Przestrzenie funkcji ^-całkowalnychCzęść II. Uogólnione przestrzenie Orlicza

ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria I: PRACE MATEMATYCZNE VI (1961)

W. M

(Poznań)

Przestrzenie funkcji ^-całkowalnych

Część II. Uogólnione przestrzenie Orlicza

3. Zajmiemy się obecnie wprowadzeniem normy w przestrzeniach L*ę {a, by (J). Najpierw zauważymy, że przestrzenie L*v (a ,b y sta­

nowią przykład tzw. przestrzeni modularnych w sensie określonym w [2]. Mianowicie w S ( a ,b y całka I<p(oc) jest modularem w sensie Musie­

laka i Orlicza spełniającym tzw. warunek B x, tzn. jest to funkcjonał przyjmujący wartości rzeczywiste < oo, spełniający następujące warunki modularne:

I. I<p{%) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = 0 ; II. I v{(o) =

III. I 4,{aoc + ($y) < I 9(x )+ I9(y) dla dowolnych a , /5 > 0 , a + fi = 1;

IV. x e L ^ i a , by, an 0 pociąga za sobą 1^(а№л?) -> 0.

Do powyżej wymienionych podstawowych własności modularów I v, z których wynika już możliwość wprowadzenia normy w L*v (a ,b y , dołączyć można jeszcze dalsze, wynikające z istnienia naturalnego na- półuporządkowania w 8 (a, by oraz specyficznej struktury tej przestrzeni.

Jeżeli dla dwóch funkcji x , y e 8 ( a , b y spełniona jest nierówność x(t) <

< y(t) prawie wszędzie w {a, by, to mówimy, że element (funkcja) x jest niewiększy od у i piszemy x < y. Relacja < określa napółuporządkowanie w 8 (a, by. Z punktu widzenia tego napółuporządkowania i struktury 8 (a, by, wymienić można następujące własności I v{x)\

I I I * I v(x) < Iyiy), gdy |®| < \y\;

V. Jeżeli Bi są zbiorami rozłącznymi mierzalnymi w <a, by, В =

= U I<p(x) < oo, to

___________ I<p( ®e ) — Jf ę . ( a?jB1) + ^ < p ( ^ J S 2 ) + • • • + ^ ( ^ J S W) + • • •

(x) Niniejsza praca stanowi część drugą pracy ogłoszonej w tym tomie, str. 121- 139. Podawane w dalszym ciągu cytaty sekcji zaczynające się od 1 lub 2 odsyłają do wspomnianej pierwszej części pracy. Nawiązując do poprzedniej części pracy, nu­

meracja obecnej pracy zaczyna się od 3. Używamy bez zmian wszystkich oznaczeń i definicji wprowadzonych w części pierwszej. Liczby w klamrach [ ] odsyłają do wykazu prac cytowanych na końcu pracy. Główne wyniki części I i II zostały poda­

ne bez dowodu w pracy: W. M a tu sz e w sk a , On generalized Orlicz spaces, Bull. Acad.

Pol. 8 (1960), str. 349-353.

Własność Y wyraża po prostu fakt, że całka F(E) — I ę (xE) jest przeliczalnie addytywną funkcją zbioru lub, co na jedno wychodzi, że jest addytywną i absolutnie ciągłą funkcją zbioru. W arto tu taj zwrócić uwagę na to, że np. w _L“<a, by, a > 1, zarówno I a{x), jak (la{x)fla są modularami spełniającymi I- IY i II I', natomiast Y jest spełnione dla I a{x), lecz nie dla (I a{x))1Ia, chociaż w tym przypadku ostatni modular jest normą. Widać stąd, że modulary 19{я>) stanowią dla badania prze­

strzeni L*ę (a, by naturalny punkt wyjścia, ponieważ ważna własność tych przestrzeni wyrażona w Y nie da się w ogólnym przypadku w prosty sposób wyrazić przez normę. Zauważymy, że I I I ' pociąga III. Istotnie, I„{asc+Py) < I 9{a\(B\ + P\y\) < /„ [ ( « + £)sup(|#|, \y\)] ^ I y W + I ^ y ) .

Spełniona jest też nierówność ogólniejsza

3.1. I lp(a1X1-{- а 2 Я? 2 ~Г • • • anXn~{~ • • •) ^ 4' Mech bowiem yn(t) = sup \xv{t)\; jest 7?!(a 1 £i7 1 + . . . 4 - a w% ) ^ I (p[(a 1 4- + a a+ ... -f- ап)Уп\ ^ + • • • Л-1<р{®п) •

3.12. W L*ę (a,by wprowadzamy pojęcie zbieżności w następujący sposób: ciąg elementów xn z L*ę (a, by nazywamy у -zbieżnym albo modu­

larnie zbieżnym do x0€L*4> {a , b>, jeżeli przy pewnym A > 0 , 7<p(A(a^— a?0)) ->

-*• 0 (por. [2]). Dla modularnej zbieżności używać będziemy oznaczenia xn X xQ. Z tej definicji i własności podstawowych I-Y wynikają nastę­

pujące twierdzenia o «^-zbieżności:

(a) Jezelir xn — > X q , у o, to X q = y$ •

(b) Jeżeli scn — >• X q , Уп -> у o, to Axn -f-[луп Ax0 -f- yyo.

(c) Jeżeli xeL*ę <a,by, \xn{t)\ < x(t) prawie wszędzie, xn ™ 0 , to xn Z o .

X to

3.2. (a) Jeżeli ^ 4 ^ , to xn eL*ęz (a, by, gdzie (a, by skończony i xn-> 0 pociąga za sobą xn ^Q-, I ę2 (Axn) -> 0 przy każdym A > 0 pociąga I n (Axn) -> 0 dla A > 0 .

Dla (a, by nieskończonego twierdzenie analogiczne jest prawdziwe, gdy zastąpimy przez Ą .

Na mocy 2.4 jest xnęL*n ; ponieważ <px(u) < d<p2(ku), d > 0, к > 1 , dla u > uQ, więc jeżeli En — {t: jxn(t)j > u0k/A}, to

Tutaj A oznacza dodatnią stałą, dla której I n (Axn) -> 0 (lub dowolne A > 0). Nadto spełniona jest nierówność, przy E'n — ( a ,b y —En,

+ .•., gdy at > 0 , ]?av < 1 .

Przestrzenie funkcji <p-całkowalnych I I

oraz jest

Я Я as

^ \®E'n (t)\ 1Л' П (^)1 “ *■ ^ )

więc

Tn ж< ) ^ °>

zatem

I n (^ ( ^ + я,< )) = xn “*■ °*

3.21. Jeżeli z xneM (a, by, gdzie (a, &> skończony, oraz z I ę2{Xxn) -> 0

© ?

pra/ dowolnym Я > 0 wynika xn-> 0, to

^ -^<p2.

Zastępując w założeniach przedział skończony przez nieskończony, przez M 0(a, by, otrzymujemy w tezie <px -^ę?2.

D o w ó d niewprost. Gdyby nie było <pL -=> <p2, to istniałby ciąg un -* i 00 taki, że

> 2 > a(wwn).

Niech En oznacza zbiór o mierze (b — a)j2,n<p2{nun). Określmy funkcje dla te E n,

dla te<«, &> — 12 n .

oraz dla dużych n przy danym Я > 0

-Zę,j (ЛХп) ^ (Pli^n) ’ \-^7l\ &

i dochodzimy do sprzeczności. Podobne rozumowanie stosujemy w przy­

padku <a, by nieskończonego.

Analogicznie udowodnimy

3.22. (a) Jeżeli <px{u) ^ dep2(u) dla dużych u, to I ^ ( x n) -> 0 pociąga I n {Xn) -»• 0 .

(P) Jeżeli z xn c M (a , by, Ig,2(xn) -*• 0 wynika I n (xn) -> 0 , to (px{u) <

< dcp2{u) dla dużych u.

Powyżej założyliśmy przedział (a, by skończony; gdy <a,by jest nieskończony należy zwrot „dla dużych w” zastąpić przez „dla u > 0 ” oraz M (a ,b y przez М9(а,Ь у.

3.23. (a) Jeżeli L*n (a ,b y — L*V2 (a, by, to xn^l 0 pociąga za sobą xn ^ 0 i odwrotnie.

xn{t) = I Mamy dla dużych n

[ \/ n UT

0

(P) Jeżeli xne M (a ,b y , gdy (a, by skończony, xn e M 0(a ,b y , </d?/

(.a, by nieskończony i xn O pociąga za sobą xn О огю odwrotnie, to L**i<a,b> ^ L * ^ ( a , b y .

(y) Jeżeli L n (a ,b y = L n (a ,b y, to -> O pociąga za sobą l n (xn) -> O i odwrotnie.

( 8 ) Jeżeli xne 3 1 \a ,b y , gdy (a, by skończony lub xne M 0(a ,b y , gdy (a, by nieskończony i I n (xn) ->• O pociąga I n {son) -> Q i odwrotnie, to L n <a, by = L n (a, by.

(a) wynika z 3.2 i uwagi, że <рг ~<p2, (p) wynika z 3.21; (y), ( 8 ) z 3.22, 2.42.

3.24. Jeżeli przy xn € M (a , by, gdy (a, by jest skończony, xne M0(a, by, gdy (a, by jest nieskończony, relacja I ę{xn) -*■ O jest równoważna z relacją xn %* O, to (p spełnia warunek (Д2) dla dużych u, gdy <«, by jest skończony»

dla u > O, gdy (a, by jest nieskończony. Gdy <p spełnia warunek (Д2) dla dużych u i (a, by jest skończony, to relacje Ję{xn) ->-0 oraz xn ^> O są równoważne dla xn eLę (a, by.

Analogicznie jest w przypadku przedziału nieskończonego i (Д2) dla u ^ 0 .

Aby udowodnić pierwszą część tezy dla (a, by skończonego, zauważ­

my, że z I,p(xnl2) -> O, xnc M (a , by wynika I v(xn) -+ O, więc według 3.22 (p), jest <p(u) ^.d<p(%u) dla dużych u, czyli spełniony jest (Д2). Aby udo­

wodnić drugą część tezy, wystarczy zauważyć, że zachodzi nierówność cp(Xu) ś id x<p{u) dla dużych u przy Я > 1 i zastosować 3.22, (a).

3.3. Określmy obecnie w L*ę (a ,b y normę następująco:

(*) \K

Można wykazać, że posiada ona następujące własności (por. [ 1 ]):

1 ) || U, jest £-normą,

2 ) L*v (a, by jest przestrzenią zupełną względem || ||,,

3) jeżeli |a?| < \y\, to ||a>||, < |y ||„ w szczególności ||Яа?||, jest dla Я > 0 niemalejąca i zachodzi równość ||a?||, == [|®|J,,

4) I ę(x) < ||a*||„ gdy ||a>||„ < 1, z I ę{x) < 3 wynika |a?||, < 1, 5) z Цяп||„ -► 0 wynika J,(a>n) -* 0 ,

6 ) wtedy i tylko wtedy ||®л||, -* 0 , gdy I v(Xxn) -*■ 0 dla każdego Я > 0 .

7) wtedy i tylko wtedy dla dowolnego (a, by relacja xn X 0 jest równoważna z |a?nJ, -► 0 , gdy <p spełnia warunek (Д2), dla dużych u, gdy <a, by jest skończony, dla u > 0 , gdy <a, by jest nieskończony.

inf {e > 0 : I„ < 8

г

Przestrzenie funkcji rp-calkowalnych I I

Normę określoną przez (*) będziemy nazywali normą generowaną przez <p. Czasami używać będziemy symbolu [L*v (а, Ь}, || ||v] dla ozna­

czenia przestrzeni Frecheta jaką stanowi L*v <<a, by przy normie (*).

Ponieważ dla <p wypukłej || ](^ jest równoważna z normą jednorodną określoną w 3.81, a takie przestrzenie są znane pod nazwą przestrzeni Orlicza, nazywać będziemy [L*'p <a, by, |[ ||y] uogólnionymi przestrze­

niami Orlicza.

3.31. Jeżeli \xn(t)\ < К w <«,&>, gdzie (a, by jest skończony, dla n = 1 , 2 , ..., xn(t) -> 0 , to Ця'пЦр 0 .

3.32. Niech Hm

u —> oo

< oo przy każdym a > 1 . Jeżeli I v{xn) ->

to ||a?n||v -»• 0 .

Rozpatrzymy przypadek, gdy (a, by jest skończony. Jest 9 o(u/e)

< deip{u), gdy u > ue. Niech

0 ,

К — { t ' \ X n (t)\ ^ ^ e } 7 Xn {t) — [Xn(t))E n i

®n{t) — (xn (^ ) )< a , f>>—En •

Jest

I v < dJ^X nftj) < dEI w{xn{t)) < e

dla prawie wszystkich n, więc ||a;№ | v < e dla prawie wszystkich n. Ponie­

waż \хп(Щ < ue, I w{xn) > I v(xn), więc xn{t) %■ 0 , p nJv -> 0 , czyli =

= ||irn+#n|U < dla prawie wszystkich n.

3.4. Element xeL*9 (a, by nazywamy skończonym, jeżeli I^ h s ) < 00 przy dowolnym A > 0 . Zbiór elementów skończonych oznaczać będziemy przez M 4>(a, by. Oczywiste jest, że funkcje ograniczone są w przypadku (a, by skończonego elementami skończonymi, lecz nie musi tak być dla (a, by nieskończonego. W każdym razie xe i ¥ 0 <a, by są w tym przypadku skończone.

3.41. Jeżeli \xn\ < |a?|, gdzie x jest elementem skończonym oraz xn -> 0 , to |K ||„ - > 0 .

Niech <a, by będzie skończony. I,p{xn) -*■ 0 pociąga za sobą xn(t) 0 . Obieramy En o tak małej mierze, by \xn(t)\<e w (a ,b y —E n i by I (p{xEJ e )<

< e (e > 0 z góry dane) dla prawie wszystkich n. Jest I ę[{xn)EJe) <

<1<р(®Еп1е) < £, czyli \{xn)EJ 4> < e oraz ||(tfJ<a,b>_sX < (b— a)<p{e), więc Ця/^Цф = I(xn)E n (xn)(a,by—En^<p ń.

Dla (a, by nieskończonego dowód jest analogiczny.

3.42. Gdy (a, by jest skończony, to wtedy i tylko wtedy x jest elemen­

tem skończonym, gdy ||ж|| jest absolutnie ciągła, tzn. ||#sj|<p -> ó, gdy

En C (a, by, \En\ -> 0.

Niech X > 1 będzie z góry dane. Gdy norma jest absolutnie ciągła, to obieramy E w ten sposób, by x była w <a, b }—E ograniczona oraz by \\XxE\\ <

W tedy I v(XxE) <

19(Х{х)<а^ _ Е) <

więc I^X x) <

Niech x będzie elementem skończonym, En C (a, by, \En\ -> 0. P o­

nieważ \xEn\ < |a>|, więc, według 3.41, ||afcj,, -»• 0.

3.43. Niech (a, by będzie nieskończony. Jeżeli x jest elementem skoń­

czonym, to norma jest absolutnie ciągła. Jeżeli ЦгоЦ^, jest absolutnie ciągła, а у spełnia warunek (Д2) dla małych u , to x jest elementem skończonym.

Gdy <p nie spełnia warunku (Д2) dla małych u, to istnieją elementy o abso­

lutnie ciągłej normie, które nie są skończone.

Niech <p(2u) < d<p(u) dla 0 < u < u0; wynika stąd <p(Xu) < dx(p{u) dla 0 < u < ux, przy czym X oznacza daną liczbę > 1. Niech I ę{XQx) < oo, A — {t: \x{t)\ ^ uxX j1}. Zbiór A ma miarę skończoną i rozumując analo­

gicznie jak powyżej dla przedziału skończonego (a, by wykażemy, że xA jest elementem skończonym. Dla teB = (a, by— A spełniona jest nierówność (p(XX0x(t)) ^ dx<p(X0x(t)), więc I ę(XX0xB) <

a ponieważ I v (XX qx a ) < oo, to I v(XX0x) < oo.

Przypuśćmy, że 9 ? nie spełnia warunku (Д2) dla małych u. Wówczas ]im<p(Xu)/(p(u) = 00 dla każdego X > 1. Istnieje zatem ciąg un->0 o nastę-

M—>0

pujących własnościach:

Określmy w ( 0 , 00 ) zbiory E n rozłączne o mierze |JErft| = 2 n[(p{un)) 1 i funkcje

dla \E\ < rj, gdzie rj jest dostatecznie małe. Tutaj m jest tak duże, aby uv < e dla v > m. Zatem < e. Dla X > 1 i dostatecznie dużego m zachodzi nierówność

(*) dla teE n1

dla tiE n.

Niech x{t) = x x(t)Ą-x%{t)-\-... Jest

OO OO ⁰⁰

Przestrzenie funkcji tp-calkowalnych I I

Podany ostatnio przykład funkcji wykazuje również

3.44. Na to, by L*v (a, by ^ 3 f( a , b} C Mv <(a, by, gdzie <a, by jest nieskończony, potrzeba i wystarcza, by cp spełniała warunek (A2) dla małych u.

3.45. Zbiór МУ (a,, by jest liniowy i domknięty w [L*v (a, by, || Ц^].

Liniowość wynika z 3, III. Mech ||a?n — y \ę -* 0 , xn e M ^^a, by;

z 3.3, 6 ), wynika I,,(2A(a?n—y)) -> 0 , więc według 3, III, jest I<p(Xy) <

< J v(2A®„)+Zv(2A(a?n — y)) < oo.

3.5. Zbiór M ę (a, by jest identyczny z najmniejszą podprzestrzenią liniową domkniętą w [L*41 (a, by, || Ц^] rozpiętą na funkcjach ograniczo­

nych, gdy (a, by jest skończony lub na funkcjach z Mn (a , by, gdy (a, by jest nieskończony.

Oznaczmy przez L podprzestrzeń liniową, o której mowa w twier­

dzeniu. Ponieważ x e L można dowolnie dokładnie przybliżyć funkcjami ograniczonymi (ograniczonymi z Ж 0 <а,&>), więc wobec 3.45 jest x e M v (a, by. Jeżeli <a, by jest skończony, a ? e lfp< a , 6 >, to ponieważ

\x°n — x\ < \x\, I„(a£-— x) -* 0, więc, według 3.41, \\x°n — -> 0. Gdy (a, by jest nieskończony, to w ostatnim rozumowaniu zastępujemy x°n przez (< )<2J,e>.

3.51. Mę {a , by jest największą podprzestrzenią liniową zawartą w I / (a, by.

Ponieważ dla elementu skończonego I v(x) < oo, więc Mę <a, by C

С

1У(а,Ъу. Mech L oznacza przestrzeń liniową zawartą w L*(a, &>;

gdy x eL , to XxeLę (a, by, czyli I^X x) < oo.

3.52. M ^^a, by jest ośrodkowa względem normy || j|v, funkcje ciągłe leżą gęsto w M^ója, by.

Niech {a, by będzie skończony. Z uwagi na 3.5 można założyć, że x jest w (a, by ograniczona. Mech у oznacza funkcję ciągłą, która jest równa x w zbiorze E 1 i niech E 2 = (a, by ~ E 1, a e > 0 będzie z góry dane. Możemy obrać у w ten sposób, by \y{t)\ < sup \x(t)\ — l, E 2 tak,

<a,b>

by < р (21/ е )\Е2\ < e/2, I ę{2xEJe) < e/2. Ponieważ

więc 1 a? — y \v < e. Przypadek < a , by nieskończonego sprowadzamy do

przypadku przedziału skóńczonego, przybliżając w [L*v ( a , b y , || | | v ]

x funkcją z M Q\ a , b y . Funkcje ciągłe aproksymujące można przyjąć

zawsze zerujące się na zewnątrz przedziału. Dla e > 0 i funkcji ciągłej

у istnieje funkcja łamana (wielobokowa) z wymierna (punkty kątowe

o współrzędnych wymiernych) taka, że \z{t) — y{t)\ < rj dla te (a, by, gdy (a, b) skończony, skąd wynika

I r { ^ ) < v { l } {b~ a ) < e ’ gdy rj dostatecznie małe, czyli \\z—y \v < e.

Gdy {a, by jest nieskończony, to wystarczy przybliżyć funkcje ciągłe z M0(a, by funkcjami łamanymi wymiernymi należącymi też do M 0(a, by.

3.53. Wtedy i tylko wtedy M v(a, by = L *v<«, by, gdy:

(a) <p spełnia warunek (Д2) dla dużych u w przypadku <a , by skoń­

czonego,

(b) <p spełnia warunek (Д2) dla u > 0 w przypadku (a, by nieskoń­

czonego.

Z M ę (a, by = L*ę ia , by według 3.51 wynika L ę (a ,b y = L*v(a, by i wystarczy zastosować 2.51. Dla dowodu dostateczności zauważmy, że według 2.51 z warunku (Д2) wynika I / (a, by = L*9(a, by, a to ozna­

cza, że z Iyioo) < oo wynika I v{2oo) < oo i dalej I v(Xx) < oo przy dowol­

nym X > 0 , czyli x jest elementem skończonym.

3.6. Wtedy i tylko wtedy przestrzeń [L*v (a, by, || fl^,] jest ośrodkowa, gdy:

(a) (p spełnia warunek (Д2) dla dużych u, w przypadku (a, by skoń­

czonego,

(b) <p spełnia warunek (Д2) dla u > 0 , w przypadku (a, by nieskoń­

czonego.

Dostateczność wynika z 3.52 oraz 3.53. Eozpatrzymy dowód ko­

nieczności w przypadku (b); przypuśćmy np. że nie jest spełniony warunek (Д2) dla małych u (gdy (Д2) jest spełnione dla małych u i dla dużych u, to spełnione jest dla u ^ 0 ) i że a = 0 , b — oo. ШесЬ un oznacza ciąg jak w dowodzie 3.43 i podobnie En, a xn funkcje określone wzorem (*) w 3.43. Określmy rodzinę funkcji w (0, oo):

— V i 0Si ( ^ ) ' Jr • • ■ ń - y n ®n ( t ) ń - - • •,

gdzie rj = {r]n} oznacza dowolny ciąg o wyrazach 0 ,1 . Jest I^ix^) < 1.

Obierzmy dwa różne ciągi rj' — {rj'n}, r\" — {??"} i przypuśćmy, że r(m ф rj'n[.

Otrzymujemy

^?>((l + ~ ) (^4'~ *

")) ^ + ^ l®w|2 <p(um) = 1 ^ “ •

Dowodzi to, że \x n, — xnĄ ę > W L*ę ( 0, oo> istnieje zatem continuum elementów o wzajemnych odległościach > \ , . a więc przestrzeń nie jest ośrodkowa.

3.7. (a) Jeżeli (p ф, y, (a, by jest skończony, to \xn\ w -> 0, xneL*v (a, by

pociąga j|a?n||v -> 0 ; prawdziwe jest też twierdzenie odwrotne.

Przestrzenie funkcji cp-calkowalnych I I

((3) Jeżeli <p^ip, (a, by jest skończony, to M v (a, by C M^óa, &>;

prawdziwe jest też twierdzenie odwrotne.

Analogiczne twierdzenie jest prawdziwe dla <a, by nieskończonego, gdy zastąpimy Д przez Ą .

D o w ó d (a) wynika przez zastosowanie 3.2, (a) i 3.21; dowód ((i) przez zastosowanie 2.4.

3.71. Następujące 4 własności są równoważne:

(a) L*ę (a, by = i * v<a,6>,

((3) Л Р < л , & > = J f v < a , & > ,

(y) ||^ ]|v -> 0 pociąga za sobą ||a?n||v -> 0 i odwrotnie, przy czym w przy­

padku <a, &> skończonego xn bierzemy z M (a , by, w przypadku (a, by nie­

skończonego z M0 <a, &>,

(3) xn^> 0 pociąga za sobą xn-> 0 i odwrotnie, przy czym x.n bierzemy jak w (y).

Każda z własności (a )-( 8 ) jest równoważna z cprLy lub 9

& y.

Dla (a) i ((3) jest to konsekwencją 2.41 i 3.7; dla (y) i ( 8 ) jest to konsekwencją 3.2 i 3.21.

3.8. Jeżeli w L*v (a, by określona jest F-norma || j|* spełniająca aksjo mat zupełności i taka, że ||a?n|]* -*• 0 pociąga za sobą xn ^> 0, to || ||* jest równoważna z normą generowaną przez <p, tzn. z || ||v (por. [ 2 ]).

Niech U(x) = x będzie odwzorowaniem przestrzeni [L*v (a, by, || ]|v]

na przestrzeń [L*9(a, by, || ||*]. Jeżeli \xn — xQ\ę -*■ 0 , || U(xn) — 1 /||* -> 0 , to xn^ x 0, xn^>y, więc U (x0) — x 0 i z twierdzenia o domkniętym wykre­

sie wynika, że ||a?n||v -► 0 pociąga za sobą ||а?иЦ* -> 0. Analogicznie dowo­

dzimy, że odwrotnie, ||a?n||* -» 0 pociąga ||a?n||v -»• 0 . 3.81. Jeżeli <p jest wypukła, to funkcjonał

(*) M l = inf |e > 0 : < l j

jest B-normą w L*v (a, by równoważną z normą generowaną przez q>.

Twierdzenie to jest znane, dlatego pomijamy sprawdzenie, że

spełnia warunki Б -normy. Równoważność || JJ z normą generowaną przez

<p można wykazać np. jak w [3].

3.82. Jeżeli w L*ę (a, by określona jest B-norma || ||° zupełna taka, że zbieżność do 0 według tej normy pociąga za sobą zbieżność modularną do 0 , to istnieje y> wypukła taka, że 9 o rL у f gdy <a , by skończony, <p ~ ip, gdy (a, by nieskończony.

To twierdzenie zostało wykazane przez S. Mazura i W. Orlicza w [ 1 ]

w przypadku, gdy (a, by jest skończony i gdy 9 ? spełnia warunek (A2)

dla dużych u. Pokażemy, jak przez pewną modyfikację dowodu wymię-

nionych autorów, można wykazać twierdzenie bez tego założenia. Z 3.8 i 3.3, 5), wynika istnienie q > 0 takiego, że ||a?||° < q implikuje I^cc) < 1.

Na mocy 3.8 i definicji || ||y istnieje e > 0 takie, że I v(%fe) < e pociąga M < Q, czyli z I 9{xkle) < e, * = 1 , 2 , . . . , » , wynika

#1 + #2 + • • • + Яг,

n < Q: tzn. г К

<p 1

#2 + • • • + ^

» < 1 . Rozumujemy dalej podobnie jak w [ 1 ], str. 117; bierzemy określoną w cytowanym miejscu funkcję xk(s) i obliczamy I,p(xkje) < e, a następnie

Dochodzimy do wniosku, że

(*) cp{oiU) < cco<p | —j , gdy

|

j > £ , 0 < f t ) < l . Załóżmy obecnie, że <a, by jest skończony. Twierdzimy, że

,1 lim —

u

(i) _{> 0 .}

W przeciwnym razie istnieje ->

tak że <p{un/e)lun -*• 0. Mech

— I. Na mocy (*) jest

(p(conun)

(?)

Ce ,

co jest niemożliwe, bo йп1<р

Obieramy ó > O oraz u0 > O w ten sposób, by cp | j ' u > d dla u > u0 i by óu0 > e. .Wynika stąd, że

(**) / w

(p(oJU)

dla аж > %, O < cu < 1 .

' Niech u 2 ^ ^ u0,

~ uxju2. Jest O < oj < 1 , ux — ож 2 > w0, więc na mocy (**)

9>(%) < c / »г\

--- 9? --- : U* \ s j

<p(%) czyli --- < G

<p

( ? )

u« dla ^ ^ ^ , zatem, na mocy 1 . 6 , 9 ? jest równoważna z funkcją wypukłą dla dużych u•

Załóżmy obecnie, że przedział <a, &> jest nieskończony, niech np. <«,&> =

Przestrzenie funkcji <p-,całkowalnych I I

= <0, oo). Bierzemy pod uwagę funkcję <pm1 która równa się l w <m—1, m ), m — 1 , 2 , . . . , a poza tym 0 i rozumując analogicznie jak w [ 1 ], str.

106-107, udowodnimy nierówność

l u \ 1 l u \

<P\— ) < o — <p{u), gdy <p — < e.

V n I n \ 8 I

Obierzmy ó > 0 tak małe, by z 0 < u < ó wynikała nierówność

<р(2и/е) < e. Mech 0 < co < 1, l j n < co < Dla 0 < u < <3 jest

/ 2 u \ ( u \ ,

(**) <p(cou) < ^ c т<Р \^ I, gdzie e = ł £- Wynika stąd

y(%)

ux gdy 0 < щ < u 2 < ó.

Jeżeli obierzemy rj < min(e, g') i dostatecznie duże d, otrzymamy dla w 2 > % > 0

9?W < д \ ^{П I}

i wystarczy zastosować 1 . 6 .

W związku z 3.82 zauważymy, że według 1.8 istnieją 9 ?, które nie są równoważne z funkcjami wypukłymi.

3.83. Wprowadzenie normy w L*ę (a, by równoważnej normie gene­

rowanej przez

może nastąpić w różny sposób. Wystarczy zastąpić

przez funkcję z nią równoważną у (dla dużych u, dla u > 0 ) i jako normę w L*v ( a , by wziąć normę generowaną przez y>. Lecz ten sposób wpro­

wadzania normy nie usuwa pewnej niedogodności, jaka związana jest z użyciem norm określonych wzorem 3.3, (*) i która jest widoczna w przy­

padku klasycznym 97 (u) = ua, a > 0 . Norma generowana przez tę funkcję

97

równa się

М , = ( / И*)Г<й)1,<1+°| ,

a więc jest różna od zwykle używanej zarówno w przypadku 0 < a < 1 , jak i a ^ 1. Dla a > 1 norma generowana jest Б -normą, podczas gdy klasyczna — Б -normą. Jeżeli jednak w tym przypadku użyjemy normy 3.81, (*), otrzymamy normę

m : *= ( / moi a

równoważną generowanej. Ogólnie, gdy

? ~ у (lub

~ ^ dla <ct, by

nieskończonego), gdzie y>. jest wypukła, to w możemy wpro­

w a d z i ć Б - n o r m ę w z o r e m

3

81

1.642

3.84.

у

L*ę (a, by,

by

<p.

~ ip

(a, by

3.85.

o ~ y,

ip

L*v <«, by

m o ż n a w p r o w a d z i ć Б - n o r m ę r ó w n o w a ż n ą z n o r m ą g e n e r o w a n ą p r z e z 99, p r z y p o m o c y d e f i n i c j i

ini ; =

Z a u w a ż y m y , ż e d l a 99(w ) =

u

0

ip,

ь

N | * =

f \oo (t)\adt.

c j ą s u b a d d y t y w n o ś c i , d o w ó d c i ą g ł o ś c i ]]Ao>]]* w z g l ę d e m A,

x

u

> 0

by

I v(xn) -* 0 ,

3

7

I w(xn)

0

0

1.64

3.86.

q>{%) — rp(us),

0

1

у

L*ę (a, by

s-jednorodną,

O k r e ś l a m y n o r m ę n a s t ę p u j ą c o :

x ^■JirP

Z b i ó r , o k t ó r y m m o w a w p o w y ż s z e j d e f i n i c j i , n i e j e s t p u s t y , b o

I ^x/e 118)

0

s

w y n i k a N I J < e /|A |s , |A |s ||a?||* <

e,

Ф

m : X—x

A

>

1

1

O s t a t n i a r e l a c j a j e s t r ó w n i e ż p r a w d z i w a d l a A = 0 , p o n i e w a ż ł a t w o z a u ­ w a ż y ć , ż e N I U =

0

x =

Przestrzenie funkcji (p-całkowalnych 11

warunek trójkątowy, obierzmy i m ; < *u i®.!; < «2 i zauważmy, że us jest subaddytywna. Mech s = ег+ e2. Zachodzą nierówności

czyli + < « i + e 2 > zatem + < IKIJ + IM J- Ciągłość normy względem Я i л? jest konsekwencją s-jednorodności.

3.87. Jeżeli w L*ę (a , by określona jest s-jednorodna, 0 < s < 1, norma || ||° zupełna, taka że zbieżność do 0 według tej normy pociąga za sobą zbieżność modularną do 0 , to < g> ^ gdzie %{u) = y>(us), y> jest funkcją wypukłą.

W przypadku (a, by nieskończonego należy zastąpić ~ przez Dowód tego twierdzenia pomijamy. Twierdzenie podał pierwszy S. Rolewicz w [4] w przypadku (a , by skończonego i przy założeniu, że spełniony jest warunek (A2) dla dużych u. Dowód przeprowadza się przez uogólnienie metody postępowania S. Mazura i W. Orlicza z [ 1 ], analogicznie do przypadku s = 1 omówionego w 3.82.

3.9. Zbiór X 0 C L*9(a, by nazywa się cp-ograniczony, jeżeli dla dowol­

nych xneX 0 jest tnxn % 0, gdy tn -+ 0.

Zbiór X 0 jest wtedy i tylko wtedy (p-ograniczony, jeżeli jest ograniczony w [L * * (a ,b y , I y .

Mech xneX 0, tn -> 0, gdzie X 0 jest <p-ograniczony. Gdyby było

||<n®»L > £ > 0 dla nieskończenie wielu n, to I ę{tnxnlB) > e, a z drugiej strony I v{tnxnle) -► 0 , zatem ||«n®n||* °*

Jeżeli -* 0 , x neX 0, t n -> 0 , to tnxn % 0, więc X 0 jest «^-ogra­

niczony.

3.91. N a to, by istniało (p-ograniczone otoczenie 0 w [L*v(ja, by, || fl,,], potrzeba i wystarcza, by spełniony był warunek (AJ przy pewnym a > 1 dla dużych u, gdy <a , by jest skończony, dla u ^ 0 , gdy (ja, by jest nieskoń­

czony.

Twierdzenie równoważne z powyższym podaje S. Rolewicz [4] dla (a, by skończonego. W swej pracy nie używa on explicite wygodnego i naturalnego warunku (AJ. Również dowód, który podaję w dalszym ciągu jest trochę prostszy od dowodu S. Rolewicza.

Mech (a, by będzie ograniczony i niech spełniony będzie dla u > u0 warunek (AJ. Jako otoczenie 0 weźmy X 0 = {x: I ę{x) < 1 } — {x: ||®||ff < 1}.

Twierdzimy, że X 0 jest ^-ograniczony. Dla dowodu obierzmy xne X 0, tn -» 0 , tn < 1, Mech xn{t) — xEn(t), gdzie E n = {t: \xn{t)\ ^ u)\ tu taj

Roczniki PTM - Prace Matematyczne VI 11

u oznacza pewną stałą, którą określimy w dalszym ciągu. Niech xn(t) =

= (<) + #« (*)• Ponieważ \tnx'n(t)\ < utn, więc I 9{tnx ’n) -* 0.. Jeżeli h oznacza funkcję z 1.55, to z (Ла) wynika ЫЮ > 1, gdzie A 0 = 1 / а < 1 , i na mocy 1.55, (y), h(X) -> oo, gdy A -> 0 . Spełniona jest nierówność

h(X) =-<p{u) > (p(Au) dla u > u{X).

Przy danym e > 0 obieramy A tak, by h(X) > l / e , u (X )= u . Wów­

czas

czyli e ^ I 9(tnXn) dla prawie wszystkich щ zatem I v(tnxn) = I ę{tnxn)4 -ł-Tę(tnx'ń) -> 0. Aby udowodnić konieczność, załóżmy, że zbiór

A ^o = ja>: < ej = M l* < Q < 1»

jest ograniczony. Obieramy dowolny ciąg liczb un -* oo taki, że

i określamy zbiory

£(<P(Uv)) 1 < — (b — a) Q

Niech

■B.C <«,.&>, xn(t) = Un Q

0 gdzie 0 < q ' < q . Jest

]Д »1 = Ы«»)) V dla teE ni

dla te<a,b>—En,

’ 4

) \En\(p(iin) Qi czyh xn. e X q , zatem

I/pitnfin I 6

V

Q*p (tn^n) l*P i'M'n)

dla dowolnego ciągu tn -> 0. Wykażemy, że dla 0 < e < 1 spełniona jest nierówność

(*) q>(Xu)l<p(u) < s dla A ^ A(e) < 1 , u ^ 'W(s),

skąd oczywiście wynika (Ла) dla dużych u , przy a — 1/A(e). Jeżeli (*) nie zachodzi, to przy pewnym 0 < £0 < 1 istnieje ciąg un taki, że

< - ( b - a )

v Q

oraz 0 < tn < 1 fn tak, że <p(tnun) > е0<р(ип), co jest niemożliwe.

Przestrzenie funkcji cp-calkowalnych I I

W przypadku <a, 6 > nieskończonego dowód prowadzi się analogicz­

nie, przy czym zamiast b należy wziąć bi określoną w 1.56.

W związku z ostatnim twierdzeniem zauważmy, że jeżeli <p spełnia (Aa) i znana jest stała ca z tego warunku, to w L*v <a, Ъ> daje się określić normę s-jednorodną, gdzie s = logca/loga. Wynika to z 1.71, 1.7, 3.86, 3.7, (a), (p).

Gdy cp jest wypukła, to oa = a, s = 1 i, jak już widzieliśmy, można wprowadzić w i * 9 >< a , 6 > Б -normę.

Prace cytowane

[1] S. M azur and W. O rlicz, On some classes of linear spaces, Studia Math.

17 (1958), str. 97-119.

[2] J. M u sie la k and W. O rlicz, On modular spaces, ibidem 18 (1959), str.

49-65.

[3] — Some remarks on modular spaces, Bull. Acad. Pol. 7 (1959), str. 661-668.

[4] S. R o le w ic z , Some remarks on the spaces N (L) and N (I), Studia Math.

18 (1959), str. 1-9.

В.

(Познань)

ПРОСТРАНСТВА ^-СУММИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ

Р Е З ЮМ Е

Часть I работы названной как выше опубликована в этом томе, стр. 121-139.

В части II продолжается исследование структуры пространств функций ^-сум­

мируемых, т. е. пространств L*<p( a ,b y . Пространство Х*?’< а , 6 > является при­

мером модулярного пространства в смысле Муселяка и Орлича ([2]) и можно в нем ввести норму типа F, т. н. генерированную через д> при помощи формулы 3.3, (*), и понятие

(модулярной сходимости). В пунктах 3.8-3.91 исследуется возможность введения s-однородной нормы равносильной генери­

рованной через q> и проблему существования ограниченных оболочек (или норму генерированную через <р). Полученные результаты обобщают теоремы Мазура и Орлича [1] и Ролевича [4]. В пунктах 3.1-3.8 исследуется различные струк­

турные свойства пространств 7

*9’<«, 6 > (например сепарабельность) и свойства множеств т. н. конечных элементов. Главные результаты частей I и II даны без доказательств в работе W. M a tu s z e w s k a , On generalized Orlicz spaces, Bull. Acad.

Pol. 8 (1960), стр. 349-353.

W. M

(Poznań)

SPACES OF p-INTEGRABLE FUNCTIONS

P A R T I I . G E N E R A L IZ E D O R L IC Z S P A C E S

SUMMARY

The first part of the paper is published in this volume, p p . 121-139. In the second one, investigation of the structure of spaces of ę>-integrable functions, i.e. spaces fe>, is continued. The space L ^ i a , by is an example of a modular space in the sense of Musielak and Orlicz (cf. [2]). An F-norm, called the norm generated by (p, may be in­

troduced in £*’’<«, ^by by means of the formula 3.3, (*). Moreover, the notion of ^-con­

vergence (modular convergence) is defined in £ * ’’<<*, by. In sections 3.8-3.91, the possibilities of introducing of an s-homogeneous norm equivalent to the norm gen­

erated by q>, and the question of existence of bounded neighbourhoods (with respect to the norm generated by cp) are investigated. The results obtained are generalizations of theorems of Mazur and Orlicz [1] and of Rolewicz [4]. In sections 3.1-3.8, various general properties of spaces F*?><a, by such as separability and properties of the class of the so-called finite elements are considered. Main results of the parts I and II are summarized in the paper of W. M a tu s z e w s k a , On generalized Orlicz spaces, Bull.

Acad. Polon. 8 (1960), pp. 349-353, without proofs.