ) dx + Q(x , y ) dy

Potencjał pola ~F (x , y ) = [P(x , y ), Q(x , y )] (jeżeli pole jest potencjalne).

2

Zastosowanie całki krzywoliniowej skierowanej

Praca w polu siły ~F (x , y ) = [P(x , y ), Q(x , y )] wykonana na drodze>

AB:

W = Z

>AB

F ◦ dl =~ Z

>AB

P(x , y ) dx + Q(x , y ) dy

Potencjał pola ~F (x , y ) = [P(x , y ), Q(x , y )] (jeżeli pole jest potencjalne).

2