Rachunek prawdopodobieństwa 4. Rodzaje zbieżności zmiennych losowych - zadania do samodzielnego rozwiązania

Rachunek prawdopodobieństwa

4. Rodzaje zbieżności zmiennych losowych - zadania do samodzielnego rozwiązania

Zad. 4.1 Dla każdego n zmienna losowa X_nprzyjmuje wartości n^α/2i 0 z prawdopodobieństwami odpowiednio 1/n i 1 − 1/n, gdzie α > 1. Wykaż, że X_n zbiega do 0 według prawdopodo- bieństwa, a nie zbiega do 0 w przestrzeni L².

Zad. 4.2 Dla każdego n zmienna losowa X_n przyjmuje wartości 1/n i (−1/n), obie z prawdo- podobieństwem równym ¹₂. Zbadaj zbieżność ciągu {X_n}_n∈N według prawdopodobieństwa, prawie wszędzie i w przestrzeni L^p, p > 0.

Zad. 4.3 Zbadaj zbieżność według prawdopodobieństwa, prawie wszędzie, w L¹i L²ciągu {X_n}_n∈N, gdzie X_n ma rozkład jednostajny na przedziale (1 − 1/n, 1 + 1/n).

Zad. 4.4 Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale (0, 1). Definiujemy:

Yn = n²³1I_[0,1/n](X).

Zbadaj zbieżność ciągu {Y_n}_n∈N według prawdopodobieństwa, prawie wszędzie i w L¹.