Przestrzenie unormowane i przestrzenie Banacha

Przestrzenie unormowane i przestrzenie Banacha

1. W przestrzeni R² zaznaczyć w układzie współrzędnych sferę jednostkową S(0, 1), czyli zbiór punktów opisany za pomocą zbioru {(x, y) ∈ R² :||(x, y)||p = 1} dla p = 1, p = 2, p = ∞.

2. Wykazać, że || · || jest normą w R² i wyznaczyć domkniętą kulę jednostkową B(0, 1) = {(x, y) ∈R² :||(x, y)||  1}, jeśli

(i)||(x, y)|| =
8(x− y)²+ (x + y)²; (ii) ||(x, y)|| = max |x|, |y|, |x − y|;

(iii) ||(x, y)|| =√

4x²+ 5y²+|y|

dla (x, y)∈R².

3. Wykazać, że wzór

||(x, y, z)|| = max^
x²+ y²,|z|^

gdzie (x, y, z)∈R³ definiuje normę w _R³ i wyznaczyć kulę domknietą B(0, 1) w tej normie.

4. Wykazać, że w przestrzeni skończenie wymiarowej wszystkie normy są równoważne.

5. Niech p ∈ (0, 1) i d :R² → [0, +∞) będzie funkcją określoną następująco:

d(x, y) = (|x|^p+|y|^p)^p1 . Pokazać, że d nie jest normą w R².

6. Niech x = (ξ1, ξ₂, . . . ), gdzie ξ_n = ^−₁₁^5n dla n = 1, 2, . . . . Sprawdzić, czy x ∈ l¹ i obli- czyć jego normę.

7. Niech x = (ξ1, ξ₂, . . . ), gdzie ξ_n = ^−₁₃^7n dla n = 1, 2, . . . . Sprawdzić, czy x ∈ l² i obli- czyć jego normę.

8. Niech x = (ξ1, ξ₂, . . . ), gdzie ξ_n = ^−₁₇^9n dla n = 1, 2, . . . . Sprawdzić, czy x ∈ l^∞ i ob- liczyć jego normę.

9. Pokazać, że ciąg x = ^1,_ln2¹ ,_ln3¹ , . . .^ należy do przestrzeni c₀, a nie należy do przestrzeni l^p dla p 1.

10. Niech f : [0, 4] → R będzie określona następująco: f (x) = 3x− 5. Sprawdzić, czy f ∈ L^p i obliczyć normę f dla p = 1, p = 2 i p =∞.

11. Niech f : [0, 1] → ^R będzie określona następująco: f (x) = e^x. Sprawdzić, czy f ∈ X i

Arkusz 5

obliczyć normę f w X, jeśli (i) X = C([0, 1]);

(ii) X = C^k([0, 1]) dla k = 1, 2, . . . ; (iii) X = L^p(0, 1) dla p∈ (1, +∞).

12. Sprawdzić, czy dla X = C²([a, b]), następujace funkcje są normami:

(i)||f||1 = sup_t∈[a,b]|f(t)| + sup_t∈[a,b]|f^(t)| + sup_t∈[a,b]|f^(t)|, (ii) ||f||2 =|f(a)| + |f(b)| + sup_t∈[a,b]|f^(t)|.

Czy te normy są równoważne?

13. Niech B = {(x, y) ∈R² : x²+ y² < r²} . Niech dalej X = C¹(B) będzie podprzestrzenią przestrzeni(B,R) funkcji, które mają ciągłą i ograniczoną pierwszą pochodną. Sprawdzić, czy następujące funkcje sa normami:

(i)||f||1 = sup_(x,y)∈B|f(x, y)| + sup_(x,y)∈B|f_x^(x, y)| + sup_(x,y)∈B|f_y^(x, y)|, (ii) ||f||2 =|f(0, 0)| + sup_(x,y)∈B|f_x^(x, y)| + sup_(x,y)∈B|f_y^(x, y)|.

14. Niech X będzie przestrzenią wszystkich wielomianów określonych na [0, +∞), tzn. funk- cji f (x) =^n_k=0a_kx^k.

(i) Zbadać, czy ||f||₁ =^n_k=0|a_k| jest normą.

(ii) Zbadać, czy ||f||2 = sup_x∈[0,∞)|f(x)|e^−x jest normą.

(iii) Czy powyższe normy są równoważne?

(iv) Pokazać, że X nie jest przestrzenią zupełną w żadnej z tych norm.

15. NiechX = C(R²) będzie przestrzenią funkcji ciągłych takich, że

||f|| = sup

(x,y)∈R²|f(x, y)|e^−(x2+y2) <∞.

Pokazać, żę dla wszystkich k i n naturalnych funkcja f (x, y) = xⁿy^k ∈ X i obliczyć normę tej funkcji.

16. Pokazać, że l¹ i l^∞ są zupełne.

17. Niech x_n = ^_n¹,¹_n, . . . ,_n¹, 0, 0, . . . ,^. Sprawdzić, czy ciąg (x_n)^∞_n=1 jest zbieżnyc w prze- strzeniach c₀, l^p dla p 1.

18. Sprawdzić, czy ciągi funkcji f_n(t) = tⁿ − tⁿ⁺¹ i g_n(t) = tⁿ − t²ⁿ są zbieżne w przestrzeni C([0, 1]).

19. Sprawdzić, że ciąg fn(t) = tⁿ nie jest zbieżny w przestrzeni C([0, 1]), ale jest zbieżny w L^p(0, 1) dla p∈ [0, 1).

Arkusz 6

20. Niech M, L > 0. W przestrzeni C([0, M]) funkcji ciągłych f : [0, M] →Rokreślamy

||f||_L= max

x∈[0,M]e^−Lx|f(x)|

dla f ∈ C([0, M]). Wykazać, że || · ||_L jest normą w tej przestrzeni (zwaną normą Bieleckiego).

21. Przez Hα(X) oznaczamy przestrzeń liniową wszystkich funkcji f : X → R spełniających warunek

|f(x) − f(y)  L|x − y|^α

dla pewnej stałej L > 0. (tzw. warunek H¨oldera z wykładnikiem α , a dla α = 1 tzw. warunek Lipschitza ).

Wykazać, że

||f|| = sup

x∈X|f(x)| + sup

|f(x) − f(y)

|x − y|^α : x, y ∈ X, x = y



określa normę w H_α(X) dla f ∈ H_α(X) dla α∈R, α > 0.

22. Niech X będzie przestrzenią liniową nad ciałem K. Półnormą w tej przestrzeni nazywamy każdą funkcję p : X →R spełniajacą warunki:

P1) p(x) 0,

P2) p(λx) =|λ|p(x), P3) p(x + y) p(x) + p(y)

dla dowolnych wektorów x, y∈ X i λ ∈ K. Wykazać, że (i) jeśli p spełnia warunek P2), to p(Θ) = 0,

(ii) jeśli p spełnia warunki P2) i P3), to spełnia warunek P1), (iii) dla dowolnych x₁, x₂, . . . , x_n ∈ X

p(x₁ + x₂+· · · + xn) p(x1) + p(x₂) +· · · + p(xn), (iv) dla dowolnych x, y∈ X

|p(x) − p(y)|  p(x − y).

Arkusz 7