WŁASNOŚCI RUCHOWE PRZENOŚNIKÓW WIBRACYJNYCH DZIAŁAJĄCYCH NA ZASADZIE ELIMINATORA DYNAMICZNEGO
PIOTR CZUBAK, JERZY MICHALCZYK
Katedra Mechaniki i Wibroakustyki, AGH.
e-mail: czubak@agh.edu.pl, michalcz@agh.edu.pl
Streszczenie: W niniejszej pracy analizowano przenośniki krótkie działające na zasadzie eliminatora drgań Frahma. Zbadano problem wpływu zmiany częstotliwości roboczej na siłę przekazywaną na podłoże jak również wpływ ilości nadawy na pracę przenośnika.
1. WSTĘP
Przenośniki wibracyjne znajdują zastosowanie w przemyśle do transportu ciągłego materiałów sypkich na niewielkie odległości. Ze względu na ich specyfikę ruchu największą wadą niektórych przenośników jest przenoszenie znaczących sił dynamicznych na podłoże.
W pracach [1,2,3] analizowano przenośniki długie rzędu kilkunastu metrów zawieszone na układzie listew resorujących, w których duże siły przekazywane na podłoże związane są ze zjawiskami dynamicznymi zachodzącymi wzdłuż długości rynny. W pracach [4,5]
przeprowadzono dokładną analizę sił przekazywanych na podłoże przez przenośniki krótkie rzędu kilku metrów, podparte na ramie wibroizolacyjnej, w których rynnę i ramę można traktować jako ciała sztywne.
Dla obniżenia reakcji dynamicznych zaproponowano w ostatnim czasie wykorzystanie w budowie przenośników wibracyjnych efektu eliminatora dynamicznego Frahma [6], (rys.1.)
rynna przenośnika
rama wibroizolująca F(t)
Listwa resorująca
m
m
wibrator
x
2 k
1
1
Rys 1. Przenośnik wibracyjny firmy Rys.2. Schemat przenośnika wykorzystującego Key Technology [7] zjawisko eliminacji dynamicznej Frahma
Masa m1 jest rynną przenośnika, natomiast m2 jest masą ramy wzbudzanej do drgań siłą wymuszającą P0sinωt, (rys. 2) Rynna przenośnika połączona jest z ramą za pomocą sprężyn listwowych o współczynniku sprężystości k1 spełniającym zależność k1 =m1ω2 tworząc eliminator Frahma.
W stanie ustalonym rynna drga z amplitudą wywołującą w elemencie k1 siły przeciwne do siły wymuszającej wibratora, co powoduje wygaszenie drgań ramy wibroizolującej, zatem sama wzbudzana jest do drgań za pomocą siły identycznej do siły wzbudzającej wibratora.
Ze względu na brak w literaturze opracowań oceniających skuteczność metody, autorzy jako cel niniejszej pracy postawili zadanie określenia skuteczności ograniczenia sił przekazywanych na podłoże przez przenośniki tego typu.
2. BUDOWA MODELU MATEMATYCZNEGO PRZENOŚNIKÓW
WYKORZYSTUJĄCYCH ZASADĘ DZIAŁANIA ELIMINATORA DYNAMICZNEGO Przedstawionemu na rys. 2 schematowi konstrukcyjnemu przenośnika odpowiada model dynamiczny pokazany na rys 3.
b b
kx
Po*sin( t)ω
x x
x y1
m
m
J1
J
β
1
2 α
x
y
Po*sin( t)
b k
k b
1 1
2 2
m
m
1
2
Rys.3. Schemat przenośnika wibracyjnego Rys.4. Uproszczony schemat przenośnika
Układ przedstawiony na rys. 3 posiada cztery stopnie swobody związane odpowiednio ze współrzędnymi x,y,τ i β. Przy założeniu, że kx = ky i kierunek siły wymuszającej przechodzi zarówno przez środek ciężkości, jak i przez środek układu zawieszenia można układ przenośnika sprowadzić do układu przedstawionego na rys. 4.
Zakładając wymuszenie monoharmoniczne postaci P0(t)=mweω2sin(ωt)oraz ograniczając rozważania do stanu ustalonego, układ równań różniczkowych dla schematu przedstawionego na rys. 4 można zapisać w postaci:
( )
( )
2 1 2 21 2 2
1 1
2 1
) (
0 ) (
ω ω
ω ω
ω ω
me Y k X Y k Y i b X Y i b Y m
Y X k Y X i b X m
= +
− + +
− +
−
=
− +
− +
− (1)
gdzie:
X - amplituda zespolona ruchu harmonicznego wzdłuż współrzędnej x, Y - amplituda zespolona ruchu harmonicznego wzdłuż współrzędnej y, ω - częstość wymuszenia siły F(t),
i - jednostka urojona, m1 - masa rynny przenośnika, m2 - masa ramy przenośnika,
m - suma mas niewyważonych wibratora, e - mimośród masy m,
k1 ,b1 - sumaryczny współczynnik sprężystości i tłumienia listew resorujących na kierunku roboczym x,
k2 - współczynniki sprężystości układu podparcia rynny wibroizolującej, b2 - współczynniki tłumienia układu podparcia ramy wibroizolującej.
Gdzie współczynnik tłumienia wyznaczono z zależności:
πω ψ 2
b= k zaś współczynnik rozproszenia przyjętoψ = 0,10.
Po rozwiązaniu tych równań względem niewiadomych X i Y otrzymujemy zespoloną wartość amplitud:
( )
( )
( ) (
( ))
( )
( )( )
( )
(
ω ω ω ω ωω) (
ωω ( ) ω ω ω)
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
2 1 1 3 2 2 1 2 1 3 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 4 2 1
1 1 2 1 2
1 1 2 1 1 3 2 2 1 2 1 3 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 4 2 1
1 1 2 1 2 2 1
2 2
k b b m b k b b m i b b k k k m k k m m m
ib k m Y me
w ib k k b b m b k b b m i b b k k k m k k m m m
b ik k b X me
− +
− +
⋅
−
− +
− +
−
+ +
= −
+
− +
− +
⋅
−
− +
− +
−
+ +
−
= −
(2) Moduły zespolonych wartości amplitud określają wartość rzeczywistą amplitud, zaś
2 2 2 2
2 bω
k Y
P= ⋅ + stanowi amplitudę siły przenoszonej na podłoże. Analityczne rozwiązanie równań ruchu daje możliwość przeanalizowania możliwości ruchowych układu przenośnika w zależności od częstości siły wymuszającej ω.
3. WYZNACZENIE SIŁ PRZEKAZYWANYCH NA PODŁOŻE PRZEZ PRZENOŚNIK BEZ NADAWY
Na rys. 5 krzywa 1 przedstawia siłę przekazywaną na podłoże przez przenośnik wibracyjny działający na zasadzie eliminatora Frahma w funkcji częstości wymuszenia. Masa rynny przenośnika wynosiła 3700[kg], amplituda siły wymuszającej P0=90[kN], a amplituda drgań rynny 2,4[mm] przy częstotliwość znamionowej wymuszenia ω=106[rad/s].
W celu pełniejszego określenia zalet i wad omawianego rozwiązania na rys. 5 naniesiono również siłę przekazywaną na podłoże przez innego typu przenośniki o tych samych parametrach.
1 2 3
Rys. 5. Zależność siły przenoszonej na podłoże w funkcji częstości wymuszenia.
1- Przenośnik działający na zasadzie eliminatora Frahma.
2- Wibroizolowany przenośnik posadowiony na listwach resorujących.
3- Przenośnik posadowiony na listwach resorujących bez wibroizolacji
W stanie ustalonym, przy roboczej częstości wymuszenia ω=106[rad/s], siła przekazywana przez przenośnik wibracyjny działający na zasadzie wibroizolatora Frahma bez nadawy jest 48 razy mniejsza niż przy zastosowaniu przenośnika nie wibroizolowanego i sześć razy mniejsza niż w przenośniku wibroizolowanym z wymuszeniem przyłożonym do rynny. Przenośnik działający na zasadzie wibroizolatora Frahma daje bardzo małą siłę reakcji w stanie ustalonym pod warunkiem, że tłumienie w układzie listew resorujących jest stosunkowo małe. W tego typu przenośnikach siła przekazywana na podłoże znacząco rośnie w przypadku odstrojenia od częstotliwości roboczej, np. na skutek rozstrojenia układu
resorów k1 lub zmiany poślizgu silnika związanym ze zmianą napięcia sieci lub znaczących zmian obciążenia nadawą.
4. WYZNACZENIE SIŁ PRZEKAZYWANYCH NA PODŁOŻE Z UWZGLĘDNIENIEM ODDZIAŁYWANIA NADAWY
Ze względu na silną zależność skuteczności eliminatora od tłumienia w układzie, analizy prowadzone bez uwzględnienia nadawy są obarczone zwykle dużym błędem, gdyż zasadnicze tłumienie energii zachodzi w nadawie [8].
Dla oceny wpływu nadawy na skuteczność redukcji sił przekazywanych przez przenośnik analizowanego typu na podłoże, zbudowano model symulacyjny odpowiadający schematowi pokazanemu na rys. 6.
Rys.6. Model przenośnika wibracyjnego wraz z nadawą
Nadawę zamodelowano w postaci n warstw o łącznej masie mn, wykonujących ruch pionowy wzdłuż osi ηi i poziomy wzdłuż osi ζi. Warstwy pomiędzy sobą i na styku z rynną oddziałują siłami kontaktowymi, których postać dobrano w ten sposób, by zachowywały zadaną wartość współczynnika restytucji R i współczynnika tarcia rozwiniętego µ [9].
Na kierunku normalnym η siłę kontaktową wyznaczono z zależności:
[ ]
− − − − ⋅ −
⋅
⋅
−
= 1 sgn( ) sgn( )
2 1 1 ) (
2
j i j
i p
j i
ij R x x x x
k x x
F & & (3)
gdzie k i p – stałe Herza-Sztajermana, R - wsp. restytucji i , j = 0;1..n – indeksy wchodzących w kontakt mas
Model przedstawiony na rys. 6 opisują następujące równania ruchu:
( )
( )
2( 1)( ) 2 0()1 2
10 1
1 1
t P y k x y k y b x y b y m
F y x k y x b x m
= +
− + +
− +
−
=
− +
− +
&
&
&
&
&
&
&
&
&
21 10 1 1
n T T
m &ξ& = −
21 10 1 n 1 1
n m g F F
m η&& =− + −
32 21 2 2
n T T
m ξ&& = −
32 21 2 n 2 2
n m g F F
m η&& =− + −
43 32 3 3
n T T
m ξ&& = −
43 32 3 n 3 3
n m g F F
m η&& =− + −
. . .
1 j , j j
nj T
m &ξ& = −
1 j , j nj j
nj m g F
m η&& =− + − β
=
ξ0 xcos η0=xsinβ
razie przeciwnym w
to
jeśli η1≥η0 F10=0 [ ]
− − − η −η ⋅ η −η
⋅
⋅ η
− η
= 1 sgn( ) sgn( )
2 R 1 1 k ) (
F 0 1 0 1
2 p
1 0
10 & &
) sgn(
F
T10=−µ 10 ξ&1−ξ&0
razie przeciwnym w
to
jeśliη2≥η1 F21 =0 [ ]
− − − η −η ⋅ η −η
⋅
⋅ η
− η
= 1 sgn( ) sgn( )
2 R 1 1 k ) (
F 1 2 1 2
2 p
2 1
21 & &
) sgn(
F
T21=−µ 21 ξ&2−ξ&1
razie przeciwnym w
to
jeśliη3≥η2 F32=0 [ ]
− − − η −η ⋅ η −η
⋅
⋅ η
− η
= 1 sgn( ) sgn( )
2 R 1 1 k ) (
F 2 3 2 3
2 p
3 2
32 & &
) sgn(
F
T32=−µ 32 ξ&3−ξ&2
. . .
razie przeciwnym w
0 F to jj1
1 j
j≥η =
η − ,−
jeśli
[ ]
− − − η −η ⋅ η −η
⋅
⋅ η
− η
= − − −
− 1 sgn( ) sgn( )
2 R 1 1 k ) (
F j1 j j1 j
2 p
j 1 j 1 j ,
j & &
) sgn(
F
Tj,j−1 =−µ j,j−1 ξ&j−ξ&j−1 (4)
Rys. 7÷8 przedstawiają przemieszczenia pionowe i poziome kolejnych warstw nadawy dla sumarycznej masy nadawy mn=800kg przy jej podziale na n=8 warstw. Rys. 9 przedstawia siłę przekazywaną na podłoże przy rozruchu i w stanie ustalonych przy znamionowej częstości wymuszenia ω=103,8[rad/s].
[m ]
t[s]
A[m]
t[s]
rynna
rama 8 warstw nadawy
Rys.7. Przemieszczenie ośmiu warstw Rys.8. Przemieszczenie ramy wibroizolującej nadawy na kierunku poziomym rynny i ośmiu warstw nadawy na kierunku dla masy nadawy 800[kg] pionowym dla masy nadawy 800[kg]
P[N]
t[s]
Rys.9. Siła przekazywana na podłoże przez Rys.10. Zależność siły przekazywanej w stanie przenośnik, masa nadawy 800[kg] ustalonym na podłoże od częstości wymuszenia i masy nadawy
Wykresy na rys. 10 przedstawiają zależność siły przekazywanej na podłoże w stanie ustalonym przez przenośnik wibracyjny o masie rynny 3700[kg] w funkcji częstości wymuszenia dla różnych masach nadawy. Przy większych masach nadawy rośnie siła
przekazywana przez analizowany przenośnik. Siłę tę można zminimalizować przez odpowiedni dobór częstości znamionowej wymuszenia w zależności od ilości nadawy.
W przypadku obciążenia przenośnika nadawą o zmiennej masie dobre rezultaty uzyskać można przestrajając częstość siły wymuszającej tak, by układ pracował w zakresie Pmin.
5. WNIOSKI
1. Dla badanych przenośników wibracyjnych o podobnych parametrach siła przekazywana przez przenośnik działający na zasadzie eliminatora Frahma bez znacznego obciążenia nadawą w stanie ustalonym jest 48 razy mniejsza niż w przenośniku nie wibroizolowanym i 6 razy mniejsza niż w przenośniku wibroizolowanym z wymuszeniem przyłożonym do rynny.
2. W przypadku odstrojenia od częstotliwości roboczej analizowany przenośnik działający na zasadzie eliminatora Frahma przekazuje w zakresie ωznam⋅(1±0,05) mniejszą siłę na podłoże, niż podobny wibroizolowany przenośnik z wymuszeniem przyłożonym do rynny.
3. Nadawa wpływa znacząco na zwiększenie siły przekazywanej na podłoże. Przy masie nadawy stanowiącej 10% masy rynny przenośnika minimalna siła jest prawie dwukrotnie większa niż w przenośniku bez nadawy. Ponadto zmiana masy nadawy zmienia położenie optymalnej częstości pracy.
4. W przypadku obciążenia przenośnika nadawą o zmiennej masie lepsze rezultaty uzyskać można przestrajając częstość siły wymuszającej tak, by układ pracował w zakresie Pmin. LITERATURA
1. Michalczyk J., Czubak P.: Latent reactions in suspension systems of vibratory machines supported by leaf springs, “The Archive of Mechanical Engineering”, 2000, vol. 47 no. 4, s. 311–323
2. Michalczyk J., Czubak P.: Problemy wibroizolacji maszyn wibracyjnych o znacznej długości. W: IX Sympozjum, „Wpływ wibracji na otoczenie”, 2001 Kraków–Janowice, nr 83 s. 187–194
3. Czubak P.: Dobór parametrów ramy wibroizolującej przenośnika wibracyjnego podpartego na układzie listew resorujących. WibroTech 2003, Kraków, s. 76–77.
4. Goździecki M., Swiątkiewicz H.: Przenośniki. Warszawa: WNT, 1975.
5. Czubak P.: Mass optimisation of the vibroinsulating frame of a short vibratory conveyer, Mechanics, 2006, Vol.25 No.1.
6. Frahm H.: Device for damping vibrations of bodies, US Patent No.989958, 1909.
7. Key Technology - www.key.net.
8. Czubak A.: Przenośniki wibracyjne, Katowice: „Śląsk”, 1964, s. 33–40
9. Michalczyk J., Cieplok G.: Wyznaczenie ruchu rynny maszyny wibracyjnej z uwzględnieniem zakłóceń wywołanych zderzeniami z nadawą. „Mechanika” t.18 zeszyt 2/1999, s. 233–261.
MOBILE PROPERTIES OF VIBRATORY CONVEYERS OPERATING ON THE BASIS OF THE DYNAMIC ELIMINATOR
Abstract: Short conveyers operating on the basis of the Frahm’s eliminator of vibrations were analysed in the paper. An influence of an operating frequency on forces transmitted to the foundation as well as an influence of amount of feed material on the performance of conveyer was also analysed.
Praca została wykonana w ramach badań statutowych Katedry Mechaniki i Wibroakustyki za rok 2007.
