rachunek prawdopodobieństwa matematyka zawodowa III rok lista 16

rachunek prawdopodobieństwa matematyka zawodowa III rok

lista 16

1. Podać przykład ciągu zmiennych losowych określonych na tej samej przestrzeni Ω, zbieżnego według rozkładu, który nie jest zbieżny według prawdopodobieństwa.

2. Wykazać, że jeśli X, X 1 , X 2 , . . . są zmiennymi losowymi, t.że X n

−→ X, gdzie P (X = c) = 1, D c ∈ R, to X n

−→ c. P

3. Udowodnić, że jeśli X n

−→ X, a, b ∈ R, to aX D n + b −→ aX + b. ^D

4. Niech µ, µ 1 , µ 2 , . . . będą miarami skupionymi na zbiorze liczb całkowitych nieujemnych. Wykazać, że µ _n −→ µ ⇐⇒ ∀ ^s k∈N ∪{0} µ _n ({k}) −→ µ({k})

5. Udowodnić, że jeśli X _n −→ X, Y ^D _n −→ 0, ^D to X _n + Y _n −→ X. ^D 6. Udowodnić, że jeśli X n

−→ X, Y D n

−→ c, D to X n + Y n

−→ X + c. D

7. Podać przykład zmiennych losowych X _n , Y _n , X, Y t.że X _n −→ X ^D oraz Y _n −→ Y, ^D ale nieprawda, że X n + Y n

−→ X + Y. D

8. Udowodnić, że jeśli X n

−→ X, Y D n

−→ 0, D to X n Y n

−→ 0. D

9. Udowodnić, że jeśli X n

−→ X, Y D n

−→ a, D to X n + Y n

−→ aX. D

10. (owad i mrówki) Owad składa jaja zgodnie z rozkładem Poissona z parametrem a. W nocy mrówki kradną mu jaja: szansa, że dane jajo zostanie ukradzione, wynosi q. Następnego dnia historia się powtarza (liczba złożonych jaj ma ten sam rozkład, co poprzedniego dnia i jest niezależna od przeszłości), itd. Jaki jest rozkład graniczny liczby jaj ocalonych przed mrówkami?

11. Niech X _n −→ X, ^D lim

n→∞ a _n = a, a - punkt ciągłości dystrybuanty F _X . Udowodnić, że lim _n F _X

(a _n ) = F (a).

12. Niech (X _n ) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie U [0, 1] oraz Y _n = n · min(X ₁ , . . . , X _n ).

Czy istnieje taka zmienna losowa Y , że Y n

−→ Y ? D