Ruchharmonicny Zadanie:

Politechnika Łódzka FTIMS

Kierunek: Informatyka rok akademicki: 2009/2010 sem. 3.

grupa II

Termin: 1 XII 2009

Zadanie:

Ruch harmonicny

Nr. albumu: 150875

Nazwisko i imię:

Grzegorz Graczyk

Nr. albumu: 151021

Nazwisko i imię:

Tarasiuk Paweł

Data oddania raportu:

1 XII 2009

Treść zadania

Rozważmy ruch harmoniczny dla ciała o masie m = 2.

Dane są wartości energii kinetycznej zbierane co 0, 25s:

Ek = [ 0.714; 0.61; 0.726; 0.623; 0.460; 0.540; 0.414; 0.229; 0.289; 0.279; 0.362; 0.226; -0.001; ..

0.152; 0.215; -0.188; -0.088; -0.105; -0.229; 0.097; -0.113; 0.126; 0.333; 0.292; 0.364; ..

0.388; 0.322; 0.533; 0.635; 0.513; 0.570; 0.642; 0.622; 0.765; 0.751; 0.682; 0.525; 0.355; ..

0.384; 0.476; 0.274; 0.358; 0.106; 0.058; 0.139; -0.081; 0.099; 0.066; 0.163; -0.043 ] Do danych należy dopasować krzywą E

= m · V

/2, gdzie V = Aω cos(ωx + φ) i wyznaczyć parametry A, ω oraz φ, wiedząc że wartość masy wynosi 2 (wykres). Pokazać również wykres V (t).

Wykonać całkowanie numeryczne danych V (t) i wykonać wykres x(t).

Wiedząc, że eneriga potencjalna E

= k · x

/2, oraz k/m = ω

wykonać wykres x(t). Porów- nać uzyskane wykresy.

Opis metody

Szum na wartościach energii potencjalnej jest tak istotny, że w danych pojawiają się wartości ujemne (co oczywiście jest wyłącznie wynikiem niedokładnoci pomiarów - energia kinetyczna z definicji nie może być ujemna). W celu przygotowania tablicy prędkości od czasu (według wzoru V = ±

2 · E

/m) konieczne było zatem wyzerowanie tych wartości (aby uniknąć urojonych wyników w macierzy prędkości).

Współczynniki A, ω oraz φ zostały wyznaczone za pomocą funkcji leastsq, na podsta- wie danych opisujących zależność prędkości od czasu, tak aby dopasowane były do zależności V = Aω cos(ωx + φ). Dla pozycji w których prędkość równa zero wynikała z ”ręcznie” wyzero- wanej energii kinetycznej waga punktu została wyzerowana, natomiast pozostałe punkty miały równe wagi.

Istotnym spostrzeżeniem jest, że wzór V = ±

2 · E

/m nie jest jednoznaczny. Dane wejścio- we w wyraźny sposób opisują 3/4 pełnego okresu drgań harmonicznych, zaczynając od zerowego wychylenia (maksimum energii kinetycznej). Zatem przez 1/4 okresu ciało traciło prędkość, a następnie zmieniało zwrot prędkości na przeciwny. Z braku przesłanek pozwalających to roz- strzygnąć, ustalono znak prędkości przez początkową 1/4 okresu jako dodatni, a później - ujem- ny. Oczywiście 1/4 okresu drgań oznacza 1/3 danych wejściowych.

Analogiczny problem pojawił się przy wyznaczaniu x na podstawie wzoru E

= k · x

/2, czyli x = ±

2 · E

/k. Oczywiście ze względu na dadatnią prędkość, najpierw przez 1/4 okresu ciało było wychylone się w kierunku dodatnim, po upływie 1/2 okresu wróciło do x = 0, a następnie było wychylone się w kierunku ujemnym. Zatem przez ostanią 1/3 danych wejściowych wychylenie było ujemne. Oczywiście znaki wychylenia oraz prędkości można by równie dobrze wybrać jako przeciwne.

Grzegorz Graczyk i Paweł Tarasiuk 2 / 5

Wyznaczone parametry

Parametr Wartość Opis

A 2.099746 Amplituda

ω 0.383706 Częstość kołowa drgań φ −0.008590 Przesunięcie fazowe

Wykresy

Parametry były dopasowywane na podstawie zależności prędkości od czasu, która wynikała

z danych wejściowych. Poniższy wykres przedstawia zależność prędkości od czasu wynikającą z

danych na temat energii kinetycznej, oraz z wyznaczonych parametrów.

Poniższy wykres przedstawia energię kinetyczną oraz potencjalną w czasie, według danych wejściowych oraz ze wzoru, z którego można było skorzystać dzięki wyznaczonym parametrom.

Ostatni wykres przedstawia zależnośc wychylenia od czasu, wyznaczaną różnymi metodami.

Grzegorz Graczyk i Paweł Tarasiuk 4 / 5

Podsumowanie

Pomimo bardzo dużego szumu na danych wejściowych, widocznego na wykresie energii od czasu, możliwe było zbadanie parametrów badanego ruchu harmonicznego. Wykres energii od czasu sprawia wrażenie dopasowanego najmniej dokładnie. Jest to jednak spowodowane przede wszystkim absurdalnymi, ujemnymi wartościami energii kinetycznej, z których wynikają energie potencjalne przekraczające energię całkowitą. Ta absurdalna sytuacja wynika po prostu z da- nych wejściowych. Pozostałe wykresy wskazują na adekwatność wyznaczonych parametrów do danych wejściowych.

Ważnym sposrzeżeniem jest to, że całkowanie numeryczne powoduje znoszenie się szumu.

Jakkolwiek statystyczna redukcja szumu skutkuje eleganckim kształtem krzywej uzyskanej jako

wynik całkowania, skupiające się w jednym miejscu przeszacowania prędkości powodują, że od

pewnego momentu znajduje się ona powyżej wzorcowej sinusoidy.