δ i laplasjan, formy harmoniczne H = L Hk 4) Rozk lad Hodge’a form r´o˙zniczkowych 5) Izomorfizm Hk ' Hk(M ) 6) R´ownanie ciep la

Topologia rozmaito´sci zespolonych 1. Kohomologie de Rhama i dualno´s´c Poincar´e

1) Przypomnienie kohomologii de Rhama

 interpretacja r´o˙zniczki w cia_,gu dok ladnym pary

 relatywna dualno´s´c Poincar´e

 izomorfizm Thoma

 operacja pchnie_,cia klasy kohomologii za pomoca_, odwzorowania w la´sciwego,

 klasa kohomologii wyznaczona przez podrozmaito´s´c

2) Rozmaito´sci zespolone wymiaru jeden, czyli krzywe zespolone

 zespolone formy r´o˙zniczkowe dz, d¯z i operatory r´o˙zniczkowe _∂z^∂ , _{∂ ¯}^∂_z

 warunek holomorficzno´sci

 twierdzenie o residuach

3) Residuum formy z biegunem pierwszego rze_,du na podrozmaito´sci

 cia_,g dok ladny pary dla podrozmaito´sci: interpretacja z pomoca_, residuum.

2. Teoria Hodge’a dla rozmaito´sci Riemannowskich

1) Gwiazdka Hodge’a dla przestrzeni wektorowej z iloczynem skalarnym, 2) Iloczyn skalarny w przestrzeni form r´o˙zniczkowych i * Hodge’a

3) Operator d^∗ = δ i laplasjan, formy harmoniczne H = L H^k 4) Rozk lad Hodge’a form r´o˙zniczkowych

5) Izomorfizm H^k ' H^k(M ) 6) R´ownanie ciep la:

 ewolucja w obre_,bie klasy kohomologii,

 da_,˙zenie do harmonicznego reprezentanta.

7) Formy zespolone na rozmaito´sciach zespolonych

 formy typu (p, q), r´o˙zniczki ∂ i ¯∂ 3. Hermitowska algebra liniowa 1) Formy C-liniowe i antyliniowe

2) Formy antysymetryczne typu (p, q) jako przestrzenie w lasne struktury zespolonej 3) Iloczyn hermitowski

 forma symplektyczna ω

4) Operator Lefschetza L = ω∧ i rozk lad Lefschetza dla V W_C^∗ 5) Operator sprze_,˙zony Λ = L^∗ = ± ∗ L∗.

6) Operator H i relacje [H, L] = 2L, [H, Λ] = −2Λ, [L, Λ] = H

 przestrze´n V W_C^∗ jako reprezentacja sl₂(Z).

4. Reprezentacje sl₂, relacje Hodge’a-Riemanna 1) Reprezentacje Sk = Sym^k(R²)

2) Ka˙zda_, reprezentacje_, mo˙zna roz lo˙zy´c na sume_, reprezentacji S_k 3) Zwia_,zek pomie_,dzy ∗L^jα a L^n−k−jα dla α ∈ P^p,q ⊂ Λ^kW_C^∗.

4) Okre´slono´s´c formy Hodge’a Riemanna na podprzestrzeniach prymitywnych P^p,q ⊂ Λ^∗W_C^∗.

5) Kompleks i kohomologie Dolbeault.

6) Rozk lad Hodge’a dla δ i δ.

5. Rozmaito´sci k¨ahlerowskie

1) Przyk lady i kontrprzyk lady: rozmaito´s´c Hopfa i Iwasawy 2) P lasko´s´c metryki z dok ladno´s´cia_, do O(2)

3) Relacje Hodge’a

4) Trudne twierdzenie Lefschetza 6. Rozk lad Hodge’a kohomologii 1) Symetrie w diamencie Hodge’a 2) ∂∂–Lemat

3) Filtracja Hodge’a w kohomologiach nie zale˙zy od struktury K¨ahlerowskiej

4) Podprzestrzenie H^pq = F^p∩ F^q ⊂ H^p+q(X) nie zale˙za_, od struktury K¨ahlerowskiej 5) Abstrakcyjna struktura Hodge’a wagi k i jej polaryzacja.

7. Formalno´s´c i inne uzupe lnienia

1) Niezale˙zno´s´c podprzestrzeni H^pq ⊂ H^p+q(X; C) od wyboru metryki K¨ahlera 2) Wymierna teoria homotopii

3) d d^c-Lemat

4) Formalno´s´c rozmaito´sci K¨ahlerowskich 5) Produkty Masseya

6) Rozmaito´s´c Iwasawy nie jest formalna

7) Hipoteza Hodge’a i standardowe hipotezy Grothendiecka 8. Cia_,gi spektralne

1) Cia_,g spektralny kompleksu z filtracja_, i gradacja_, 2) Cia_,g spektralny rozw l´oknienia

3) Degeneracja cia_,gu spektralnego dla rozw l´oknienia K¨ahlerowskiego na E2

4) Cia_,g spektralny bikompleksu, cia_,g Frolichera dla rozmaito´sci zespolonej

 degeneracja na E1 dla rozmaito´sci K¨ahlerowskiej 9. Filtracja wagowa

1) Wnioski z degeneracji cia_,gu spektralnego rozw l´oknienia

2) Kohomologie rozmaito´sci otwartej, kt´ora_, mo˙zna uzwarci´c g ladkim brzegiem

 pierwsza cze_,´s´c WkH^k(X) to obraz kohomologii uzwarcenia

 niezale˙zno´s´c W_kH^k(X) od uzwarcenia 3) Kompleks form z logarytmicznymi biegunami

4) Cia_,g spektralny definiuja_,cy filtracje_, wagowa_, E₂^−p,q = H^q−2p(D_[p]) ⇒ H^q−p(X).

10. Latwe twierdzenie Lefschetza 1) Formalne w lasno´sci filtracji wagowej

 wirtualne wielomiany Poincar´e PX(t) =P

`

P

k(−1)<sup>k−`</sup>dim Gr<sub>`</sub>^WH_c^k(X) 2) Teoria Morse’a dla rzeczywistych rozmaito´sci g ladkich

3) punkty krytyczne funkcji L_p(q) = kq − pk²

4) Indeksy punkt´ow krytycznych funkcji Lp na rozmaito´sci zespolonej w Cⁿ

5) Afiniczna rozmaito´s´c algebraiczna ma typ homotopijny kompleksu wymiaru dimC(M ) 11. Pe_,k Lefschetza lokalnie

1) Dualno´s´c rzutowa liniowa i rozmaito´s´c dualna 2) Pe_,k Lefschetza (warunki transwersalno´sci) 3) Rozw l´oknienie Milnora

4) Analiza rozw loknienia Milnora dla niezdegenerowanego punktu krytycznego

 monodromia i cia_,g Wanga

 por´ownanie z kohomologiami linku osobliwo´sci poprzez dualno´s´c Alexandera.

12. Pe_,k Lefschetza globalnie

f

Y × P¹ = Ye ⊂ Xe −→ P¹ = D₊∪ D₋

↓ ↓

Y ⊂ X

1) Generatory H_n( eX₊, eX_b) ←→ punkty krytyczne f ( eX_b = f⁻¹(pt) ' X_b = X ∩ H_b, n = dim(X) ) 2) Izomorfizm H_n−1( eX₊) → H_n−1(X)

3) Cykle znikaja_,ce V = ker(i_∗ : H_n−1(X_b) → H_n−1(X)) sa_, generowane przez sfery δ_i pochodza_,ce od punkt´ow krytycznych f

4) Cykle niezmiennicze I = im(i^∗ : H_n+1(X) → H_n−1(X_b))

5) Trudne Twierdzenie Lefschetza jest r´ownowa˙zne rozk ladowi na sume_, prosta_, Hn−1(Xb) = V ⊕ I

6) Teoria Picarda-Lefschetza: dzia lanie generator´ow π = π₁(P¹− sing(f )) na cyklach δ_i 7) H_n−1(X_b) jest p´o lprostym π-modu lem.

13. Twierdzenie Riemanna-Rocha-Hirzebrucha

1) Klasy Cherna sa_, typu Hodge’a (tzn ci ∈ H^i,i(X) ∩ H²ⁱ(X; Z)) 2) Charakter Cherna

3) Genus Todda

4) Formu la Riemanna-Rocha-Hirzebrucha

 szczeg´olna posta´c dla wia_,zek liniowych na krzywych i powierzchniach

5) χ_y-genus

 specjalizacja dla y = 0, ±1

14. Twierdzenie Kodairy, twierdzenia o dodatno´sci klas Cherna 1) Teoria Hodge’a dla wia_,zek holomorficznych

 rozk lad Hodge’a

 dualno´s´c Serre’a

2) Koneksja Cherna i krzywizna wia_,zek holomorficznych

 zgodno´s´c ze struktura_, holomorficzna_, i z iloczynem hermitowskim

3) Twierdzienie Kodairy o znikaniu H^q(X; L ⊗ Ω^p) dla liniowych wia_,zek dodatnich 4) Dodatnie wia_,zki wy˙zszej rangi

 twierdzenia od dodatnio´sci pewnych wielomian´ow od klas Cherna (Bloch-Gieseker, Fulton-Lazersfeld)