Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego
Inżynieria Środowiska
w ramach projektu „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość”
12. Ciągi
1. Ciąg liczbowy.
Ciągiem liczb rzeczywistych nazywamy dowolną funkcję a : N → R. Zamiast a(n), piszemy a
n. Ciąg oznaczamy następująco: (a
n) ⊂ R, (a
n)
∞n=1⊂ R lub {a
n}
∞n=1⊂ R.
2. Monotoniczność ciągu.
a) Ciąg (a
n)
∞n=1⊂ R nazywamy rosnącym, jeśli a
n6 a
n+1dla n ∈ N.
b) Ciąg (a
n)
∞n=1⊂ R nazywamy silnie rosnącym, jeśli a
n< a
n+1dla n ∈ N.
c) Ciąg (a
n)
∞n=1⊂ R nazywamy malejącym, jeśli a
n+16 a
ndla n ∈ N.
d) Ciąg (a
n)
∞n=1⊂ R nazywamy silnie malejącym, jeśli a
n+1< a
ndla n ∈ N.
e) Ciąg (a
n)
∞n=1⊂ R nazywamy stałym, jeśli a
n+1= a
ndla n ∈ N.
f) Ciąg rosnący lub malejący nazywamy monotonicznym, a ciąg silnie rosnący lub silnie malejący nazywamy silnie monotonicznym.
3. Ograniczoność.
a) Ciąg (a
n)
∞n=1nazywamy ograniczonym od góry, jeśli istnieje M ∈ R takie, że a
n6 M dla każdego n ∈ N.
b) Ciąg (a
n)
∞n=1nazywamy ograniczonym od dołu, jeśli istnieje M ∈ R takie, że M 6 a
ndla każdego n ∈ N.
c) Ciąg (a
n)
∞n=1nazywamy ograniczonym, jeśli istnieje M ∈ R takie, że |a
n| 6 M dla każdego n ∈ N.
Łatwo zauważyć, że jeśli ciąg jest ograniczony od dołu i od góry, to jest on ograniczony i na odwrót:
jeśli jest ograniczony, to jest ograniczony od góry i od dołu.
4. Ciąg arytmetyczny.
Ciąg arytmetyczny to ciąg (a
n), dla którego a
n+1− a
n= const dla każdego n ∈ N, czyli
∃
r∈R∀
n∈Na
n+1= a
n+ r
a
n+1= a
1+ (n − 1)r − n − ty wyraz ciągu arytmetycznego S
n= (a
1+ a
n) n
2 = [2a
1+ (n − 1)r] n
2 − suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego a
n= a
n−1+ a
n+12 − średnia arytmetyczna
5. Ciąg geometryczny.
Ciąg geometryczny to ciąg (a
n), dla którego
an+1an
= const dla każdego n ∈ N, czyli
∃
q∈R∀
n∈Na
n+1= a
n· q
a
n+1= a
1· q
n−1− n − ty wyraz ciągu geometrycznego S
n=
{
n · a
ndla q = 1,
a
1·
11−q−qndla q ̸= 1. − suma npoczątkowych wyrazów ciągu geometrycznego
a
2n= a
n−1· a
n+1− średnia geometryczna
Ciąg sum częściowych ciągu geometrycznego (S
n)
∞n=1, S
n= a
1·
11−q−qnjest zbieżny i ma granicę S wtedy i tylko wtedy, gdy |q| < 1, tzn.
S = lim
n→∞
S
n= a
11 − q
6. Granica ciągu.
Liczba g jest granicą ciągu nieskończonego (a
n)
∞n=1, jeśli dla każdego otoczenia liczby g należą prawie wszystkie wyrazy ciągu (tzn. wszystkie poza skończoną liczbą wyrazów), tzn.
n
lim
→∞a
n= g ⇐⇒ ∀
ε>0∃
M∈R∀
n>M|a
n− a| < ε.
Ciąg (a
n), który ma granicę właściwą nazywamy zbieżnym.
Ciąg (a
n)
∞n=1jest zbieżny do +∞ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby M prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od M , tzn.
n
lim
→∞a
n= + ∞ ⇐⇒ ∀
M∈R∃
m∈R∀
n>ma
n> M.
Ciąg (a
n)
∞n=1jest zbieżny do −∞ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby M prawie wszystkie wyrazy ciągu są mniejsze od M , tzn.
n
lim
→∞a
n= −∞ ⇐⇒ ∀
M∈R∃
m∈R∀
n>ma
n< M.
7. Ważne twierdzenia.
Twierdzenie o trzech ciągach Jeżeli lim
n→∞
a
n= lim
n→∞
b
n= g oraz jeśli (c
n)
∞n=1jest ciągiem, którego prawie wszystkie wyrazy spełniają nierówność a
n6 c
n6 b
n, to ciąg (c
n)
∞n=1jest zbieżny oraz lim
n→∞
c
n= g.
Twierdzenie
Każdy podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy.
Twierdzenie Jeżeli lim
n→∞
a
n= a, lim
n→∞
b
n= b, to a) lim
n→∞
(a
n± b
n) = a ± b, b) lim
n→∞
(a
n· b
n) = a · b, c) lim
n→∞
an
bn
=
ab, jeśli b
n̸= 0, b ̸= 0.
Twierdzenie Jeżeli lim
n→∞
a
n= a, lim
n→∞
b
n= b i prawie wszystkie wyrazy ciągów (a
n) i (b
n) spełniają nierówność a
n6 b
n, to a 6 b.
Twierdzenie o ciągu monotonicznym
Każdy ciąg malejący i ograniczony od dołu jest zbieżny.
Każdy ciąg rosnący i ograniczony od góry jest zbieżny.
8. Różne granice.
n
lim
→∞1 n
= 0
n
lim
→∞|a
n| = ∞ =⇒ lim
n→∞a1n= 0
(
∀
n∈Na
n> 0 ∧ lim
n→∞a
n= 0
)= ⇒ lim
n→∞a1n= + ∞
n
lim
→∞a
n=
0, gdy |a| < 1, 1, gdy a = 1, + ∞, gdy a > 1.
n
lim
→∞√
nn = 1 lim
n→∞
√
na = 1, gdy a > 0
n
lim
→∞(
1 + 1
n
)n= e lim
n→∞
(
1 − 1
n
)n= 1
e lim
n→∞
(
1 + a
n
)n= e
aa > 1, k > 1 = ⇒ lim
n→∞a
nn
k= + ∞ Przykładowe zadania
1. Zbadać monotoniczność ciągu a
n= 1 −
n12. Rozwiązanie:
Badamy różnicę a
n+1− a
na
n+1− a
n= 1 −
(n+1)1 2− (1 −
n12) =
n12−
(n+1)1 2=
(n+1)n2(n+1)2−n22=
n22n+1(n+1)2> 0 dla każdego n ∈ N Odpowiedź: Ciąg a
njest silnie rosnący.
2. W ciągu arytmetycznym a
2= −4, a
8= 14. Obliczyć a
1, r.
Rozwiązanie:
Korzystamy ze wzoru na n–ty wyraz ciągu arytmetycznego a
n= a
1+ (n − 1)r Zatem a
2= a
1+ r = −4, zaś a
8= a
1+ 7r = 14. Stąd r = 3, a
1= −7.
Odpowiedź: r = 3, a
1= −7.
3. W ciągu arytmetycznym a
21= 30, r = 0, 7. Obliczyć S
11. Rozwiązanie:
Korzystamy ze wzoru na n–ty wyraz ciągu arytmetycznego a
n= a
1+ (n − 1)r Zatem a
21= a
1+ 20r = a
1+ 20 · 0, 7 = 30, stąd a
1= 16
Korzystamy ze wzoru na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego S
n=
[2a1+(n2−1)r]·nS
11=
(2·16+10·0,7)·112
=
(32+7)112= 214, 2
Odpowiedź: S
11= 214, 2.
4. Dla jakich wartości x liczby 2x, x
2, 24 tworzą ciąg arytmetyczny?
Rozwiązanie:
Korzystamy ze wzoru na średnią arytmetyczną a
2=
a1+a2 3x
2=
2x+242, zatem x
2− x − 12 = 0, czyli x
1= −3, x
2= 4 Odpowiedź: x
1= −3, x
2= 4.
5. Zbadać, czy ciąg a
n= 3n + 2 jest arytmetyczny.
Rozwiązanie:
Ciąg jest arytmetyczny, gdy jest stała różnica pomiędzy wyrazem następnym a poprzednim.
a
n+1− a
n= 3(n + 1) + 2 − (3n + 2) = 3n + 3 + 2 − 3n − 2 = 3 Odpowiedź: Ciąg jest arytmetyczny.
6. W ciągu geometrycznym a
5= 2, a
10= 64. Obliczyć a
1i q.
Rozwiązanie:
Korzystamy ze wzoru na n–ty wyraz ciągu geometrycznego a
n= a
1· q
n−1Zatem a
5= a
1· q
4= 2, zaś a
10= a
1· q
9= 64. Stąd q = 2, a
1=
18.
Odpowiedź: q = 2, a
1=
18.
7. W ciągu geometrycznym S
n=
121162, a
4=
541, q =
13. Obliczyć n.
Rozwiązanie:
Korzystamy ze wzoru na n–ty wyraz ciągu geometrycznego a
n= a
1· q
n−1Zatem a
4= a
1· (
13)
3=
541, stąd a
1=
12.
Korzystamy ze wzoru na sumę n wyrazów ciągu geometrycznego S
n= a
11−qn 1−qS
n= a
11−qn1−q
=
12·
1−(1−131)n3
=
12·
32(1 − (
13)
n )=
34 (1 − (
13)
n ).
Stąd
34· (1 − (
13)
n) =
121162, zatem 1 − (
13)
n=
121162·
43, czyli 1 − (
13)
n=
242243(
13)
n=
2431= (
13)
5, czyli n = 5
Odpowiedź: n = 5.
8. Zbadać, czy ciąg a
n= 2n jest geometryczny.
Rozwiązanie:
Ciąg jest geometryczny, gdy iloraz pomiędzy dowolnym wyrazem a wyrazem go poprzedzającym jest stały (niezależny od n). Obliczmy
an+1
an
=
2(n+1)2n=
n+1n= 1 +
n1– jest zależne od n Odpowiedź: Ciąg nie jest geometryczny.
9. Dla jakich wartości x liczby 5, x,
54tworzą ciąg geometryczny?
Rozwiązanie:
Korzystamy ze wzoru na średnią geometryczną a
2= √ a
1· a
3Zatem x
2= 5 ·
54, stąd x = ±
√254, czyli x = ±
52Odpowiedź: x = ±
52.
10. Obliczyć sumę ciągu 1 +
√13
+
13+
13√ 3
+ . . . Rozwiązanie:
Jest to nieskończony ciąg geometryczny, w którym a
1= 1 oraz q =
√13
. Korzystamy ze wzoru S =
1a−q1S =
11−√1 3
=
√1 3−1√3
=
√3
√3−1
=
√3(√ 3+1) (√
3+1)(√ 3−1)
=
√3(√ 3+1) 3−1
=
√3 2
( √
3 + 1) =
12(3 + √ 3 ) Odpowiedź: S =
12(3 + √
3 ).
11. Obliczyć lim
n→∞
9n2+2n+1 3n2−n+2
. Rozwiązanie:
Dzielimy każdy składnik licznika i mianownika przez n w najwyższej potędze z mianownika, czyli przez n
2.
Zatem
9+2 n+1
n2
3−n1+1
n2
.
Skoro n → ∞, to
n12→ 0,
n1→ 0.
Stąd lim
n→∞
9+n2+1
n2
3−n1+1
n2
=
93= 3 Odpowiedź: 3.
12. Obliczyć lim
n→∞
( √
n
2+ n − √
n
2− n ).
Rozwiązanie:
Korzystając ze wzoru a − b =
aa+b2−b2, otrzymujemy lim
n→∞
(n2+n)−(n2−n)
√n2+n+√
n2−n
= lim
n→∞
√ 2n n2+n+√
n2−n
, dzie- limy każdy składnik przez n, stąd lim
n→∞
√ 2
1+n1+√
1−n1
= 1.
Odpowiedź: 1.
13. Obliczyć lim
n→∞
√ 1 n2−3−√
n2+5n
. Rozwiązanie:
Korzystając ze wzoru
a−b1=
aa+b2−b2, otrzymujemy lim
n→∞
√n2−3+√ n2+5n
n2−3−(n2+5n)
= lim
n→∞
√n2−3+√ n2+5n
−3−5n
, dzie- limy każdy składnik przez n, stąd lim
n→∞
√
1−n23 +√
1+n5
−n3+5
=
−51= −
15Odpowiedź: −
15.
14. Obliczyć lim
n→∞
2n+4n 5n+3n
. Rozwiązanie:
Dzielimy licznik i mianownik przez 5
n, zatem lim
n→∞
(25)n+(45)n
1+(35)n
= 0, bo jeśli q ∈ (0, 1), to q
n→ 0 Odpowiedź: 0.
15. Obliczyć lim
n→∞
4n+1+5·3n 8·4n−1−7
Rozwiązanie:
n
lim
→∞4n+1+5·3n 8·4n−1−7
= lim
n→∞
4n·4+5·3n 8·4n·4−1−7
= lim
n→∞
4n·4+5·3n
2·4n−7
, dzielimy każdy wyraz przez 4
n, stąd lim
n→∞
4+5·(34)n 2−7·(14)n
= 2
Odpowiedź: 2.
16. Obliczyć lim
n→∞
(1 +
5n)
2nRozwiązanie:
n
lim
→∞(1 +
5n)
2n= lim
n→∞
[(
1 +
1n 5)n
5
]10
= e
10Odpowiedź: e
10.
17. Obliczyć lim
n→∞
(1 −
n32)
5n2Rozwiązanie:
n
lim
→∞(1 −
n32)
5n2= lim
n→∞
[(
1 +
1−n23
)−n23 ]−15
= e
−15Odpowiedź: e
−15.
18. Obliczyć lim
n→∞
(
n+2n)
10nRozwiązanie:
n
lim
→∞(
n+2n)
10n= lim
n→∞
(1 +
n2)
10n= lim
n→∞
[(
1 +
n1 2)n
2
]20
= e
20Odpowiedź: e
20.
19. Obliczyć lim
n→∞
(
n+1n+3)
nRozwiązanie:
n
lim
→∞(
n+1n+3)
n= lim
n→∞
(1+1n)n
(1+3n)n
= lim
n→∞
(1+1n)n
[
(1+n1 3
)n3
]3
=
ee3= e
−2Odpowiedź: e
−2. 20. Obliczyć lim
n→∞
√
n2
n+ 5
n+ 8
n. Rozwiązanie:
Zachodzi następująca nierówność:
8
n6 2
n+ 5
n+ 8
n6 8
n+ 8
n+ 8
n= 3 · 8
nObliczamy pierwiastek n–tego stopnia dla każdego ze składników nierówności. Jest to funkcja rosnąca, zatem znak nierówności nie zmieni się. Stąd
8 = √
n8
n6 √
n2
n+ 5
n+ 8
n6 √
n3 · 8
n6 √
n3 · 8 Ponieważ √
n3 → 1, więc skrajne ciągi są zbieżne do 8. Stosujemy twierdzenie o trzech ciągach, stąd
n
lim
→∞√
n2
n+ 5
n+ 8
n= 8 Odpowiedź: 8.
Zadania
Napisać 5 pierwszych wyrazów ciągu o wyrazie ogólnym:
1. a
n= 1 −
n12. 2. c
n= log
24
n− 1.
3. Obliczyć cztery początkowe wyrazy ciągu arytmetycznego, w którym a
1= 2 i r = −3.
4. Między liczby 1 i 64 wstawiono takie liczby x i y, by ciąg 1, x, y, 64 był arytmetyczny. Jakie to liczby?
5. Znaleźć sumę 20 początkowych liczb naturalnych, które przy dzieleniu przez 7 dają resztę 3.
6. Wyznaczyć ciąg arytmetyczny, którego suma n pierwszych wyrazów wynosi n
2dla wszystkich n ∈ N.
7. Iloraz ciągu geometrycznego wynosi q =
1+2√5. Wykazać, że każdy wyraz tego ciągu (poza pierw- szym) jest równy różnicy wyrazów sąsiednich.
8. Wyznaczyć cztery liczby, z których 3 pierwsze tworzą ciąg geometryczny, 3 ostatnie ciąg arytme- tyczny oraz suma wyrazów skrajnych wynosi 14, zaś środkowych 12.
9. Wykonano 10 m studnię. Za pierwszy metr zapłacono 2 zł, a za każdy następny metr płacono dwukrotnie więcej niż za poprzedni. Ile kosztowała studnia?
10. W ciągu arytmetycznym r = 3, S
13= 221. Obliczyć a
1.
11. Dla jakich wartości x liczby 2, x, x
2− 2 tworzą ciąg arytmetyczny?
12. W ciągu geometrycznym S
6= 1820, q = 3. Obliczyć a
3. 13. Zbadać, czy ciąg a
n= n
2jest arytmetyczny.
14. Dla ciągu o wyrazie ogólnym a
n= n +
21nobliczyć wartość wyrażenia a
2− 3a
3+ 2a
4. 15. Dany jest ciąg (a
n), gdzie a
n=
2n+1n+5. Wyznaczyć wszystkie wyrazy tego ciągu większe od 1.
16. Dla ciągu arytmetycznego 2, 5, 8, 11, . . . obliczyć sumę pierwszych 20 wyrazów.
17. Wyznaczyć x, jeżeli liczby 4, x
2+ x, 8 są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego.
18. Obliczyć S dla ciągu
12+
16+
181+
541+ . . . . Obliczyć granicę ciągu:
19. a
n=
2nn34−4n+1+5n. 20. a
n=
√ 2nn2+n−√ n2−2n
