1 Podstawowe poj ecia topologiczne i algebraiczne.
1. Wykaza´c, ˙ze X =Rn- zbi´or wszystkich n-wyrazowych ciag´ ow liczb rzeczywistych z dzialaniami:
x + y = (x1 + y1, . . . , xn+ yn), αx = (αx1, . . . , αxn)
dla x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn)∈Rn, α∈Rjest przestrzenia liniow a.
2. Wykaza´c, ˙ze zbi´or wielomian´ow postaci Wn(t) = antn + an−1tn−1 + . . . + a1t + a0, dla t ∈ R, an, an−1, . . . , a1, a0 ∈ R z dzialaniami okre´slonymi jak dla przestrzeni wszystkich funkcji rzeczywistych okre´slonych naR jest podprzestrzenia liniow a przestrzeni tych funkcji.
3. Dla i∈ {1, 2, . . . , n} niech ei = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)∈Rn, (1 na i-tym miejscu).
(i) Pokaza´c, ˙ze uklad e1, . . . , en jest liniowo niezale˙zny.
(ii) Sprawdzi´c, ˙ze dla ka˙zdego x = (x1, . . . , xn)∈Rn mamy x = x1e1+ x2e2 + . . . + xnen,
przy czym przedstawienie to jest jednoznaczne, tzn. je´sli x = α1x1 + . . . + αnxn dla αi ∈R, i∈ {1, . . . , n}, to αi = xi.
4. Na podstawie nier´owno´sci Cauchy’ego wykaza´c, ˙ze przestrze´n Rn z funkcja
2(x, y) =
n
i=1
|xi− yi|2
dla x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn)∈Rn jest przestrzenia metryczn a.
5. Wykaza´c, ˙ze w przestrzeni Rn nastepuj ace r´ ownania okre´slaja metryki: (i) 1(x, y) =n
i=1|xi− yi|,
(ii) ∞(x, y) = maxi=1,...,n{|xi− yi|} .
6. Narysowa´c kule domkni et a o ´srodku (0, 0) i promieniu 1 w przestrzeni R2 wyposa˙zonej w metryki 1, 2, 3 odpowiednio.
7. Pokaza´c, jak wyglada kula otwarta i domkni eta w przestrzeniach R i R2 z metryka dys- kretna.
8. Udowodni´c, ˙ze w zbiorze ciag´ ow liczbowych ograniczonych X (tzn. x = (ξj)∞j=1 ∈ X ⇔ supj|ξj| < ∞) funkcja ∞
∞(x, y) = sup
j |ξj − ηj| , gdzie x = (ξj), y = (ηj),
jest metryka. Przestrze´ n metryczna (X, ∞) oznaczana jest przez m lub l∞.
9. Niech X− zbi´or ciag´ ow liczbowych zbie˙znych (tzn. x = (ξj)∞j=1 ∈ X ⇔ limj→∞ξj ist- nieje). Wykaza´c, ˙ze (X, ∞) jest przestrzenia metryczn a (oznaczon a przez c).
10. Niech X− zbi´or ciag´ ow liczbowych zbie˙znych do 0 (tzn. x = (ξ)∞j=1 ∈ X ⇔ limj→∞ξj = 0).
Wykaza´c, ˙ze (X, ∞) jest przestrzenia metryczn a (oznaczan a przez c 0).
11. Niech X− zbi´or ciag´ ow sumowalnych z p−ta pot eg a (p ≥ 1) (tzn. x = (ξj)∞j=1 ∈ X ⇔
∞
j=1|ξj|p <∞). Wykaza´c, ˙ze (X, p) jest przestrzenia metryczn a (oznaczan a l p), je´sli
p(x, y) =
∞
j=1
|ξj − ηj|p
1p
, x, y ∈ X.
12. Niech [a, b] ⊂ R i niech X oznacza zbi´or funkcji ciaglych na [a, b] o warto´sciach w R. Okre´slmy funkcje ∞, kladac
∞(x, y) = sup
t∈[a,b]|x(t) − y(t)| ,
gdzie x, y : [a, b] → R sa funkcjami ci aglymi. Wykaza´ c, ˙ze ∞ jest metryka (zwan a metryk a Czebyszewa). Przestrze´n metryczna (X, ∞) oznacza sie przez C([a, b]).
13. Pokaza´c, ˙ze przedzial otwarty w R jest zbiorem otwartym, a przedzial domkniety jest zbiorem domknietym.
14. Pokaza´c, ˙ze kula otwarta w przestrzeni metrycznej (X, ) jest zbiorem otwartym, a kula domknieta jest zbiorem domkni etym.
15. Pokaza´c na przykladzie, ˙ze dowolny iloczyn zbior´ow otwartych nie musi by´c zbiorem otwar- tym, a suma (dowolna) zbior´ow domknietych nie musi by´ c zbiorem domknietym.
16. Wykaza´c, ˙ze w przestrzeni s wszystkich ciag´ ow liczbowych funkcja
f (x, y) =
∞ j=1
1
2j · |ξj− ηj| 1 +|ξj− ηj| , gdzie x = (ξj)∞j=1, y = (ηj)∞j=1, jest poprawnie okre´slona metryk a.
17. Zinterpretowa´c zbie˙zno´s´c ciagu punkt´ ow w przestrzeni funkcji ciaglych C([a, b]) z metryk a Czebyszewa.
18. Udowodni´c, ˙ze domkniecie zbioru wzgl ednie zwartego jest zbiorem zwartym.
19. Udowodni´c, ˙ze podzbi´or domkniety zbioru zwartego jest zwarty.
20. Wykaza´c, ˙ze zbi´or A⊂Rkjest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domkniety i ograniczony.
21. Pokaza´c, ˙ze w R metryka naturalna d1(x, y) =|x − y| i metryka ρ(x, y) =1+|x|x − 1+|y|y sa r´ownowa˙zne.
2 Przestrzenie unormowane i przestrzenie Banacha.
22. Sprawdzi´c, ˙ze funkcja : X × X →R+ okre´slona wzorem
(x, y) = x − y
dla x, y∈ X, gdzie X jest przestrzenia unormowan a, spelnia aksjomaty metryki.
23. Wykaza´c, ˙ze w przestrzeni unormowanej (X, ) norma jest funkcja ci agl a, jednostaj- nie ciagl a, a nawet spelnia warunek Lipschitza ze stal a 1 (tzn. dla dowolnych x, y ∈ X mamy
| x − y | ≤ 1 · x − y).
24. Wykaza´c, ˙ze w przestrzeni Rn(Cn) zachodza nier´ owno´sci:
x 2 ≤ x1 ≤√ n x
2, x ∞ ≤ x2 ≤√
n x
∞,
x ∞≤ x1 ≤ n x∞ dla x∈Rn(Cn), czyli normy te sa r´ ownowa˙zne.
25. Rozwa˙zmy przestrze´n C ([a, b]) z normami f∞ = maxa≤t≤b|f(t)| i f1 = b
a|f(t)| dt.
We´zmy fn ∈ C ([a, b]) , n = 1, 2, . . . okre´slone fn(t) = (t− a)n, t∈ [a, b] . Pokaza´c, ˙ze (i)fn∞ = (b− a)n, fn1 = (b−a)n+1n;
(ii) nie istnieje stala M > 0 taka, ˙ze fn∞≤ M fn1;
(iii) dla funkcji gn = (b− a)−nfn ciag (g n)∞n=1 jest zbie˙zny do zera w normie 1, ale nie w normie ∞.
Wynika stad, ˙ze normy te nie s a r´ ownowa˙ze.
26. Niech 1 i 2 bed a dwiema normami w przestrzeni wektorowej X. Wykaza´ c, ˙ze ka˙zdy ze wzor´ow
x = x1 +x2,
x =
x21+x22,
x = max {x1,x2} ,
r´ownie˙z okre´sla norme w pzestrzeni X oraz, ˙ze normy te s a r´ ownowa˙zne.
27. Niech bedzie norm a w przestrzeni liniowej X, a x 0-ustalonym elementem z tej przestrzeni. Pokaza´c, ˙ze
x − y∗ =
0, x = y
x − x0 + x0− y , x= y generuje metryke w przestrzeni X.
28. Rozwa˙zmy przestrze´n Cn([a, b]) funkcji zmiennej rzeczywistej t ∈ [a, b] ciaglych wraz ze swoimi pochodnymi do rzedu n wl acznie. Okre´slamy dzialania w spos´ ob naturalny oraz funkcje:
x = |x(a)| + |x(a)| + . . . + |x(n−1)(a)| + sup
a≤t≤b|x(n)(t)|,
x = |x(b)| + |x(b)| + . . . + |x(n−1)(b)| + sup
a≤t≤b|x(n)(t)|,
x = max
sup
a≤t≤b|x(t)|, sup
a≤t≤b|x(t)|, . . . , sup
a≤t≤b|x(n)(t)|
.
(i) Wykaza´c, ˙ze funkcje okre´slaja normy.
(ii) Udowodni´c, ˙ze ciag (x k)∞k=1 zbiega do x w przestrzeni Cn([a, b]) wtedy i tylko wtedy, gdy xk(t)→ x(t), xk(t)→ x(t), . . . , x(n)k (t)→ x(n)(t) jednostajnie dla a≤ t ≤ b.
29. Wykaza´c, ˙ze je´sli 1 ≤ p < q < ∞, to normy p i q na przestrzeniach lp i Lq([a, b]) nie sa r´ ownowa˙zne.
30. Rozwa˙zmy przestrze´n C ([0, 1]) z norma supremum. Niech g(t) = 2 − t2. Znale´z´c (na- rysowa´c) domkniet a kul e ¯ B(g, 1/2) o ´srodku g i promieniu 1/2. Co mo˙zna powiedzie´c o tej kuli, je´sli przestrze´c ta wyposa˙zona jest w norme x1 =1
0 |x(t)| dt?
31. W przestrzeni unormowanej sko´nczenie wymiarowej ka˙zdy zbi´or domkniety i ograniczony jest zwarty. Ale w przestrzeni X niesko´nczenie wymiarowej domknieta kula ¯ B nie jest zbiorem zwartym, tzn. istnieja ci agi z tej kuli, z kt´ orych nie mo˙zna wybra´c ˙zadnego podciagu zbie˙znego. Udowodni´c ten fakt dla kuli o ´srodku Θ∈ X i promieniu 1 w nastepuj acych przykladach prze- strzeni X:
(i) X - przestrze´n wszystkich ciag´ ow niesko´nczonych o wyrazach z R (wsk. wybra´c ciag ci ag´ ow zero-jedynkowych (ekn)∞n=1).
(ii) X = l1 - przestrze´n wszystkich ciag´ ow sumowalnych o wyrazach z R (wsk. wybra´c ciag ciag´ ow zero-jedynkowych (ekn)∞n=1).
(iii) X = C ([0, 1]) o warto´sciach z R(wsk. wybra´c ciag funkcji (f n)∞n=1 takich, ˙ze fn(t) = tn dla t∈ [0, 1]).
(iv) X = L (0, 1) (wsk. wybra´c ciag funkcji (f n)∞n=1 takich, ˙ze fn(t) = χ[0,1n](t) · n, gdzie
χ[0,n1](t) =
1, gdy t ∈ 0,1n
, 0, gdy t ∈1
n, 1 jest tzw. funkcja charakterystyczn a przedzialu).
32. Udowodni´c, ˙ze przestrze´n lpn, 1 ≤ p < ∞ jest o´srodkowa. Przykladem zbioru przeli- czalnego gestego w tej przestrzeni jest zbi´ or wszystkich wektor´ow o wsp´olrzednych wymiernych lub zespolonych wymiernych (liczbe zespolon a z nazywamy wymiern a, gdy jej cz e´s´ c rzeczywista i urojona sa liczbami wymiernymi).
33. Udowodni´c, ˙ze przestrze´n c0 jest o´srodkowa. Przykladem zbioru przeliczalnego gestego w tej przestrzeni jest zbi´or wszystkich ciag´ ow typu sko´nczonego o wyrazach wymiernych lub zespolonych wymiernych (wsk. zbi´or A okre´sli´c jak w twierdzeniu 2.3.1).
34. Udowodni´c, ˙ze przestrze´n c jest o´srodkowa. Przykladem zbioru przeliczalnego gestego w tej przestrzeni jest zbi´or wszystkich ciag´ ow prawie stalych o wyrazach wymiernych lub ze- spolonych wymiernych (ciag (x k)∞k=1 jest prawie staly, je´sli jest staly od pewnego miejsca, tzn.
istnieje k0 takie, ˙ze xk0 = xk0+1 = xk0+2 = . . . ).
35. Wykaza´c, ˙ze przestrze´n C (Ω) , Ω⊂Rn− zwarty, jest o´srodkowa. Przykladem zbioru przeli- czalnego gestego w tej przestrzeni jest zbi´ or wszystkich wielomian´ow n zmiennych o sp´olczynnikach wymiernych (lub zespolonych wymiernych).
36. Wykaza´c, ˙ze przestrze´n Ck([a, b]) jest o´srodkowa. Przykladem zbioru przeliczalnego gestego w tej przestrzeni jest zbi´or wszystkich wielomian´ow o sp´olczynnikach wymiernych (lub zespolo- nych wymiernych).
37. Pokaza´c, ˙ze funkcje przedzialami liniowe tworza zbi´ or gesty w przestrzeni C ([a, b]) (funkcj e f : [a, b] → R nazywamy przedzialami liniowa albo laman a, gdy [a, b] mo˙zna podzieli´ c na sko´nczenie wiele mniejszych odcink´ow tak, aby f byla liniowa na ka˙zdym z nich z osobna).
38. Niech BC(R) oznacza przestrze´n funkcji ciaglych i ograniczonych na prostej, z norm a:
f = sup
t∈R |f(t)|.
Wykaza´c, ˙ze przestrze´n ta jest nieo´srodkowa.
39. Niech C0(R) oznacza przestrze´n funkcji ciaglych f : R → K takich, ˙ze limt→±∞f (t) = 0, z norma jak w poprzednim zadaniu. Pokaza´ c, ˙ze C0(R)⊂ BC(R) oraz, ˙ze jest o´srodkowa.
40. Wkaza´c ˙ze nastepuj ace przestrzenie s a zupelne ( a poniewa˙z wiadomo, ˙ze s a liniowe i unormowane, wiec s a przestrzeniami Banacha):
(i) lpn, 1≤ p < ∞, (ii) l∞n,
(iii) c0,
(iv) Ck([a, b]) .
41. Niech t0 ∈ [a, b] ⊂R. Wykaza´c, ˙ze przestrze´n
{f ∈ C ([a, b]) : f(t0) = 0}
jest podprzestrzenia wektorow a domkni et a przestrzeni C ([a, b]), a wi ec jest przestrzeni a Bana- cha.
42. Niech Ω = ∅, oznaczmy przez B(Ω) przestrze´n wszystkich funkcji ograniczonych na Ω o warto´sciach w K, a przez BC(Ω) przestrze´n wszystkich funkcji ograniczonych i ciaglych, z norma
f = sup
t∈Ω |f(t)|.
Pokaza´c, ˙ze sa to przestrzenie Banacha.
43. Udowodni´c, ˙ze przestrze´n Lip[a, b]- przestrze´n funkcji spelniajacych warunek Lipschitza, z norma
f = sup
t=s
|f(t) − f(s)
|t − s| + sup
t |f(t)|
jest przestrzenia Banacha.
44. Udowodni´c, ˙ze przestrze´n C1([a, b]) , gdzie ||f|| = max (sup |f(t)|, sup |f(t)|) jest prze- strzenia Banacha.
45. Wykaza´c, ˙ze przestrze´n C ([a, b]) z norma
f1 =
b
a |f(t)| dt nie jest przestrzenia Banacha.
46. No´snikiem funkcji ciaglej f : R→ K nazywamy zbi´or suppf :={t ∈R: f (t)= 0}.
Niech X = {f ∈ C(R) : |suppf| < ∞} oznacza zbi´or funkcji ciaglych f : R → K o no´snikach ograniczonych, z norma
f = sup
t∈R|f(t)| .
Wykaza´c, ˙ze X nie jest przestrzenia zupeln a. Jaka przestrze´ n funkcji jest naturalnym uzupelnieniem przestrzeni X?
47. Niech X ⊂ C ([0, 1]) bedzie podprzestrzeni a zlo˙zon a ze wszystkich wielomian´ ow w(t) = a0+ a1t + . . . + antn,
dla kt´orych a0 = 0. Jaka przestrze´n jest naturalnym uzupelnieniem przestrzeni X?
