Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego

(1)

Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego

Inżynieria Środowiska

w ramach projektu „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość”

(2)

16. Planimetria i stereometria

1. Figury na płaszczyźnie

• trójkąt

pole P =

¹₂

ah

a – długość podstawy, h – wysokość

P =

¹₂

ab sin α

α to kąt pomiędzy bokami a i b

• równoległobok

pole P = ah

a – długość boku, h – wysokość

jeśli równoległobok jest rombem, to P =

¹₂

d

₁

·d

2

, d

1

, d

2

– długości przekątnych

• trapez

pole P =

¹₂

(a + b)h

a, b – podstawy, h – wysokość

• koło

pole P = πr

²

obwód L = 2πr r – długość promienia

• elipsa

pole P = πab

a, b – długości półosi

2. Bryły

• graniastosłup

objętość V = P · h

P – pole podstawy, h – wysokość

(3)

• ostrosłup

objętość V =

¹₃

P · h

P – pole podstawy, h – wysokość

• kula

objętość V =

⁴₃

πr

³

pole P = 4πr

²

r – promień

• walec

objętość V = πr

²

h pole P = 2πr

²

+ 2πrh

r – promień podstawy, h – wysokość

• stożek

objętość V =

¹₃

πr

²

h pole P = πr

²

+ πrl

r – promień podstawy, h – wysokość, l – tworzą- ca

3. Twierdzenia

• twierdzenie Talesa:

^a_b

=

_d^c

• twierdzenie sinusów:

_{sin α}^a

=

_{sin β}^b

=

_{sin γ}^c

• twierdzenie cosinusów: c

²

= a

²

+ b

²

− 2ab cos γ

(4)

• promień okręgu opisanego na trójkącie:

R =

_{2 sin α}^a

, gdzie α leży naprzeciw boku o dłu- gości a

R =

^abc_4P

, gdzie P – pole trójkąta

• promień okręgu wpisanego w trójkąt:

r =

_a+b+c^2P

, P – pole trójkąta

Zadania

1. W pewnym wielokącie jest o 13 przekątnych więcej niż w wielokącie, który ma o 2 boki mniej. Ile boków ma ten wielokąt?

2. Bok rombu ma długość 4, a jeden z kątów ma miarę

^π₃

. Obliczyć pole i długości przekątnych rombu.

3. Na pewnym kole opisano kwadrat i w to koło wpisano kwadrat. Różnica pól tych kwadratów jest równa 5. Obliczyć pole koła.

4. W okrąg wpisano kwadrat i na tym samym okręgu opisano trójkąt równoboczny. Suma długości boków kwadratu i trójkąta wynosi 12. Obliczyć długość promienia okręgu.

5. W trójkącie ABC dane są długości boków |AB| = 4, |BC| = √

3, |AC| = 3. Obliczyć:

a) cos( ^BAC),

b) pole trójkąta ABC,

c) długość odcinka łączącego wierzchołek C ze środkiem boku AB.

6. Boki trójkąta mają długości 3, 5 i 7. Obliczyć wartości sinusów kątów wewnętrznych tego trójkąta.

7. Suma długości boków AC i BC trójkąta ABC jest równa 10. Miary kątów wewnętrznych o wierzchołkach A i B są równe odpowiednio

^π₆

i

^π₄

. Obliczyć długości boków AC i BC oraz pole trójkąta.

8. Na okręgu o promieniu 2 opisano trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątna ma długość 10.

Obliczyć pole i obwód tego trójkąta.

9. Suma długości krawędzi dwóch sześcianów równa jest 12, a suma ich objętości 468. Obliczyć dłu- gości krawędzi.

10. Jeśli każdy bok kwadratu zwiększymy o 10, to jego pole wzrośnie 9-krotnie. Obliczyć długość boku kwadratu.

11. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna ma długość 5, a przekątna podstawy ma długość 2. Obliczyć jego objętość i pole powierzchni całkowitej.

12. Walec o promieniu podstawy 4 i wysokości 6 przecięto płaszczyzną prostopadłą do podstawy, przechodzącą przez środki podstaw. Obliczyć pole koła opisanego na otrzymanym przekroju.

13. Obliczyć objętość czworościanu foremnego o długości krawędzi 6.

(5)

14. Wyznaczyć cosinus kąta nachylenia przekątnej sześcianu do:

a) powierzchni podstawy, b) krawędzi podstawy.

15. Stożek o promieniu podstawy 5 i wysokości 10 został przecięty powierzchnią równoległą do pod- stawy w odległości 2 od szczytu. Obliczyć objętość dolnej części.

16. Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 5 √

6, a krawędź podstawy 10. Ob- liczyć długość krawędzi bocznej i znaleźć miarę kąta, jaki tworzy krawędź boczna z płaszczyzną podstawy.

17. Bok ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest trójkątem równoramiennym o podstawie 2 √ 3 i wysokości 5. Obliczyć jego objętość i pole powierzchni.

18. Znaleźć objętość walca wpisanego w graniastosłup prawidłowy sześciokątny, którego wszystkie krawędzie są równe a.

19. Przekątna przekroju osiowego walca ma długość 5, a stosunek promienia podstawy walca do jego wysokości wynosi

²₃

. Obliczyć objętość i pole powierzchni całkowitej walca.

20. W kulę wpisano stożek. Stosunek pola podstawy stożka do pola powierzchni kuli jest równy

₁₆³