Wycieczki z Lagrange'em, czyli matematyka wokół nas

Witold TOMASZEWSKI

Wydziaª Matematyki Stosowanej, Politechnika ‘l¡ska, ul. Kaszubska 23, 44-100 Gliwice

Wycieczki z Lagrange'em, czyli matematyka wokóª nas

Streszczenie. Twierdzenia z zakresu czystej matematyki niecz¦sto kojarz¡ si¦ nam z »yciem codziennym. Jednak wiele z nich znajduje bezpo±rednie zastosowanie w otaczaj¡cej nas rzeczy- wisto±ci. Celem niniejszego artykuªu jest wsparcie tej tezy poprzez zobrazowanie, w jaki sposób podczas pieszej wycieczki mo»na odkry¢. . . twierdzenie Lagrange'a o warto±ci ±redniej. W dalszej cz¦±ci artykuªu pokazano, »e geometryczna wersja rozwa»anego twierdzenia znana byªa ju» w cza- sach staro»ytnych  Archimedes stosowaª j¡ do wyznaczania pól gur, które nie s¡ wielok¡tami.

Sªowa kluczowe: Twierdzenie Lagrange'a, twierdzenie Rolle'a, pole gury, krzywe sto»kowe.

1. Wst¦p

Matematycy, jak wszyscy ludzie, wykonuj¡ codziennie wiele czynno±ci. Myj¡ si¦, ubieraj¡, robi¡ zaku- py, chodz¡ na spacery, sprz¡taj¡ (cho¢ autor tego artykuªu zna kilku matematyków, którzy tego ostatniego nie robi¡  a szkoda, bo mogªoby to zaowocowa¢ ciekawymi matematycznymi spostrze»eniami). W tych codziennych zaj¦ciach matematycy dostrzegaj¡ czasem pewne zasady, które potem wyra»aj¡ w j¦zyku matematyki, formuªuj¡c w postaci twierdze« matematycznych. Oczywi±cie te zasady dostrzegaj¡ te» inni ludzie, ale zwykle s¡ one dla nich tak naturalne i oczywiste, »e nie zastanawiaj¡ si¦ nad ich matematyczn¡

natur¡.

W wielu podr¦cznikach mo»na znale¹¢ opis ró»nych zastosowa« matematyki. Najcz¦±ciej omawiane s¡

zastosowania w zyce, naukach technicznych, czasem w ekonomii, a rzadziej w biologii lub innych naukach.

Nie znajdziemy jednak informacji o faktach matematycznych pojawiaj¡cych si¦ w »yciu codziennym, wokóª nas. Ten artykuª nie wypeªnia tej luki, pokazuje jedynie jeden przykªad twierdzenia, które mo»na zaobserwowa¢ w trakcie wykonywania codziennych czynno±ci.

W rozdziale 2. opowiadamy o tym, jak w trakcie wycieczek mo»na odkry¢ twierdzenie Lagrange'a¹ o warto±ci ±redniej, a w rozdziale 3. pokazujemy, »e geometryczna wersja twierdzenia Lagrange'a byªa znana ju» w czasach staro»ytnych  Archimedes u»ywaª jej do wyznaczania pól gur, które nie s¡

wielok¡tami.

Autor korespondencyjny: W. Tomaszewski (Witold.Tomaszewski@polsl.pl).

Data wpªyniecia: 30.08.2021.

1 Joseph Louis Lagrange (17361813) urodziª si¦ w Turynie jako Giuseppe Lodovico Lagrangia. Rodzice Lagrange'a byli Wªochami, ojciec miaª francuskie korzenie. Ogólnie przyj¦ta pisownia jego nazwiska wynika najpewniej z faktu, »e sam si¦

ni¡ posªugiwaª w pracach naukowych  Lagrange du»¡ cz¦±¢ swojego »ycia sp¦dziª we Francji.

Twierdzenie Lagrange'a o warto±ci ±redniej jest jednym z najwa»niejszych twierdze« rachunku ró»- niczkowego. Niniejszy tekst nie wymaga jednak znajomo±ci formalnych denicji podstawowych poj¦¢

z zakresu analizy matematycznej. Uj¦te w artykule okre±lenie pochodnej wykorzystuje wyª¡cznie rów- no±¢, któr¡ zwykle podaje si¦ jako geometryczn¡ interpretacj¦ pochodnej.

2. Twierdzenie Lagrange'a

Wyobra¹my sobie, »e chcemy przej±¢ najkrótsz¡ drog¡ z punktu A do punktu B.

A B

Je±li przyjmiemy, »e teren jest pªaski (a zwykle tak wªa±nie robimy), to zgodnie z geometri¡ Euklidesa (któr¡ uznajemy za nasz¡ geometri¦), najkrótsz¡ drog¡ jest odcinek ª¡cz¡cy A z B.

A B

Sytuacja si¦ komplikuje, gdy mi¦dzy punktami znajduje si¦ jaka± przeszkoda, na przykªad jeziorko.

A B

Je±li nie dysponujemy ªódk¡, a nie chcemy jeziorka przepªywa¢ wpªaw, to musimy wybra¢ inn¡ drog¦, zwykle prowadz¡c¡ wzdªu» wytyczonej ±cie»ki. Mo»emy wyszczególni¢ trzy istotnie ró»ne warianty takiej drogi: w wariancie pierwszym ±cie»ka jest gªadka, w drugim zawiera ostry zakr¦t, a w trzecim kolejn¡

 tym razem niewielk¡  przeszkod¦, któr¡ woleliby±my przeskoczy¢.

A B

Droga 1

A B

Droga 2

A B

Droga 3

Na mapach ±cie»ki lub drogi rysowane s¡ zwykle w postaci krzywych. Zauwa»my, »e trzecia z przed- stawionych dróg istotnie ró»ni si¦ od poprzednich  jest nieci¡gªa. Punkt przeskoku, zaznaczony wy- kropkowan¡ lini¡ (w matematyce nazywany jest punktem nieci¡gªo±ci), wynika z pojawiaj¡cych si¦ prze- szkód: pni ±ci¦tych drzew, gaª¦zi le»¡cych na drodze czy strumyków. Nie b¦dziemy tutaj wyja±nia¢, ani tym bardziej podawa¢ formalnej denicji krzywych ci¡gªych, gdy» wierzymy, »e przedstawione rysunki w wystarczaj¡cym stopniu oddaj¡ istot¦ tego poj¦cia.

Zauwa»my, »e we wszystkich powy»szych wariantach naszej wycieczki zachowane s¡ dwie zasady. Po pierwsze musimy przez pewien czas oddala¢ si¦ od drogi bezpo±rednio ª¡cz¡cej A z B, a po drugie musi istnie¢ (przynajmniej jeden) punkt zwrotny, w którym zaczniemy si¦ do tej wªa±ciwej drogi przybli»a¢.

W jaki sposób mo»emy opisa¢ taki punkt zwrotny? Wszystko zale»y od tego, jak wygl¡da nasza droga.

Tras¦ drug¡ ró»ni od pierwszej punkt zagi¦cia, zwany zwykle ostrzem. ›artobliwie mo»na okre±li¢

drug¡ drog¦ jako wojskow¡, poniewa» zagi¦cie pojawia si¦ po komendzie w prawo zwrot!. O takim punkcie w matematyce mówimy, »e jest nieró»niczkowalny. O pierwszej krzywej b¦dziemy mówi¢, »e jest ró»niczkowalna w ka»dym punkcie².

A co oznacza termin ró»niczkowalna? Mo»emy t¦ cech¦ scharakteryzowa¢ tak, »e w ka»dym punkcie krzywej mo»na jednoznacznie narysowa¢ prost¡ do niej styczn¡.

A B

Unikamy tutaj podawania denicji stycznej, uzasadniaj¡c to podobnie jak brak formalnego wyja±nie- nia poj¦cia krzywych ci¡gªych. Jest jasne, »e w ostrzu nie mo»na umie±ci¢ jednoznacznie stycznej. Zatem krzywa opisana jako Droga 2 w tym punkcie nie jest ró»niczkowalna.

I tu dochodzimy do sedna. Lagrange zauwa»yª, »e je±li krzywa rozpi¦ta mi¦dzy dwoma punktami jest ró»niczkowalna, to punkt zwrotny charakteryzuje si¦ tym, »e styczna w nim poprowadzona jest równolegªa do odcinka AB.

2 Wiadomo, »e je±li funkcja jest ró»niczkowalna, to jest ci¡gªa.

A B

Swoje twierdzenie Lagrange sformuªowaª nast¦puj¡co:

Je±li krzywa rozpi¦ta mi¦dzy punktami A i B jest ró»niczkowalna, to istnieje punkt na tej krzywej, »e styczna do niej w tym punkcie jest równolegªa do odcinka AB.

Przytoczenie powy»szego twierdzenia stwarza dobr¡ okazj¦ do wyja±nienia bardzo wa»nej kwestii:

tak zwanej istotno±ci zaªo»e«. W twierdzeniu Lagrange'a zaªo»eniem jest ró»niczkowalno±¢ krzywej.

Wida¢, »e cho¢ punkt zwrotny istnieje dla ka»dej z trzech przedstawionych wcze±niej tras, to dla dwóch z nich nie mo»na go okre±li¢ przy pomocy stycznej. Zatem dla krzywych nieró»niczkowalnych twierdzenie Lagrange'a mo»e by¢ nieprawdziwe. Trzeba powiedzie¢ mo»e by¢ nieprawdziwe, bo na krzywej, która ma punkty nieci¡gªo±ci lub punkty nieró»niczkowalne, mo»e istnie¢ punkt, w którym styczna jest równolegªa do odcinka AB  przykªad znajduje si¦ na poni»szym rysunku.

A B

Zazwyczaj w podr¦cznikach twierdzenie Lagrange'a formuªuje si¦, u»ywaj¡c pochodnej funkcji w punk- cie, któr¡ z kolei deniuje si¦ przy u»yciu poj¦cia granicy funkcji. Pochodn¡ mo»emy równie» zdeniowa¢, odwoªuj¡c si¦ do poj¦cia stycznej do krzywej b¦d¡cej wykresem rozwa»anej funkcji.

Na poni»szym rysunku przypominamy geometryczn¡ denicj¦ tangensa, poniewa» denicja pochodnej korzysta z tej funkcji³.

x y

α

y

x (x, y)

x y

tgα =^y_x

3 Jak pami¦tamy ze szkoªy, tangens k¡ta ostrego w trójk¡cie prostok¡tnym to stosunek dªugo±ci przyprostok¡tnej, znajduj¡cej si¦ naprzeciw tego k¡ta, do drugiej przyprostok¡tnej.

Przypu±¢my, »e f jest funkcj¡ okre±lon¡ w pewnym podzbiorze I zbioru liczb rzeczywistych. To znaczy,

»e dla ka»dego a w zbiorze I jest okre±lona warto±¢ f(a), nale»¡ca do zbioru liczb rzeczywistych. Je±li na dodatek chcemy mówi¢ o ci¡gªo±ci lub pochodnej funkcji f w punkcie ξ, to nie tylko ξ musi nale»e¢ do zbioru I, ale funkcja musi by¢ okre±lona w pewnym przedziale otwartym, którego ±rodkiem jest punkt ξ.

Wówczas pochodn¡ funkcji f w punkcie ξ jest tangens k¡ta mi¦dzy osi¡ Ox a styczn¡ do wykresu funkcji w punkcie o wspóªrz¦dnych (ξ, f(ξ)).

x y

a b

f (a) f (b)

y = f (x)

ξ f (ξ)

α

f⁰(ξ) = tg(α) A

B

Je»eli styczna w danym punkcie jest równolegªa do odcinka AB, to k¡t β na poni»szym rysunku jest równy k¡towi α.

x y

a b

f (a) f (b)

y = f (x)

ξ

b − a

f (b) − f (a)

β

α

A

B

Wynika st¡d, »e f⁰(ξ) =tg(α) = tg(β), a z denicji funkcji tangens mamy

f⁰(ξ) =tg(β) = f (b) − f (a) b − a .

Teraz mo»emy ju» zacytowa¢ twierdzenie Lagrange'a w postaci, któr¡ mo»emy znale¹¢ w wi¦kszo±ci podr¦czników.

Twierdzenie (Lagrange'a o warto±ci ±redniej). Je±li f jest funkcj¡ ci¡gª¡ i ró»niczkowaln¡ w prze- dziale domkni¦tym [a, b], to istnieje taki punkt ξ ∈ (a, b), »e

f⁰(ξ) = f (b) − f (a) b − a .

Jak wida¢, matematyczny sposób wypowiedzenia tego twierdzenia odbiega od obserwacji poczynionej w trakcie pieszej wycieczki.

Lagrange sformuªowaª powy»sze twierdzenie w 1797 roku. Ponad 100 lat wcze±niej, w roku 1691, Michel Rolle (1652-1719) odkryª szczególn¡ posta¢ tego twierdzenia dla funkcji wielomianowych. Rolle udowodniª, »e je±li f(a) = f(b) dla funkcji wielomianowej f, to istnieje liczba ξ le»¡ca pomi¦dzy a i b taka, »e styczna do wykresu funkcji wielomianowej w punkcie o wspóªrz¦dnych (ξ, f(ξ)) jest pozioma, czyli punkt, w którym pochodna jest równa 0. Twierdzenie o warto±ci ±redniej w postaci, jak¡ znamy obecnie, sformuªowaª i udowodniª Augustin Louis Cauchy (1789-1857) w roku 1823.

x y

f (a) = f (b) f (ξ)

a ξ b

Twierdzenie Rolle'a  f⁰(ξ) = 0

Zaprezentujemy teraz kolejny przykªad wycieczki, w trakcie której mo»emy zaobserwowa¢ twierdzenia Rolle'a i Lagrange'a.

Zm¦czeni dªug¡, piesz¡ w¦drówk¡ postanowili±my wybra¢ si¦ na weekend do pobliskiego kurortu, aby nieco odpocz¡¢. Wyjechali±my w pi¡tek po poªudniu, a powrót zaplanowali±my na niedziel¦ po poªudniu.

Do kurortu odlegªego od naszego miasta o d kilometrów, mo»na dojecha¢ poci¡giem. Podró» trwa m minut. W takim razie ±rednia pr¦dko±¢ poci¡gu na tej trasie wynosi v±r = _m^d kilometrów na minut¦. W trakcie podró»y stwierdzili±my, »e poci¡g nie porusza na caªym odcinku z jednakow¡ pr¦dko±ci¡. Przyszªo nam, wi¦c do gªowy naturalne pytanie, czy w pewnej chwili t0, poci¡g poruszaª si¦ z pr¦dko±ci¡ równ¡

pr¦dko±ci ±redniej?

Odpowied¹, »e taki punkt istnieje, wydaje si¦ oczywista, a formalnie mo»na to uzasadni¢ wykorzystuj¡c twierdzenie Lagrange'a. Czas podró»y liczymy od chwili pocz¡tkowej t = 0 a» do ko«cowej t = m. Drog¦, któr¡ przejechaª poci¡g od pocz¡tku podró»y do pewnej chwili t ∈ [0, m], oznaczamy przez s(t), a pr¦dko±¢

poci¡gu w tej chwili przez v(t). Jest jasne, »e s(0) = 0 oraz s(m) = d. Wiadomo, »e pr¦dko±¢ v(t) w chwili tjest równa pochodnej funkcji s(t), wi¦c v(t) = s⁰(t)⁴. Z twierdzenia Lagrange'a wynika, »e istnieje punkt t₀∈ (0, m)taki, »e

v(t0) = s⁰(t0) = s(m) − s(0) m − 0 = d

m = v_±r,

4 Uzasadnienie tej równo±ci nie jest trudne, ale wymaga formalnej denicji pochodnej. Trzeba te» podkre±li¢, »e funkcja sjest zazwyczaj ró»niczkowalna.

a wi¦c punkt w którym poci¡g porusza si¦ ze ±redni¡ pr¦dko±ci¡. Je»eli poci¡g cz¦sto zmienia pr¦dko±¢, zwalnia i przy±piesza, to takich punktów mo»e by¢ wi¦cej.

Weekend min¡ª i trzeba byªo wraca¢ do domu. Okazaªo si¦, »e poci¡g powrotny odje»d»a o tej samej godzinie, a caª¡ tras¦ przemierza w takim samym czasie m. Odlegªo±¢ w odwrotn¡ stron¦ te» wynosi d (co nie zawsze si¦ zdarza w poª¡czeniach kolejowych). Zastanowiªo nas pytanie, czy istnieje chwila t0∈ [0, m], w której oba poci¡gi, w jedn¡ i drug¡ stron¦, poruszaªy si¦ z t¡ sam¡ pr¦dko±ci¡?⁵ Odpowied¹ te» jest pozytywna, cho¢ tym razem ju» nie tak oczywista. Czas przejazdu w obu przypadkach liczymy od 0 do m. Oznaczmy przez s1(t) i v1(t) drog¦ i pr¦dko±¢ poci¡gu w dniu wyjazdu, a przez s2(t) i v2(t) drog¦

i pr¦dko±¢ poci¡gu powrotnego. Oczywi±cie

s₁(0) = s₂(0) = 0, s₁(m) = s₂(m) = d.

Zdeniujmy funkcj¦ f(t) = s2(t) − s1(t). Wtedy f(0) = f(c) = 0. Korzystaj¡c ze wzoru na pochodn¡

ró»nicy funkcji otrzymujemy

f⁰(t) = s⁰₂(t) − s⁰₁(t) = v2(t) − v1(t). ? Poniewa» funkcja f speªnia zaªo»enia twierdzenia Rolle'a, to znajdziemy punkt t0∈ (0, m)taki, »e

f⁰(t0) = 0.

Zatem z równo±ci ? wynika, »e v1(t₀) = v₂(t₀), a to oznacza, »e istnieje chwila, w której oba poci¡gi miaªy t¦ sam¡ pr¦dko±¢.

Ciekawostk¡ jest te» fakt, »e istnieje chwila t0, w której oba poci¡gi znajd¡ si¦ w tym samym punkcie⁶. Taki punkt istnieje nawet, gdy ±rednie pr¦dko±ci obu poci¡gów s¡ ró»ne. Rozwi¡zanie tej zagadki nie wymaga ani twierdzenia Rolle'a, ani Lagrange'a i pozostawiamy je Czytelnikom, a pod koniec tekstu je podajemy.

W nast¦pnym rozdziale pokazujemy, »e z punktem o warto±ci ±redniej okre±lonym przez twierdzenie Lagrange'a mo»na si¦ spotka¢ ju» w pracach staro»ytnych matematyków. Wyznaczenie poªo»enia tego punktu na paraboli pozwoliªo Archimedesowi wyprowadzi¢ wzór na pole gury ograniczonej odcinkiem i ªukiem paraboli.

3. Trójk¡ty wpisane w krzywe

Menaichmos (Menaechmus), matematyk grecki »yj¡cy w latach 380320 p.n.e., jest uznawany za odkrywc¦ krzywych sto»kowych, czyli takich krzywych, które powstaj¡ przez przeci¦cie niesko«czonego sto»ka ró»nymi pªaszczyznami⁷. Krzywymi sto»kowymi s¡ okr¦gi, elipsy, hiperbole, parabole, a tak»e proste i punkty. Jednak»e to nie Menaichmos, a Apoloniusz z Pergi (290190 p.n.e.) nadaª tym krzywym znane obecnie nazwy w swoim dziele Sto»kowe⁸. W j¦zyku greckim dzieªo to ma tytuª Kωνικα (konika), co oznacza wªa±nie krzyw¡ sto»kow¡.

5 Oczywi±cie chodzi tu o punkt, poza punktem pocz¡tkowym i ko«cowym, w których pr¦dko±¢ jest zerowa.

6 Wyra¹nie podkre±lmy, »e chodzi o miejsce na trasie, a nie o drog¦ jak¡ pokonaªy poci¡gi.

7 Menaichmos odkryª te krzywe, próbuj¡c rozwi¡za¢ problem podwojenia sze±cianu.

Rysunek przedstawiaj¡cy krzywe sto»kowe powstaª na podstawie kodu dost¦pnego na stronie https://github.com/ridlo/tikz_by_example.[Dost¦p: 17.09.2021]

8 Dzieªo Apoloniusza skªadaªo si¦ z o±miu cz¦±ci. Cz¦±ci 14 przetrwaªy w oryginale do dzisiejszych czasów, cz¦±ci 57 znamy z przekªadów arabskich. Cz¦±¢ ósma zagin¦ªa, ale zostaªa odtworzona, na podstawie ró»nych zapisków, przez astronoma Edmunda Halleya (16561742). Wi¦cej o Apoloniuszu i sto»kowych mo»na przeczyta¢ w pracy [1].

Archimedes (287212 p.n.e.), jeden z najwi¦kszych uczonych wszech czasów, po±wi¦ciª parabolom prac¦ Kwadratura paraboli⁹. Najwa»niejszym wynikiem przedstawionym w tej pracy byªo wyznaczenie pola gury ograniczonej odcinkiem i ªukiem paraboli.

A

B

W czasach staro»ytnych wyprowadzano wzory na pola powierzchni wielu gur pªaskich. Najpierw ustalono wzory na pola prostok¡tów i kwadratów, a nast¦pnie wyznaczono wzory na pole równolegªoboku oraz innych wielok¡tów. Z równolegªobokami poradzono sobie tak, »e poprzez ich umiej¦tne rozcinanie, ukªadano z otrzymanych kawaªków prostok¡t. Poniewa» trójk¡t jest poªow¡ równolegªoboku, potraono równie» poda¢ wzór na jego pole. Pola innych wielok¡tów wyznaczano poprzez ich triangulacj¦, to znaczy podzielenie tych gur na trójk¡ty. W ten sposób wyznaczono, mi¦dzy innymi, wzór na pole trapezu.

Jak nietrudno si¦ domy±li¢, pola gur nieb¦d¡cych wielok¡tami okazaªy si¦ problematyczne. I to wªa±nie Archimedes poradziª sobie z wieloma takimi gurami. Jako pierwszy podaª wzór na pole koªa i, jak wspomnieli±my wcze±niej, wzór na pole gury ograniczonej odcinkiem i parabol¡. Z t¡ ostatnia gur¡

post¡piª podobnie jak z wielok¡tami. Pokryª j¡, tym razem niesko«czon¡ ilo±ci¡ trójk¡tów, i zauwa»yª,

»e ich pola tworz¡ ci¡g geometryczny. Potraª obliczy¢ sum¦ niesko«czonego szeregu geometrycznego i to pozwoliªo mu otrzyma¢ »¡dany wzór. W efekcie udowodniª, »e pole tej gury jest równe ⁴₃ pola najwi¦kszego trójk¡ta, o boku AB i wierzchoªku poªo»onym na ªuku paraboli.

Przyjrzyjmy si¦ dokªadniej triangulacji Archimedesa. W tej metodzie kluczowe jest spostrze»enie, »e spo±ród wszystkich trójk¡tów o boku AB i wierzchoªku poªo»onym na paraboli, najwi¦ksze pole ma ten o wierzchoªku poªo»onym na stycznej równolegªej do boku AB. Zatem wierzchoªek najwi¦kszego trójk¡ta le»y w punkcie, o którym mówi twierdzenie Lagrange'a.

9 O burzliwej historii prac Archimedesa mo»na przeczyta¢ w artykule [3]. W tej pracy mo»na znale¹¢ te» opis wybranych osi¡gni¦¢ tego uczonego.

C A

B

To jest do±¢ oczywiste, bo wszystkie trójk¡ty, o których tu mowa, maj¡ t¦ sam¡ podstaw¦ AB, wi¦c najwi¦ksze pole ma trójk¡t, który ma najwi¦ksz¡ wysoko±¢. Je±li styczna w punkcie C jest równolegªa do AB, to wysoko±¢ trójk¡ta ABC jest równa odlegªo±ci stycznej od odcinka AB, a wysoko±¢ ka»dego innego trójk¡ta jest mniejsza, bo parabola przecina prost¡ prostopadª¡ do stycznej i do odcinka AB, a na takich prostych le»¡ wysoko±ci wszystkich trójk¡tów, o których tu mowa.

C A

B

Co wi¦cej, ten fakt jest prawdziwy dla ka»dej gury wypukªej ograniczonej odcinkiem i krzyw¡ ró»- niczkowaln¡.

Figur¦ nazywamy wypukª¡, je±li dowolny odcinek ª¡cz¡cy par¦ punktów le»¡cych wewn¡trz gury jest caªkowicie zawarty w tej gurze.

Figura wypukªa Figura niewypukªa

Otrzymujemy wi¦c nast¦puj¡cy wniosek z naszych rozwa»a«.

Dana jest gura wypukªa, ograniczona odcinkiem AB i pewn¡ krzyw¡ ró»niczkowaln¡. Wówczas spo±ród wszystkich trójk¡tów o boku AB i wierzchoªku poªo»onym na krzywej najwi¦ksz¡ powierzchni¦ ma trójk¡t o wierzchoªku poªo»onym na stycznej równolegªej do boku AB.

A B

Czy to pozwala na obliczanie pól takich gur, podobnie jak to zrobiª Archimedes dla paraboli? Niestety nie zawsze, bo wa»ne jest te» miejsce poªo»enia punktu C.

Jednym z wniosków pªyn¡cych z powy»szej wªasno±ci jest nast¦puj¡cy, zapewne wielu osobom znany, fakt:

Spo±ród trójk¡tów wpisanych w dany okr¡g najwi¦ksz¡ powierzchni¦ ma trójk¡t równoboczny.

Je»eli przetniemy okr¡g dowoln¡ ci¦ciw¡, to otrzymamy gur¦ wypukª¡ ograniczon¡ t¡ ci¦ciw¡ i ªukiem okr¦gu. Zgodnie w powy»sz¡ wªasno±ci¡, trójk¡t (którego jednym bokiem jest ta ci¦ciwa) o najwi¦kszym polu powierzchni ma wierzchoªek poªo»ony na stycznej równolegªej do ci¦ciwy.

C

A B

Ten trójk¡t jest równoramienny, bo wierzchoªek C le»y na symetralnej odcinka AB, która zawiera

±rednic¦ okr¦gu. Zatem trójk¡t o najwi¦kszej powierzchni musi by¢ równoramienny. Gdyby taki trójk¡t nie byª równoboczny, to nie miaªby najwi¦kszej powierzchni, gdy» wi¦ksz¡ miaªby trójk¡t równoramienny o podstawie AC. Pozostawiamy czytelnikom sprawdzenie, »e wszystkie trójk¡ty równoboczne wpisane w okr¡g s¡ przystaj¡ce, a wi¦c maj¡ takie samo pole.

Wracaj¡c do paraboli, zastanówmy si¦, gdzie jest poªo»ony punkt, w którym styczna do paraboli jest równolegªa do odcinka AB. W dzisiejszej terminologii mo»emy opisa¢ to nast¦puj¡co: je»eli a, b, ξ s¡

pierwszymi wspóªrz¦dnymi ko«ców odcinka¹⁰i punktu, w którym styczna jest do tego odcinka równolegªa, to ξ jest ±rodkiem przedziaªu [a, b], wi¦c ξ = ^a+b₂ .

10 W terminologii matematycznej, pierwsz¡ wspóªrz¦dn¡ punktu (wspóªrz¦dn¡ x) na pªaszczy¹nie kartezja«skiej nazy- wamy odci¦t¡ punktu, a drug¡ (wspóªrz¦dn¡ y) rz¦dn¡. Nazwy te s¡ polskimi tªumaczeniami ªaci«skich terminów abscissa i ordinata, które zostaªy wprowadzone przez Fibonacciego w 1220 roku, w jego dziele De Practica Geometrie.

a ξ =^a+b₂ b x

W celu uzasadnienia powy»szego faktu zauwa»my najpierw, »e mo»na si¦ ograniczy¢ do paraboli danej wzorem y = px². Na poni»szym rysunku pokazano, »e przesuwaj¡c i obracaj¡c dowoln¡ parabol¦, mo»emy otrzyma¢ parabol¦ o równaniu y = px² (nie zmieniaj¡c przy tym pola kolorowej gury).

x y

przesuni¦cie

x y

obrót

x y

y = px²

Teraz skorzystamy z faktu, »e pochodna funkcji y = px² wynosi y⁰ = 2pxi zastosujemy twierdzenie Lagrange'a:

2pξ = f⁰(ξ) = f (b) − f (a)

(b − a) = pb²− pa²

b − a = p(a + b).

St¡d otrzymujemy ξ = ^a+b₂ .

Jednak»e staro»ytni, którzy nie znali poj¦cia pochodnej, nie mogli przeprowadzi¢ powy»szego rozumo- wania. Wiedzieli natomiast, »e parabola ma o± symetrii przechodz¡c¡ przez jej wierzchoªek. Zauwa»yli, »e je±li poprowadzimy prost¡ równolegª¡ do osi symetrii przechodz¡c¡ przez punkt C, to prosta ta przetnie odcinek AB w jego poªowie, a to jest równoznaczne z tym, »e ξ jest ±rodkiem odcinka [a, b].

C A

B

C⁰

|AC⁰| = |C⁰B|

Archimedes w dowodzie zale»no±ci mi¦dzy polem trójk¡ta ABC oraz polem gury ograniczonej odcin- kiem i parabol¡ wykorzystaª ten fakt, ale nie podaª jego uzasadnienia. Wprawdzie geometryczne uzasad- nienie wykorzystuje podstawowe techniki geometryczne, takie jak równanie proporcji czy podobie«stwo trójk¡tów, ale jest bardzo zªo»one. Wnikliwym czytelnikom proponujemy zajrzenie na stron¦ [2], na której mo»na znale¹¢ peªny dowód. Ostrzegamy, »e jego dokªadna analiza wymaga od czytelnika sporej dozy cierpliwo±ci¹¹.

Jak wiadomo, parabola jest istotn¡ krzyw¡ ze wzgl¦du na jej liczne zastosowania praktyczne. Mi¦dzy innymi sªu»y ona do opisu toru pocisku wystrzelonego pod danym k¡tem¹². Istniej¡ krzywe, które do zªudzenia przypominaj¡ parabole, ale nimi nie s¡  zobrazujemy ten fakt w nast¦pnym przykªadzie, po czym przedstawimy formaln¡ geometryczn¡ denicj¦ paraboli.

Wyobra¹my sobie, »e ko«ce ªa«cucha zawieszamy na równych wysoko±ciach. Ka»dy, kto uwa»a »e ªa«cuch ukªada si¦ w parabol¦, popeªnia ten sam bª¡d, który popeªniª Galileusz podczas analizy tego zagadnienia (oddaj¡c mu sprawiedliwo±¢, nale»y podkre±li¢, »e nie podaª bª¦dnego dowodu, a jedynie wysun¡ª bª¦dne przypuszczenie). Tak naprawd¦ jest to tak zwana krzywa ªa«cuchowa, któr¡ mo»na opisa¢ wzorem

y =a^x+ a^−x

2 ,

gdzie a jest dodatni¡ liczb¡ rzeczywist¡. O wyprowadzeniu wzoru na krzyw¡ ªa«cuchow¡ mo»na przeczyta¢

w pracy [4].

x y

krzywa ªa«cuchowa y =^{ex +e−x}2

Krzywe sto»kowe, w tym parabole, maj¡ denicje o naturze geometrycznej. Parabol¦ mo»emy zde- niowa¢ w nast¦puj¡cy sposób:

Parabola jest zbiorem punktów równoodlegªych od danego punktu F (zwanego ogniskiem paraboli) i danej prostej k (zwanej kierownic¡ paraboli).

11 Czytelników, którzy chcieliby przeanalizowa¢ dowód twierdzenia Archimedesa o polu gury ograniczonej parabol¡

i odcinkiem, odsyªamy do prac [2], [3], [5].

12 O tej i innych wªasno±ciach paraboli oraz pozostaªych krzywych sto»kowych mo»na przeczyta¢ m.in. w [7].

k

F A

A⁰

|F A| = |AA⁰|

Trudno jest odpowiedzie¢ na pytanie, czy w staro»ytno±ci posªugiwano si¦ geometrycznymi denicjami krzywych, cho¢ jest to bardzo prawdopodobne, gdy» u»ywaj¡ one podstawowych jako±ci geometrycznych:

punkt, prosta, odlegªo±¢.

Prosta, która jest prostopadªa do kierownicy i przechodzi przez ognisko przecina parabol¦ w punk- cie W , który nazywamy wierzchoªkiem paraboli.

k F

W

W⁰

Poniewa» wierzchoªek W jest poªo»ony na paraboli, to |F W | = |W W⁰|. Ponadto prosta F W jest osi¡

symetrii paraboli, co uzasadnia poni»szy rysunek.

k F

W

W⁰

A

A⁰ B

B⁰

Czytelnikom zainteresowanym biograami wszystkich bohaterów tego tekstu (a tak»e wielu innych matematyków) polecamy stron¦ [6].

Podzi¦kowania. Pragn¦ podzi¦kowa¢ Recenzentowi za wnikliwe przeczytanie artykuªu oraz za warto-

±ciowe uwagi, które pozwoliªy ten tekst udoskonali¢. Dzi¦kuj¦ równie» dr Ewie Šobos za bezcenne sugestie oraz podsuni¦cie pomysªu przykªadu ze strony 133.

Rozwi¡zanie zagadki ze strony 134. Wyobra¹my sobie, »e poci¡g, którym jechali±my w pi¡tek, wyje»d»a w dniu powrotu. Wtedy oba poci¡gi spotkaj¡ si¦ w pewnej chwili t0.

Literatura

1. S. Addington, D.Denis, Apollonius and Conic Sections,

http://quadrivium.info/MathInt/Notes/Apollonius.pdf.[Dost¦p: 17.09.2021]

2. Archimedes, Quadrature of the Parabola: Introduction and Prop. 1-7, tªum. na j. angielski H. Mendell, https://web.calstatela.edu/faculty/hmendel/Ancient%20Mathematics/Archimedes/

QuadraturaParabolae/QP.contents.html#Intro.[Dost¦p: 17.09.2021]

3. Cz. Bagi«ski, O Archimedesie i jego niektórych odkryciach, MINUT 2021 (3), 74-86.

4. D. P¦cak, Wyprowadzenie wzoru na krzyw¡ ªa«cuchow¡,

https://www.almukantarat.pl/wiedza/09krzywa.pdf.[Dost¦p: 17.09.2021]

5. Archimedes' quadrature of the parabola and the method of exhaustion,

https://www.math.mcgill.ca/rags/JAC/NYB/exhaustion2.pdf.[Dost¦p: 17.09.2021]

6. MacTutor History of Mathematics, https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/.[Dost¦p: 17.09.2021]

7. The Beauty of Ellipses, Parabolas and Hyperbolas,

http://www.science4all.org/article/ellipses-parabolas-hyperbolas/.[Dost¦p: 17.09.2021]