Programowanie liniowe.
Zadanie 1. Rozwiążemy razem przedstawiony problem ekonomiczny.
Firma X produkuje szafki stojące i wiszące. Wyprodukowanie szafki stojącej zajmuje 4 godziny, natomiast szafki wiszącej 5 godzin. Na materiał na szafkę wiszącą potrzeba 100 zł, a na szafkę stojącą 70 zł. Firma może wydać tygodniowo 4000 zł. Szafki stojące zostają
sprzedane z zyskiem 100 zł na każdej sztuce, a wiszące z zyskiem 120 zł. Firma zatrudnia sześciu pracowników, a każdy z nich pracuje 8 godzin dziennie. Ile szafek każdego z typów powinna produkować firma, aby osiągnąć największy zysk?
Rozwiązanie:
Niech x oznacza liczbę szafek stojących, a y liczbę szafek wiszących produkowanych przez firmę w ciągu tygodnia.
Koszt materiału na szafki stojące i wiszące ma być mniejszy bądź równy 4000 zł, co opisuje nierówność: 100x + 70y ≤ 4000 (wprowadź do kalkulatora funkcję Y
1 opisującą powyższą nierówność).Czas produkcji szafek stojących i wiszących ma być mniejszy bądź równy tygodniowemu czasowi pracy sześciu pracowników, pracujących po 8 godzin dziennie, czyli:
5x + 7y ≤ 5•8•6=200
(wprowadź do kalkulatora funkcję Y2 opisującą powyższą nierówność).
Uwaga: x i y nie mogą być ujemne, bo opisują liczby przedmiotów, czyli x ≥ 0 i y ≥ 0
Interesuje nas więc tylko pierwsza ćwiartka. Warto zatem zmienić ustawienia okna tak, aby na ekranie była widoczna tylko pierwsza ćwiartka (naciśnij klawisz Window i ustaw Xmin=0, Ymin=0).
Funkcja celu opisze nam całkowity zysk, który osiągnie firma. Zależy on od wielkości zysku na pojedynczej szafce (stojącej 100zł, wiszącej 120 zł) oraz liczby wyprodukowanych szafek stojących i wiszących. Łączny zysk ze sprzedaży opisuje więc równanie: z = 100x + 120y
Obejrzyj na ekranie kalkulatora ten wykres. Gdzie znajduje się obszar, w którym spełnione zostały podane w zadaniu ograniczenia?. Przerysuj ten obszar na kartę pracy.
(Uwaga – jeśli na ekranie nie widać wykresu funkcji należy zmienić parametry okna; w naszym zadaniu warto ustawić Xmax=70, Ymax=70).
Weźmy jeden dowolny punkt tego obszaru i sprawdźmy, czy rzeczywiście spełnia on warunki zadania.
………
………
Poszukamy teraz punktu należącego do tego obszaru, dla którego funkcja celu ma największą wartość. Optymalnego rozwiązania należy szukać na brzegu obszaru możliwych rozwiązań. Zastanów się dlaczego i zapisz swoje wnioski.
Dokładna analiza takich problemów prowadzi do zasady punktów wierzchołkowych:
Jeżeli obszar możliwych rozwiązań jest ograniczony, to funkcja celu przyjmuje w tym obszarze najmniejszą i największą wartość w pewnych punktach wierzchołkowych.
Wyznaczymy teraz wszystkie punkty wierzchołkowe naszego obszaru.
Szukając punktu przecięcia dwóch funkcji, korzystamy z funkcji kalkulatora: intersect Szukając miejsca zerowego funkcji, korzystamy z funkcji: zero.
Niektóre z punktów nie mają współrzędnych całkowitych. Dlaczego?
………
………
………
Oblicz dla tych punktów funkcję celu. Zapisz współrzędne i wartość funkcji celu dla każdego z tych punktów. Dla jakich wartości x i y firma osiągnie największy zysk?
………
………
………
……….
………
Przedstawiony sposób rozwiązania problemów ekonomicznych nazywamy programowaniem liniowym. Ma on zastosowanie przy ustalaniu optymalnych, ze względu na określone kryteria, planów produkcyjnych.
