GAL z F 2018
http://www.mimuw.edu.pl/∼aweber/zadania/gal2018gw/
Wersja 8.6.2018
1 Zadania kategoryjne
Definicja produktu
Kategoryjna definijcja produktu: Je´sli V wraz z przekszta lceniami π1, π2spe lnia warunek dla dowolnej przestrzeni U oraz przekszta lce´n φi, φj istnieje dok:ladnie jedno przekszta lcenie φ, takie, ˙ze φi= πiφ dla i = 1, 2
P
V1 V2
Z
π2
π1
__
∀φ1
??
∀φ2
OO
∃! φ
wtedy V ' V1× V2.
Definicja (zewne,trznej) sumy prostej (koproduktu):
S
V1 V2
Z
∃! φ
??ι1
∀φ1
__ ι2 ∀φ2
Dane obiekty Ai dla i ∈ I.
(Ko)produkt rodziny obiekt´ow
• Obiekt S wraz z odwzorowaniami ιi : Ai → S nazywamy koproduktem rodziny {Ai}i∈I gdy dla dowolnego obiektu C oraz morfizm´ow fi: Ai→ C istnieje dok ladnie jeden morfizm f : S → C taki, ˙ze fi = f ιi dla ka˙zdego i ∈ I.
• Obiekt P wraz z odwzorowaniami πi : P → Ai nazywamy produktem rodziny {Ai}i∈I gdy dla dowolnego obiektu C oraz morfizm´ow fi : C → Ai istnieje dok ladnie jeden morfizm f : C → P taki, ˙ze fi = πif dla ka˙zdego i ∈ I.
Produkty i koprodukty sko´nczonych rodzin sa,izomorficzne w kategorii przestrzeni wektorowych.
Produkty i koprodukty niesko´nczonych rodzin naog´ol nie sa,izomorficzne w kategorii przestrzeni wektorowych.
Obiekt pocza,tkowy P to taki obiekt w kategorii C, ˙ze dla ka˙zdego obiektu A zbi´or morfizm´ow M orC(P, A) jest jednoelementowy.
Obiekt ko´ncowy K to taki obiekt w kategorii C, ˙ze dla ka˙zdego obiektu A zbi´or morfizm´ow M orC(A, K) jest jednoelementowy.
Ja,dro r´o ˙znicowe (uog´olnienie definicji ja,dra): Dane dwa przekszta lcenia f, g : V → W . Ja,dro r´o˙znicowe to taki morfizm ι : K → V spe lniaja,cy f ι = gι oraz maja,cy w lasno´s´c uniwersalna,: dla ka˙zdego morfizmu h : Z → W tahiego, ˙ze f h = gh istnieje dok ladnie jeden morfizm h0: Z → K taki, ˙ze h = ιh0.
1.1. Sformu lowa´c definicje, koja,dra r´o˙znicowego i udowodni´c, ˙ze koja,dra istnieja,w kategorii przestrzeni wek- torowych i w kategorii zbior´ow.
1.2. Powiemy, ˙ze obiekty X, Y w kategorii C sa, izomorficzne je´sli istnieja, morfizmy f : X −→ Y oraz g : Y −→ X takie, ˙ze gf = idX oraz f g = idY.
(a) Udowodni´c, ˙ze je´sli w kategorii mamy dwa obiekty pocza,tkowe, to sa,one izomorficzne.
(b) Udowodni´c, ˙ze je´sli w kategorii mamy dwa obiekty ko´ncowe, to sa,one izomorficzne.
1.3. Pokaza´c, ˙ze je´sli w kategorii C istnieje obiekt pocza,tkowy i pushouty, to istnieja,te˙z koprodukty.
1.4. Pokaza´c, ˙ze je´sli w kategorii C istnieja,koprodukty i koja,dra r´o˙znicowe, to isnieja,te˙z pushouty.
1.5. Pokaza´c, ˙ze je´sli w kategorii C istnieja,produkty i pullbacki, to istnieja,te˙z ja,dra r´o˙znicowe.
1.6. (?) Pokaza´c, ˙ze je´sli w kategorii C istnieja,koja,dra r´o˙znicowe i pullbacki, to istnieja,te˙z ja,dra r´o˙znicowe.
2 O przestrzeniach ilorazowych
2.1. Niech W ⊂ V . Wyznaczy´c wszystkie warstwy W w V (tzn elementy przestrzeni ilorazowej) V /W dla V = Z32, W = {(0, 0, 0), (1, 1, 1)}.
2.2. Niech P be,dzie przestrzenia, funkcji wielomianowych z R do R. Okre´slamy W = {p ∈ P : p(0) = p(1)}
oraz V = {p ∈ P : p(0) = p(1) = 0}. Pokaza´c, ˙ze P/W ' R oraz P/V ' R2. 2.3. Niech W ⊂ V . Wykaza´c, ˙ze wszystkie warstwy W w V sa,r´ownoliczne.
2.4. Uzupe lni´c szczeg´o ly dowodu stwierdzenia: Niech A ⊂ R be,dzie zbiorem domknie,tym oraz niech C(A) oznacza zbi´or funkcji cia,g lych na A. Wtedy C(A) ' C(R)/I(A), gdzie I(A) = {f ∈ C(R) | ∀x ∈ A , f (x) = 0}.
2.5. Niech A z powy˙zszego zadania,be,dzie zbiorem 2-elementowym, A = {x, y}. Wykaza´c, ˙ze ka˙zda warstwa C(R) wzgle,dem podprzestrzeni I(A) jest postaci
Xa,b= {f ∈ C(R) : f (x) = a, f (y) = b}
dla pewnych a, b ∈ R
2.6. Niech V be,dzie przestrzenia, liniowa,, oraz niech W ⊆ V oraz U ⊆ W . Pokaza´c, ˙ze W/U uto˙zsamia´c mo˙zna z podprzestrzenia,przestrzeni V /U oraz wskaza´c izomorfizm przestrzeni (V /U )/(W/U ) oraz V /W .
3 Endomorfizmy
Wieloman charakterystyczny. Wektory i warto´sci w lasne.
3.1. Znale´z´c warto´sci w lasne macierzy A, B ∈ Mn×n(R) postaci:
A =
1 1 . . . 1 1 1 . . . 1 ... ... . .. ...
1 1 . . . 1
, B =
a b . . . b b a . . . b ... ... . .. ...
b b . . . a
.
3.2. Niech vT = (v1, . . . , vn) ∈ Rn oraz niech A = v · vT ∈ Mn×n(R). Znale´z´c wszystkie wektory w lasne macierzy A + λI, gdzie λ ∈ R.
3.3. Zbi´or macierzy kwadratowych {A1, . . . , Ak} nad cia lem K tworzy grupe,ze wzgle,du na operacje,mno˙zenia.
Niech M = A1+ . . . + Ak. Pokaza´c, ˙ze M ma co najwy˙zej dwie warto´sci w lasne.
3.4. Udowodni´c, ˙ze je˙zeli przekszta lcenie liniowe f : V −→ V przestrzeni liniowej nad K ma n = dim V r´o˙znych warto´sci w lasnych i dla h : V −→ V zachodzi f h = hf , to istnieje baza V z lo˙zona z wektor´ow w lasnych h.
3.5. Niech V be,dzie przestrzenia, liniowa, nad cia lem charakterystyki 0. Pokaza´c, ˙ze je´sli φ : V → V jest endomorfizmem i tr φ = 0, to istnieje baza A, w kt´orej macierz φ ma wy la,cznie zera na przeka,tnej.
3.6. Pokaza´c, ˙ze je´sli A jest macierza,kwadratowa,nad cia lem F oraz p ∈ F[x] jest wielomianem, to je´sli γ jest warto´scia, w lasna, macierzy A, w´owczas p(γ) jest warto´scia, w lasna, macierzy p(A). Czy ka˙zda warto´s´c w lasna macierzy p(A) jest postaci p(λ), dla pewnej warto´sci w lasnej λ macierzy A?
3.7. Niech 0 6= α ∈ R oraz niech n > 0. Przypu´s´cmy, ˙ze pewne f, g ∈ Hom(Rn, Rn) spe lniaja, r´owno´s´c f g − gf = α · f . Pokaza´c, ˙ze dla wszystkich k ≥ 1 mamy fkg − gfk = αk · fk. Pokaza´c te˙z, ˙ze istnieje k ≥ 1 takie, ˙ze fk jest przekszta lceniem zerowym (czyli f jest nilpotentne).
3.8. Wykaza´c r´owno´s´c wielomian´ow charakterystycznych Wφψ= Wψφ dla dowolnych φ, ψ ∈ End(V ).
3.9. Niech A ∈ Mn×n(K), B ∈ Mm×m(K), C ∈ Mn×m(K), przy czym rza,d rank C = r. Pokaza´c, ˙ze je˙zeli A · C = C · B ∈ Mn×m, to wielomiany charakterystyczne macierzy A i B maja wsp´olny dzielnik stopnia r.
3.10. Niech f : V → V be,dzie izomorfizmem przestrzeni n–wymiarowej. Wyrazi´c wielomian charakterystyczny Wf−1 w terminach wielomianu Wf.
Podprzestrzenie niezmiennicze
3.11. Niech f, h ∈ Hom(V, V ). Niech f h = hf Pokaza´c, ˙ze ja,dro ker(f ) jest podprzestrzenia, niezmiennicza, endomorfizmu h.
3.12. Pokaza´c, ˙ze ker fk i im fk sa,niezmienniczymi podprzestrzeniami dowolnego endomorfizmu f : V → V . 3.13. Niech f be,dzie endomorfizmem R4, zadanym wzorem f (x1, x2, x3, x4) = (x2 + x3, x3, 0, 0). Znale´z´c warto´sci w lasne i odpowiadaja,ce im wektory w lasne. Czy istnieja, f niezmiennicze podprzestrzenie dwuwymi- arowe W, Y ⊆ R4, dla kt´orych R4 = W ⊕ Y ?
3.14. Niech V be,dzie przestrzenia, przestrzenia, linowa, wielomian´ow o wsp´o lczynnikach w ciele K. Niech φ : V −→ V be,dzie r´o˙zniczkowaniem. Dla przekszta lcenia φ znale´z´c:
a) podprzestrzenie niezmiennicze b) warto´sci w lasne
c) wektory w lasne Diagonalizowalno´s´c
3.15. Niech X be,dzie sko´nczonym niepustym zbiorem, a A ⊆ X ustalonym podzbiorem. Zbi´or P(X) = ZX2
wszystkich podzbiorow jest przestrzenia, liniowa, nad Z2. Niech f : P(X) → P(X) be,dzie endomorfizmem f (Y ) = A ∩ Y . Znale˙z´c warto´sci w lasne i odpowiadaja,ce im podprzestrzenie w lasne. Czy endomorfizm f jest diagonalizowalny?
3.16. Znale´z´c wielomian charakterystyczny i zbada´c diagonalizowalno´s´c macierzy:
0 0 0 ... 0 −a0 1 0 0 ... 0 −a1 0 1 0 ... 0 −a2 . . . . 0 0 0 ... 1 −an−1
(Taka macierz nazywa sie,cykliczna,.)
3.17. Niech endomorfizm f : Cn→ Cn be,dzie dany wzorem
f (x1, x2, . . . , xn) = (xn, x1, . . . , xn−1)
. Wykaza´c, ˙ze f jest diagonalizowalny i znale´z´c baze,z lo˙zona,z wektor´ow w lasnych.
3.18. Udowodni´c, ˙ze macierz rozmiaru n × n postaci A = {aij}i,j=1...n, gdzie aij = (j − i) mod n
jest diagonalizowalna nad C.
3.19. Wykaza´c, ˙ze je´sli φ : V → V jest przekszta lceniem liniowym sko´nczenie wymiarowej przestrzeni liniowej nad C takim, ˙ze φn= id dla pewnego n ∈ N, to φ jest przekszta lceniem diagonalizowalnym. Czy stwierdzenie to jest prawdziwe dla przestrzeni nad cia lem liczb rzeczywistych? Czy stwierdzenie to jest prawdziwe dla przestrzeni nad dowolnym cia lem algebraicznie domknie,tym?
3.20. Niech f : R3 −→ R3 i g : C3 −→ C3 be,da, przekszta lceniami liniowymi, kt´ore w bazach standardowych maja,macierz:
A =
0 −1 1
1 1 0
−1 0 1
Zbada´c, czy istnieja,bazy R3 i C3 odpowiednio, w kt´orych przekszta lcenia f i g maja,macierz diagonalna,. 3.21. Zbada´c diagonalizowalno´s´c (nad R i C) macierzy
1 0 2 −1
0 1 4 −2
2 −1 0 1
2 −1 −1 2
4 Rozk lad Jordana
(Troche,zada´n rachunkowych,§.)
4.1. Znale´z´c bazy w Cn w kt´orych przekszta lcenie liniowe f : Cn −→ Cn ma forme, Jordana (i wskaza´c te, forme,) je˙zeli w bazie standardowej e1, ..en przekszta lcenie ma macierz:
a)
3 2 −3
4 10 −12
3 6 −7
b)
0 1 −1 1
−1 2 −1 1
−1 1 1 0
−1 1 0 1
c)
6 −9 5 4
7 −13 8 7
8 −17 11 8
1 −2 1 3
4.2. Niech f : V −→ V be,dzie przekszta lceniem liniowym przestrzeni liniowej nad C, kt´ore w pewnej bazie α1, α2, α3 ma macierz:
(i) A =
i i 0 0 i 0 0 1 i
(ii) A =
i i 0 0 i 0 0 1 1
a) Znale´z´c baze,, w kt´orej macierz ta ma forme,Jordana.
b) Znale´z´c wszystkie podprzestrzenie W ⊆ V niezmiennicze wzgle,dem f .
4.3. Macierze A i B poni˙zej, maja,taki sam wielomian charakterystyczny. Ustali´c, czy sa,podobne znajduja,c posta´c Jordana dla ka˙zdej z nich.
A =
6 2 −2
−2 2 2
2 2 2
B =
6 2 2
−2 2 0 0 0 2
.
4.4. Obliczy´c A2013, gdzie A =
2 1 1 1
−1 0 1 0
0 0 2 2
0 0 1 3
lub A =
2 1 1 2
−1 0 1 2
0 0 2 2
0 0 1 3
. Wynik poda´c w postaci C D C−1
4.5. Znale´z´c forme,Jordana macierzy nad C:
a)
1 1 1 ... 1 0 1 1 ... 1 0 0 1 ... 1 . . . . 0 0 0 ... 1
b)
α 0 1 0 ... 0 0 0 α 0 1 ... 0 0 0 0 α 0 ... 0 0 . . . . 0 0 0 0 ... α 0 0 0 0 0 ... 0 α
c)
0 0 0 0 . . . 0 a0
1 0 0 0 . . . 0 a1 0 1 0 0 . . . 0 a3 . . . . 0 0 0 0 . . . 1 an
.
4.6. Za l´o˙zmy, ˙ze char(K) 6= 3. Niech φ : K4 → K4 be,dzie przekszta lceniem zadanym w bazie standardowej przez macierz
3 4 0 2
−1 −1 1 0
0 0 3 2
0 0 1 2
.
Znale´z´c baze,Jordana dla φ.
4.7. Niech φ : K5 → K5 be,dzie przekszta lceniem zadanym w bazie standardowej przez macierz
−2 1 1 0 0
1 2 −1 0 0
−2 2 1 0 0
−6 −6 5 −1 1
−2 2 2 0 −1
Znale´z´c baze,Jordana dla φ. Odpowied´z uzale˙zni´c od charakterystyki cia la.
4.8. Dane jest przekszta lcenie φ : K7 → K7. Wiemy, ˙ze warto´sci w lasne φ to 1 i 2. Ponadto wiemy, ˙ze 1) dim(ker(φ − Id)) = 2, dim(ker((φ − Id)2)) = 4,
2) dim(ker(φ − 2Id)) = 1, dim(ker((φ − 2Id)2)) = 2.
Jakiej postaci Jordana mo˙ze by´c macierz φ?
4.9. Korzystaja,c z formy Jordana, pokaza´c, ˙ze ka˙zda macierz nad C jest produktem dw´och macierzy symetrycz- nych.
4.10. Niech f : V → V i niech W ⊂ V be,dzie podprzestrzenia, cykliczna,. Czy zawsze istnieje U ⊂ V niezmiennicza, taka ˙ze W ⊕ U = V ?
4.11. Niech f : V −→ V be,dzie przekszta lceniem liniowym sko´nczenie wymiarowej przestrzeni liniowej nad K. Pokaza´c, ˙ze istnieja, niezmiennicze podprzestrzenie W i U , takie ˙ze f|W : W → W jest przekszta lceniem nilpotentnym, a f|U : U → U izomorfizmem, V = U ⊕ W . Pokaza´c, ˙ze przestrzenie W i U sa, wyznaczone jednoznacznie.
4.12. Niech f : V → V be,dzie przekszta lceniem, kt´orego macierz Jordana sk lada sie,z klatek odpowiadaja,cym r´o˙znym warto´sciom w lasnym. Pokaza´c, ˙ze istnieje baza, w kt´orej macierz tego przekszta lcenia jest cykliczna, tzn jak w zad. 3.16.
4.13. Niech K = R lub C. Pokaza´c, ˙ze ka˙zda macierz jest podobna do swojej transponowanej.
4.14. Pokaza´c, ˙ze je˙zeli jedyna,warto´scia,w lasna,macierzy A nad C jest 1, to dla ka˙zdego k ∈ N, k > 0 macierz Ak jest podobna do macierzy A.
4.15. Wielomian charakterystyczny macierzy A nad R jest r´owny (λ − 5)5(λ − 1)2, dim ker(A − 5I) = 2, dim ker(A − 5I)2= 4, ker(A − I) ∩ im(A − I) 6= {0}. Znale´z´c forme,Jordana. Uzasadni´c starannie odpowied´z.
4.16. Rozpatrzmy endomorfizm φ : V → V przestrzeni liniowej V nad cia lem K.
(a) Niech W ⊂ V be,dzie podprzestrzenia,φ – niezmiennicza,i niech α1, . . . , αk be,da,wektorami w lasnymi endo- morfizmu φ o parami r´o˙znych warto´sciach w lasnych. Wykaza´c, ˙ze je´sli zachodzi α1+ · · · + αk ∈ W , to αi ∈ W dla i = 1, ..., k.
(b) Wykaza´c, ˙ze je´sli V jest sko´nczenie wymiarowa i K jest cia lem algebraicznie domknie,tym, to: endomorfizm φ jest diagonalizowalny ⇐⇒ (∗) dla ka˙zdej podprzestrzeni φ -niezmienniczej W ⊂ V istnieje podprzestrze´n φ –niezmiennicza W0⊂ V taka, ˙ze V = W ⊕ W0.
4.17. Niech V be,dzie przestrzenia, wektorowa, nad cia lem K. Za l´o˙zmy, ˙ze char K = 0 lub char K > dim V . Dany operator A dzia laja,cy na V . Pokaza´c, ˙ze je´sli tr(Ak) = 0 dla k = 1, 2, . . . dim V , to A jest nilpotentny.
4.18. Niech V be,dzie przestrzenia, sko´nczonego wymiaru nad R i niech A : V → V be,dzie endomorfizmem, takim, ˙ze A2 = −Id. Udowodni´c, ˙ze wymiar V jest podzielny przez 2.
4.19. Niech V be,dzie przestrzenia, sko´nczonego wymiaru nad Q i niech A : V → V be,dzie endomorfizmem, takim, ˙ze A5 = Id. Za l´o˙zmy, ˙ze 1 nie jest warto´scia,w lasna,. Udowodni´c, ˙ze wymiar V jest podzielny przez 4.
4.20. Znale´z´c wielomian minimalny macierzy A oraz poda´c przyk lad wielomianu p ∈ K[t] takiego, ˙ze p(A) jest macierza,diagonalizowalna,, a A − p(A) jest macierza,nilpotentna,, gdzie
A =
2 2 2 0 0 0 0 0 0 0
0 2 2 0 0 0 0 0 0 0
0 0 2 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 2 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
4.21. Niech V , dim V > 1, be,dzie przestrzenia, liniowa, nad R, dla kt´orej okre´sclone jest dzia lanie mno˙zenia
• : V ×V → V , kt´ore wraz z dodawaniem wektor´ow spe lnia aksjomaty cia la z wyja,tkiem aksjomatu przemienno´sci mno˙zenia. Wykaza´c, ˙ze dim V jest parzysty.
4.22. Niech Jγ,n∈ Mn×n(K) be,dzie klatka,Jordana rozmiar´ow n × n o warto´sci w lasnej γ ∈ K. Przekszta lcenie liniowe f : Kn → Kn dane jest wzorem f (v) = Jγ,nv, dla v ∈ Kn. Wyznaczy´c wszystkie podprzestrzenie f -niezmiennicze w Kn.
4.23. Niech φ : K8 → K8 be,dzie przekszta lceniem zadanym w bazie standardowej przez macierz:
A =
3 −1 2 −1 −1 1 0 −1
1 1 2 −1 −1 1 0 −1
0 0 3 0 0 0 0 −1
0 0 2 1 −1 1 0 −1
0 0 2 0 1 0 0 −1
0 0 2 −1 −1 3 0 −1
0 0 1 0 0 0 2 −1
0 0 0 0 0 0 1 1
Znale´z´c wielomian minimalny oraz wyznaczy´c baze,Jordana dla φ.
5 Przestrzenie afiniczne
5.1. Udowodni´c za aksjomat´ow przestrzeni afinicznej, ˙ze je´sli Pn
i=1ai = 0 to dla dowolnych punkt´ow p1, p2, . . . , pn przestrzeni afinicznej E wektorPn
i=1aiω(q, pi) nie zale˙zy od wyboru punktu q.
Oznaczenie: prosta,przechodza,ca,przez punkty p.q ∈ E oznaczamy przez L(p, q).
5.2. Niech E be,dzie przestrzenia,afiniczna,, a A ⊂ E jej podzbiorem. Za l´o˙zmy, ˙ze dla dowolnej pary punkt´ow p, q ∈ A prosta L(p, q) ⊂ A. Czy A jest podprzestrzenia,afiniczna,?
5.3. Sformu lowa´c i udowodni´c twierdzenie Talesa w przestrzeni afinicznej nad cia lem K.
5.4. M´owimy, ˙ze p, q, r, s ∈ E jest r´owoneleg lobokiem gdy ω(p, q) = −ω(r, s). Udowodni´c, ˙ze je´sli char(K) 6= 2, to 12p +12r = 12q + 12s.
5.5. Twierdzenie Menelaosa. Dane sze´s´c r´o˙znych punkt´ow a, b, c, p, q i r w przestrzeni afinicznej nad K.
Przypu´s´cmy, ˙ze punkty p, q i r le˙za,odpowiednio na prostych L(b, c), L(c, a) i L(a, b):
p = λb + (1 − λ)c q = µc + (1 − µ)a r = νa + (1 − ν)b
dla λ, µ, ν ∈ K. Udowodni´c, ˙ze p, q, r sa,wsp´o lliniowe wtedy i tylko wtedy gdy λµν = (λ − 1)(µ − 1)(ν − 1).
5.6. Dane sze´s´c r´o˙znych punkt´ow a, b, c, p, q i r w przestrzeni afinicznej nad K. Przypu´s´cmy, ˙ze punkty p, q i r le˙za,odpowiednio na prostych L(b, c), L(c, a) i L(a, b):
p = λb + (1 − λ)c , q = µc + (1 − µ)a , r = νa + (1 − ν)b .
Za l´o˙zmy, ˙ze ˙zadne dwie proste wyste,puja,ce w zadaniu nie sa,r´ownoleg le. Znale´z´c warunek dla λ, µ, ν ∈ K na to, by proste L(a, p), L(b, q) i L(c, r) przecina ly sie,w jednym punkcie. Wsk: Twierdzenie Cevy.
5.7. Niech E1 = p + V1, E2 = q + V2 be,da,podprzestrzeniami przestrzeni afinicznej E. Udowodni´c, ˙ze:
a) E1∩ E26= ∅ ⇐⇒ ω(p, q) ∈ V1+ V2
b) je´sli E1∩ E26= ∅ to dim < E1∪ E2 >= dim E1+ dim E2− dim E1∩ E2 c) je´sli E1∩ E2 = ∅, to dim < E1∪ E2>= dim E1+ dim E2− dim V1∩ V2+ 1.
5.8. Niech E1, E2 be,da, dwiema podprzestrzeniami afinicznymi w przestrzeni afinicznej E nad cia lem K.
Niech < E1∪ E2 >= E, E1∩ E2 = ∅ i niech λ ∈ K, λ 6= 0, 1 be,dzie ustalonym elementem. Znale´z´c miejsce geometryczne element´ow λx + (1 − λ)y, gdzie x i y przebiegaja,E1i E2 odpowiednio. (Czy to jest podprzestrze´n afiniczna, a je´sli tak, to jak ja,opisa´c?)
5.9. Niech E1 = p + V1, E2 = q + V2 be,da,dwiema sko´snymi podprzestrzeniami w przestrzeni afinicznej (tzn V1∩ V2 = {0} i E1 ∩ E2 = ∅). Pokaza´c, ˙ze dla ka˙zdego punktu x /∈ E1∪ E2 istnieje conajwy˙zej jedna prosta P przechodza,ca przez punkt x i przecinaja,ca E1 i E2. Wykaza´c, ˙ze prosta istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy x ∈< E1∪ E2> ale ω(p, x) /∈ V1+ V2 i ω(q, x) /∈ V1+ V2.
5.10. Niech p = [−1, −1, 1] ∈ R3 i L = [2, 3, 5] + lin{(1, 2, 1)} ⊂ R3.
(a) Znale´z´c r´ownanie p laszczyzny w H ⊂ R3 zawieraja,cej punkt p i prosta,L.
(b) Niech prosta L0 be,dzie opisana uk ladem r´owna´n
(x1− x2+ x3 = 7 3x1− 2x2+ 2x3 = 17.
Sprawdzi´c, ˙ze istnieje prosta K ⊂ R3 zawieraja,ca p i przecinaja,ca proste L oraz L0 i znale´z´c punkty przecie,cia prostej K z prostymi L i L0.
5.11. W przestrzeni afinicznej R4 dany jest punkt c = [4, 5, 2, 7] oraz dwie proste:
L przechodza,ca przez punkty a1 = [1, 1, 1, 1], a2= [0, −1, 0, 1]
K przechodza,ca przez punkty b1= [2, 2, 3, 1], b2 = [1, 2, 2, −2]
(a) Znale´z´c prosta,N przechodza,ca,przez punkt c i przecinaja,ca,proste L i K. Znale´z´c punkty przecie,cia L z N i K z N .
(b) Znale´z´c prosta,K0, taka,by L i K0 by ly sko´sne i by nie istnia la prosta zawieraja,ca punkt c i przecinaja,ca L i K0.
5.12. Znale´z´c baze,punktowa,af(L1∪ L2) ⊂ K3, gdzie L1= {[4, 1, 0] + t(2, 3, −1) : t ∈ K}, L2= {[2, −2, 1] + t(1, 0, 1)}.
5.13. W przestrzeni afinicznej R4 znale´z´c przedstawienie parametryczne oraz uk lad r´ownan opisuja,cy pod- przestrzen afiniczna,generowana,przez punkty:
a) {[−1, 1, 0, 1], [0, 0, 2, 0], [−3, −1, 5, 4], [2, 2, −3, −3])}
b) {[1, 1, 1, −1], [0, 0, 6, −7], [2, 3, 6, −7], [3, 4, 1, −1]}
Przestrzenie te przedstawi´c jako przecie,cia hiperp laszczyzn w R4. (Hiperp laszczyzna = przestrze´n kowymiaru jeden.)
5.14. Dana jest przestrze´n afiniczna wymiaru n, jej baza punktowa oraz n + 1 punkt´ow qi. Niech ai,0, . . . , ai,n be,da,wsp´o lrzednymi barycentrycznymi punktu qi. Wykaza´c, ˙ze det(ai,j) = 0 wtedy i tylko wtedy gdy punkty sa, w po lo˙zeniu szczeg´olnym.
5.15. W przestrzeni afinicznej nad R przez i-ta,mediane uk ladu punkt´ow a1, . . . , an, gdzie n > 2, rozumiemy prosta, la,cza,ca,punkt aioraz punkt o wsp´o lrze,dnych barycentrycznychP
i6=j ai
n−1. Pokaza´c, ˙ze wszystkie mediany tego uk ladu przecinaja,sie,w jednym punkcie i wyznaczy´c go.
5.16. Je´sli T F1 ⊂ T F2 (tzn F1 jest s labo r´ownole le do F2), oraz F16⊂ F2 to F1∩ F2 = ∅.
6 Przekszta lcenia afiniczne
6.1. Niech F : R2 → R2 be,dzie przekszta lceniem afinicznym takim, ˙ze F (pi) = qi, gdzie p0 = [2, 1], p1 = [1, 2], p2 = [1, 1]
a) q0= [1, 1], q1 = [1, 2], q2 = [0, 1]
b) q0 = [4, 1], q1 = [3, 3], q2 = [2, 1]
c) q0= [3, 1], q1 = [3, 2], q2 = [2, 1].
Znale´z´c punkty sta le i proste niezmiennicze przekszta lcenia F . (Punkt p ∈ E jest sta lym dla przekszta lcenia F gdy F (p) = p. Prosta L ⊂ E jest niezmiennicza ze wzgle,du na przekszta lcenie F gdy F (L) ⊂ L.)
6.2. Czy istnieje przekszta lcenie afiniczne R4, kt´ore punkty ai przekszta lca na punkty bi odpowiednio, za´s prosta, P na prosta, H. Je˙zeli takie przekszta lcenie istnieje to znale´z´c jego posta´c analityczna,i ustali´c, czy jest ono wyznaczone jednoznacznie.
a)
a0 = [1, 1, 1, 1]
a1 = [2, 3, 2, 3]
a2 = [3, 2, 3, 2]
b0 = [−1, 1, −1, 1]
b1 = [0, 4, 0, 4]
b2 = [2, 2, 2, 2]
P = [1, 2, 2, 2] + t(0, 1, 0, 1) H = [−1, 2, 0, 3] + s(1, −5, 1, −5) b)
a0 = [2, −1, 3, −2]
a1 = [3, 1, 6, −1]
a2 = [5, 1, 4, 1]
b0 = [1, −2, 3, 5]
b1 = [2, 1, 8, 7]
b2 = [3, 2, 10, −6]
P = [2, 0, 4, −1] + t(0, 1, 2, 0) H = [1, −1, 5, −2] + s(0, 2, 3, −3)
6.3. W przestrzeni afinicznej R4 podprzestrze´n H zadana jest r´ownaniami:
(x1+ x2+ x3− x4 = 2
x1+ x2= 1 .
Niech f be,dzie rzutem wzd lu˙z lin{(1, 0, −1, 1), (0, 1, 1, 0)} na H.
a) Znale´z´c przeciwobraz prostej L = [1, 0, 1, 0] + s(1, −1, 1, 1).
b) Znale´z´c uk lad r´owna´n opisuja,cy obraz p laszczyzny K = [1, 0, 1, 0] + lin{(1, 1, 0, 1), (0, 0, 0, 1)}.
6.4. Niech f : R3 −→ R3 bdzie przekszta lceniem afinicznym. Wykaza´c, ˙ze je´sli f przeprowadza pare,prostych sko´snych na pare,prostych r´ownoleg lych, to f nie jest r´o˙znowarto´sciowe. Poda´c przyk lad takiego przekszta lcenia.
6.5. Niech K, L, M ⊂ K3 be,dzie tr´ojka,prostych parami sko´snych. Czy ka˙zda,taka,tr´ojke,mo˙zna przekszta lci´c na dowolna,inna,za pomoca,izomorfizmu afinicznego? Je´sli nie, to orzec, kt´ore z tr´ojek sa,afinicznie r´ownowa˙zne:
(K, L, M ) ∼ (K0, L0, M0) gdy istnieje φ ∈ Af f (K3) tali, ˙ze φ(K) = K0, φ(L) = L0, φ(M ) = M0.
6.6. Niech φ : E → E be,dzie przekszta lceniem afinicznym. Wykaza´c, ˙ze je˙zeli E jest przestrzenia, sko´nczenie wymiarowa,i przekszta lcenie φ ma dok ladnie jeden punkt sta ly, to ka˙zda podprzestrze´n φ–niezmiennicza zawiera ten punkt sta ly.
6.7. Znale´z´c wz´or analityczny przekszta lcenia afinicznego K4 be,da,cego rzutem na H wzd lu˙z W w przypadku, gdy podprzestrze´n H jest dana r´ownaniem ax1+ bx2+ cx3+ dx4= k, za´s W = lin{[a, b, c, d]}.
6.8. Niech φ : E −→ E be,dzie przekszta lceniem afinicznym takim, ˙ze 1 nie jest warto´scia,w lasna,Dφ. Pokaza´c, φ ma dok ladnie jeden punkt sta ly.
7 Przestrzenie i przekszta lcenia rzutowe
Patrz osobny plik
http://www.mimuw.edu.pl/∼aweber/zadania/gal2017gw/Przestrzenie rzutowe-zadania.pdf . Do zrobienia na ´cwiczeniach: zadania 53.3, 53.4, 53.14, 53.16, 53.22(!!!).
7.1. Znale´z´c przekszta lcenie rzutowe przeksztacaja,ce kwadryke,(opisana,w przestrzeni afinicznej) r´ownaniem x2− y2 = 2z na kwadryke,opisana,r´ownaniem x2+ y2 = 1 + z2.
7.2. Znale´z´c przekszta lcenie liniowe, kt´ore rzeczywista,forme,kwadratowa,sprowadza do postaci kanonicznej:
a) x1x2+ x2x3+ x3x4+ x4x1
b) x21+ 5x22− 4x32+ 2x1x2− 4x1x3
7.3. Znale´z´c przekszta lcenie wielomianowe P1(K)×P1(K) → P3(K) be,da,ce bijekcja,na obraz, kt´ory jest opisany r´ownaniem x0x3− x1x2= 0.
Uwaga: Nad cia lem algebraicznie domknie,tym charakterystyki 6= 2 ka˙zda nieosobliwa kwadryka (tzn. taka, ˙ze macierz odpowiadajacej jej formy dwuliniowej symetrycznej jest odwracalna) w P3(K) jest w pewnym uk ladzie wsp´o lrze,dnych kwadryka,zadana,r´ownaniem x0x3− x1x2 = 0.
7.4. Niech f ∈ K[x, y] bedzie niezerowym wielomianem jednorodnym, stopnia d. W´owczas r´ownanie f (x, y) = 0 ma co najwy˙zej d rozwia,za´n w P1(K), a je´sli cia lo jest algebraicznie domknie,te, to dok ladnie d (licza,c krotno´sci).
Uwaga. Je´sli [a : b] jest rozwia,zaniem to krotno´s´c jest najwie,ksza,pote,ga,(bx − ay) dziela,ca,f . W zadaniach ni˙zej K jest algebraicznie domknie,te i char(K) 6= 2.
7.5. Niech f ∈ K[x, y, z, t] be,dzie wielomianem jednorodnym stopnia 2, za´s Q ⊂ P3(K) - kwadryka,opisana, r´ownaniem f = 0. Niech ` be,dzie prosta,w P3(K). Pokaza´c, ˙ze Q ∩ ` jest zawsze niepusty. Co wie,cej Q zawiera
` wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera trzy punkty tej prostej.
7.6. Niech `1, `2, `3 be,da, parami roz la,cznymi prostymi w P3(K). Istnieje w´owczas nieosobliwa kwadryka Q ⊂ P3(K) zawieraja,ca te proste.
8 Formy dwuliniowe
UWAGA: W zadaniach o formach dwuliniowych zak ladamy, ˙ze K jest cia lem charakterystyki r´o˙znej od 2.
8.1. Wyznaczy´c macierz formy dwuliniowej na R3 w bazie e01 = e1+ e2, e02 = e1− e2, e03 = 2e1+ e2+ e3 gdy dana jest macierz w bazie standardowej
1 2 3 3 1 4 5 1 6
.
8.2. Dana jest przestrze´n liniowa z forma,symetryczna,(V, φ) , W ⊂ V . Pokaza´c, ˙ze dim W + dim W⊥= dim V + dim(V⊥∩ W ) .
8.3. Dane macierze:
A =−3 0 0 −2
, B =3 0 0 2
, C =1 0 0 1
, D =
2 −2
−2 5
, E =
35 −25
−25 35
. Kt´ore z tych macierzy sa,kongruentne nad Q?
8.4. Niech A be,dzie symetryczna,niezdegenerowana,macierza,kwadratowa,o wyrazach wymiernych. Udowodni´c,
˙ze macierze
A 0
0 −A
oraz I 0
0 −I
sa,kongruentne nad Q. (Powy˙zej macierz I oznacza macierz jednowtkowa,rozmiaru A.)
8.5. Dane macierze
2 2 0 2 0 2 0 2 0
i
0 0 2 0 1 0 2 0 0
.
Nad kt´orymi z naste,puja,cych cia l powy˙zsze macierze sa,kongruentne: Q, Q(√
2), R, C?
8.6. Czy istnieje macierz rzeczywista symetryczna 4 × 4, kt´orej znaki minor´ow sa,nastepuja,ce?
a) – , + , 0 , – b) – , + , 0 , +
Czy znamy sygnature,tej macierzy?
8.7. W przestrzeni z forma,symetryczna,(R4, φ), gdzie φ w bazie standardowej jest zadane przez macierz:
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 1 −1
0 1 −1 1
a) znale´z´c baze,prostopad la,tej przestrzeni.
b) znale´z´c W⊥, gdzie W jest podprzestrzenia,zadana,przez uk lad r´owna´n:
x2 = 0 x1+ x3 = 0 Czy R4 = W ⊕ W⊥? Czy forma φ|W ×W jest niezdegenerowana?
c) znale´z´c sto˙zek wektor´ow izotropowych.
Definicja Podprzestrze´n W ⊂ V nazywamy ca lkowicie zdegenerowana, (ze wzgle,du na forme, symetryczna, φ), je˙zeli φ|W ×W jest forma,zerowa,.
Wektor v nazywa sie,izotropowy (ze wzgle,du na forme,symetryczna,φ) gdy φ(v, v) = 0.
8.8. W przestrzeni W macierzy 2 × 2 o wsp´o lczynnikach rzeczywistych rozpatrujemy forme, dwuliniowa, φ(A, B) = tr(AB). Znale´z´c najwie,kszy wymiar podprzestrzeni ca lkowicie zdegenerowanej.
Definicja Przestrze´n z forma, symetryczna,zadana,w pewnej bazie przez macierz
0 1 1 0
nazywa sie, p laszczyzna, hiperboliczna,.
8.9. Udowodni´c, ˙ze p laszczyzna hiperboliczna zawiera wektor α, taki ˙ze lin{α}⊥ = lin{α}.
8.10. Dla niezdegenerowanej formy (V, φ) nad cia lem charakterystyki r´o˙znej od 2 naste,puja,ce warunki sa, r´ownowa˙zne:
a) (V, φ) jest suma,ortogonalna,p laszczyzn hiperbolicznych b) istnieje podprzestrze´n W ⊂ V , taka, ˙ze W⊥= W c) w pewnej bazie macierz φ ma posta´c:
0 I I 0
, gdzie I jest macierza,identyczno´sci
d) V = W1⊕ W2, gdzie W1 i W2 sa,ca lkowicie zdegenerowane.
8.11. Rozpatrujemy forme,symetryczna,nad R o macierzy:
0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0
wykaza´c, ˙ze p laszczyzny hiperboliczne o kt´orych mowa w a) zadaniu powy˙zszym nie sa, wyznaczone jednoz- nacznie.
W powy˙zszym zadaniu b) przestrze´n W nie jest wyznaczona jednoznacznie.
8.12. Niech (V, φ) be,dzie rzeczywista, przestrzenia, wymiaru 2n z forma,symetryczna,. Niech V be,dzie suma, ortogonalna, n-wymiarowych podprzestrzeni V+ i V− takich, ˙ze φ jest dodatnio okre´slona na V+ i ujemnie okre´slona na V−. Udowodni´c, ˙ze:
a) Ka˙zda podprzestrze´n (V, φ) ca lkowicie zdegenerowana ma wymiar nie wie,kszy ni˙z n;
b) Istnieje podprzestrze´n (V, φ) ca lkowicie zdegenerowana wymiaru n;
c) Ka˙zda podprzestrze´n ca lkowicie zdegenerowana jest zawarta w n wymiarowej podprzestrzeni ca lkowicie zde- generowanej.
9 Przestrzenie z iloczynem skalarnym
W poni˙zszych zadaniach:
,,przestrze´n euklidesowa” = ,,sko´nczenie wymiarowa przestrze´n liniowa nad R z iloczynem skalarnym”.
9.1. Niech A be,dzie macierza,formy 2-liniowej w Rnw bazie standardowej. Wykaza´c, ˙ze je´sli A jest macierza, iloczynu skalarnego, to dla ka˙zdego n > 0 macierz An te˙z jest macierza,iloczynu skalarnego.
9.2. Wykaza´c, ˙ze funkcja f (t) = 1 wraz z funkcjami sin(nt), cos(nt) dla n ∈ N>0 stanowia,uk lad ortogonalny w przestrzeni funkcji okresowych o okresie 2π z iloczynem skalarnym zadanym przez
(f, g) = Z 2π
0
f (x)g(x)dx .
9.3. Zastosowa´c metode,ortogonalizacji Gramma-Schmidta do bazy 1, x, x2, .., xn w przestrzeni wielomian´ow stopnia ≤ n z iloczynem skalarnym (f, g) =
+1
R
−1
f (x)g(x)dx. Wypisa´c kilka pierwszych wielomian´ow. Postara´c sie,samodzielnie znale´z´c wz´or og´olny, lub przejrze´c notatki z wyk ladu.
9.4. W przestrzeni R4 ze standardowym iloczynem skalarnym znale´z´c baze,ortonormalna,z lo˙zona,z wektor´ow postaci 12(a1, a2, a3, a4), gdzie ai ∈ {−1, 1}. (Macierz Hadamarda.)
9.5. Pokaza´c, ˙ze je´sli w liniowej przestrzeni z iloczynem skalarnym α1, . . . , αn jest baza, ortonormalna, za´s β1, . . . , βnjest uk ladem wektor´ow takim, ˙zePi=n
i=1kβik2 < 1, to uk lad α1+β1, . . . , αn+βnjest liniowo niezale˙zny.
9.6. a) Wykaza´c ˙ze forma 2-liniowa φ(A, B) = −T r(AB) jest iloczynem skalarnym na przestrzeni liniowej antysymetrycznych macierzy n × n.
b) Niech C ∈ O(n). Wykaza´c, ˙ze je´sli A jest macierza, antysymetryczna,, to CAC−1 te˙z jest macierza, an- tysymetryczna,. Ponadto A 7→ CAC−1 jest izometria, przestzreni macierzy antysymetrycznych ze wzgle,du na forme,φ.
9.7. W przestrzeni Mn×n(R) z iloczynem skalarnym hA, Bi = T r(ABT) znale´z´c, podaja,c jej baze,lub opisuja,cy ja,uk lad r´owna´n, podprzestrze´n prostopad la,do podprzestrzeni z lo˙zonej z macierzy o ´sladzie r´ownym 0.
9.8. Niech A be,dzie macierza,formy 2-liniowej w Rnw bazie standardowej. Dana jest hiperp laszczyzna opisana wzoremPn
i=1aixi= 0. Poda´c wz´or na odleg lo´s´c wektora od tej hiperp laszczyzny.
9.9. Pokaza´c, ˙ze wyznacznik Gramma spe lnia nier´owno´s´c:
G(α1, .., α2, β1, .., βl) ≤ G(α1, .., αk)G(β1, .., βl)
przy czym r´owno´s´c zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy (αi, βj) = 0 dla dowolnych 1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ l lub conajmniej jeden z uk lad´ow α1, .., αk, β1, .., βl jest liniowo zale˙zny.
Wsk: Rzut ortogonalny nie zwie,ksza obje,to´sci.
9.10. Udowodni´c ˙ze norma L1 i L∞ na Rn nie pochodza,od iloczynu skalarnego.
9.11. Niech B be,dzie ograniczona, bry la, w Rn kt´ora jest wypuk la i ´srodkowo-symetryczna. Ponadto ma niepuste wne,trze i jest domknie,ta. Wykaza´c, ˙ze istnieje norma w Rn, dla kt´orej
B = {α ∈ Rn| ||α|| ≤ 1}.
9.12. Udowodni´c wzory w R3 ze standardowym iloczynem skalarnym:
||a × b||2+ (a, b)2= ||a||2||b||2, (a × b, c) = (c × a, b).
9.13. Niech u, v, w be,da,wektorami w przestrzeni R2 o normie 1. Znale´z´c minimalna,i maksymalna,warto´s´c wyra˙zenia (u, w) + (w, v) + (v, u).
9.14. Niech v1, v2, v3, v4 be,da, wektorami w R4. Pokaza´c, ˙ze je´sli (vi, vj) < 0 dla i 6= j to pewne trzy z tych wektor´ow sa,liniowo niezale˙zne.
9.15. Dane macierze A, B ∈ Mn×k(R). Wykaza´c, ˙ze je´sli ATB = 0 to r(A) + r(B) = r(A|B). Czy twierdzenie jest prawdziwe nad C?
10 Izometrie liniowe przestrzeni z iloczynem skalarnym
10.1. Wykaza´c, ˙ze dla cia la K zbi´or
On(K) = {A ∈ Mn×n| ATA = I}
jest podgrupa,grupy macierzy odwracalnych.
10.2. Niech f , g be,da, endomorfizmami przestrzeni euklidesowej V takimi, ˙ze dla ka˙zdego v ∈ V mamy (f (v), f (v)) = (g(v), g(v)). Pokaza´c, ˙ze istnieje przekszta lcenie ortogonalne h takie, ˙ze f = hg.
10.3. Niech u ∈ V bdzie wektorem o normie 1 w przestrzeni euklidesowej V . Okre´slamy f (x) = x − 2(x, u)u, dla x ∈ V . Pokaza´c, ˙ze:
- f jest ortogonalne,
- wyznacznik macierzy przekszta lcenia f jest r´owny −1,
- macierz f ma w ka˙zdej bazie ortonormalnej posta I − 2vvT, gdzie v to pewien wektor kolumnowy,
- je´sli g jest przeksztaceniem ortogonalnym o warto´sci w lasnej 1 takim, ˙ze podprzestrze´n wasna V1 jest wymiaru dim(V ) − 1, to g(x) = x − 2(x, w)w, dla pewnego wektora w ∈ V takiego, ˙ze ||w|| = 1.
10.4. Wykaza´c, ˙ze je´sli A jest macierza,przekszta lcenia ortogonalnego f w bazie ortogonalnej, to f jest symetria, wtedy i tylko wtedy gdy macierz A symetryczna.
10.5. Pokaza´c, ˙ze je˙zeli (V, φ) przestrzenia,z iloczynem skalarnym, φ(α, α) = φ(β, β) 6= 0, to istnieje symetria ortogonalna f : V −→ V , taka ˙ze f (α) = β.
10.6. Pokaza´c, ˙ze ka˙zde przekszta lcenie ortogonalne przestrzeni euklidesowej wymiaru n jest z lo˙zeniem co najwy˙zej n symetrii prostopad lych.
10.7. Udowodni´c, ˙ze z lo˙zenie dowolnej liczby obrot´ow przestrzeni liniowej euklidesowej tr´ojwymiarowej jest obrotem.
10.8. Przekszta lcenie przestrzeni euklidesowej zadane jest, w kanonicznej bazie ortonormalnej e1, e2, e3macierza,: 1
3
2 −1 2
2 2 −1
−1 2 2
.
Przedstawi´c to przekszta lcenie w postaci z lo˙zenia co najwy˙zej trzech symetrii prostopad lych wzgle,dem p laszczyzn.
10.9. Rozpatrujemy R4 ze standardowym iloczynem skalarnym. Znale´z´c macierz w bazie standardowej i wz´or analityczny opisuja,cy rzut prostopad ly na podprzestrze´n W = lin{(1, 1, 1, 1), (1, 2, 2, −1), (1, 0, 0, 3)}.
10.10. Przekszta lcenie ortogonalne f : R4 −→ R4 przestrzeni euklidesowej ze standardowym iloczynem ska- larnym ma w standardowej bazie ortonormalnej macierz:
1 2
1 1 1 1
1 1 −1 −1
−1 1 −1 1
−1 1 1 −1
Znale´z´c baze,ortonormalna,, w kt´orej przekszta lcenie f ma forme, kanoniczna,. Znale´z´c te,forme,. Opisa´c geome- trycznie czym jest to przekszta lcenie. Je´sli kt´ory´s z blok´ow jest obrotem, to prosze,poda´c ka,t obrotu.
10.11. Znalez´c warunki konieczne i dostateczne na to, by by zbi´or liczb dodatnich {aij: 0 ≥ j ≥ n, i > j} by l 1. zbiorem odleg lo´sci wszystkich mo˙zliwych par wierzcho lk´ow n wymiarowego sympleksu w przestrzeni euk-
lidesowej Rn,
2. zbiorem odleg lo´sci wszystkich mo˙zliwych par punkt´ow pewnego zbioru n + 1 punkt´ow przestrzeni euklides- owej Rn (to znaczy nie zak ladamy tak jak w a), ˙ze punkty sa,w po lo˙zeniu og´olnym).
10.12. Niech A ∈ M3×3(R) be,dzie macierza,ortogonalna,i det A = 1. Pokaza´c, ˙ze 1. (tr A)2− tr A2= 2 tr A
2. ((P3
i=1aii) − 1)2+P
1≤i<j≤3(aij− aji)2= 4
10.13. Pokaza´c,˙ze je˙zeli w(λ) jest wielomianem charakterystycznym n × n macierzy ortogonalnej A. Pokaza´c,
˙ze λnw(λ−1) = ±w(λ).
10.14. Pokza´c, ˙ze je´sli przekszta lcenie liniowe przestrzeni z iloczynem skalarnym f : V → V zachowuje ka,ty (a ´sci´slej cos(^(α, β)) dla dowolnej pary wektor´ow), to f jest postaci c g, gdzie c jest sta la,, a g przekszta lceniem ortogonalnym (izometria,).
11 Przestrzenie i przekszta lcenia unitarne
11.1. Za l´o˙zmy, ˙ze dla pewnego n > 1 macierz Anjest unitarna. Czy wynika sta,d, ˙ze A jest macierza,unitarna,? 11.2. Za l´o˙zmy, ˙ze dla pewnego endomorfizmu f przestrzeni unitarnej V mamy r´owno´s´c f2= −id. Czy f jest przekszta lceniem unitarnym?
11.3. Niech f be,dzie automorfizmem przestrzeni unitarnej (V, hh, ii) takim, ˙ze fn= id, dla pewnego n. Pokaza´c,
˙ze na V mo˙zna zada´c (nowa,) strukture, hh, ii0 przestrzeni unitarnej tak, ˙ze f jest przekszta lceniem unitarnym przestrzeni dwuliniowej(V, hh, ii0).
11.4. Niech f be,dzie endomorfizmem przestrzeni unitarnej V spe lniaja,cym warunek hhf (u), vii = −hhu, f (v)ii,
dla ka˙zdych u, v ∈ V . Pokaza´c, ´ze je´sli λ ∈ C jest warto´scia,w lasna,f , to re(λ) = 0.
11.5. Niech f be,dzie endomorfizmem przestrzeni unitarnej V . Pokaza´c, ˙ze dla ka˙zdego wektora jednostkowego x ∈ V zachodzi nier´owno´s´c:
hhf (x), xiihhx, f (x)ii ≤ hhf (x), f (x)ii.
W szczeg´olnosci dla macierzy A ∈ Mn(C) mamy |hhAx, xii| ≤ ||Ax||, gdzie r´owno´s´c zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy ||x|| = 1 oraz x jest wektorem w lasnym A.
11.6. Niech V be,dzie przestrzenia unitarna,. Dla endomorfizmu f przestrzeni V okre´slamy ,,cia lo warto´sci”
W (f ) ⊂ C (,,numerical range”) przekszta lcenia f przez
W (f ) = {hhf (x), xii | x ∈ V, ||x|| = 1}.
(a) Pokaza´c, ˙ze W (f + cI) = W (f ) + c oraz W (cf ) = cW (f ), dla ka˙zdego c ∈ C.
(b) Pokaza´c, ˙ze warto´sci w lasne f nale˙za do W (f ),
(c) Opisa´c posta´c geometryczna,W (f ) w przypadku, gdy macierz f jest postaci:
1 0 0 1
, 0 1 0 0
, 0 0 1 1
, 1 0
0 1 + i
,
0 0 0
0 1 0
0 0 1 + i
.
(d) W przestrzeni l2cia,g´ow liczb zespolonych (x0, x1, . . .), dla kt´orychP
i|xi|2 < ∞ z iloczynem hermitowskim hhx, yii =P
iaibi rozwa˙zmy operator f zadany przez
f (x0, x1, . . .) = (x1, x2, x3, . . .).
Pokaza´c, ˙ze W (f ) = {z ∈ C | z < 1}.
11.7. Niech V be,dzie przestrzenia,z iloczynem hermitowskim, dim V < ∞. Definiujemy norme,w End(V ):
||f || = sup{||f (v)|| : ||v|| = 1 } .
Udowdni´c, ˙ze to rzeczywi´scie jest norma. Wykaza´c, ˙ze ||f g|| ≤ ||f || ||g||. Ponadto ||f∗f || = ||f∗|| ||f ||.
12 Afiniczne przestrzenie euklidesowe
12.1. Dane α ∈ Rn, b ∈ R. Niech H = {x ∈ Rn| hα, xi = b }. Poda´c og´olny wz´or na:
– odleg lo´sci d(x, H)
– rzutu ortogonalnego punktu x ∈ Rn na H – symetrii prostoka,tna,wzgle,dem H.
12.2. Znale´z´c wz´or na symetrie,prostoka,tna,euklidesowej przestrzeni R4ze standardowym iloczynem skalarnym wzgle,dem lin{β1, β2}, gdzie β1 = [1, 1, −1, −2], β2 = [5, 8, −2, −3].
12.3. Udowodni´c, ˙ze odleg lo´s´c d(x0, H) punktu x0 od podprzestrzeni afinicznej H = y0+ S(H), gdzie S(H) = lin{α1, .., αk}, mo˙zna wyrazi´c przy pomocy wyznacznika Gramma G:
(d(x0, H))2 = G(α1, α2, .., αk, ω(x0, y0)) G(α1, α2, .., αk) ,
12.4. W afinicznej przestrzeni euklidesowej R4 ze standardowym iloczynem skalarnym znale´z´c (conajmniej na dwa sposoby) odleg lo´s´c punktu (4, 2, −5, 1) od podprzestrzeni opisanej przez uk lad r´owna´n:
2x1− 2x2+ x3+ 2x4 = 9 2x1− 4x2+ 2x3+ 3x4 = 12.
12.5. W przestrzeni afinicznej euklidesowej R4ze standardowym iloczynem skalarnym znale´z´c odleg lo´s´c punktu (2, 4, −4, 2) od podprzestrzeni danej przez uk lad r´owna´n:
x1+ 2x2+ x3− x4= 1 x1+ 3x2+ x3− 3x4= 2
12.6. W przestrzeni afinicznej euklidesowej R4 dane sa, proste L = {[0, 7, 1, 2] + t(0, 1, −1, 0)} oraz K = {[1, 1, 1, 1] + t(1, 0, 0, −1)}. Znale´z´c p laszczyzne,przechodza,ca, przez punkt [4, 1, 3, 1], kt´ora jest prostopad la do L i nie przecina K.
12.7. Niech H i K beda,podprzestrzeniami euklidesowej przestrzeni afinicznej E i niech H ∩K = ∅. Pokaza´c,˙ze istnieje prosta L taka, ˙ze L ⊥ H, L ⊥ K, i L ma punkty wsp´olne z H i z K.
12.8. Pokaza´c, ˙ze je˙zeli izometria afinicznej przestrzeni euklidesowej ma dwie niezmiennicze podprzestrzenie afiniczne sko´sne, to ma punkt sta ly.
13 Kwadryki w przestrzeni euklidesowej
13.1. Opisa´c typ kwadryki i znale´z´c jej ´srodek symetrii (je´sli istnieje) x21− 2x22+ x23+ 6x2x3− 4x1x3− 8x1= 0.
13.2. Znale´z´c o´s symetrii paraboli x2+ 4xy + 4y2+ 8x + y = 8.
13.3. Znale´z´c osie kwadryki 4x1x2+ 3x22+ 3x23+ 4x1x3− 2x2x3 = 1.
14 Przekszta lcenia samosprze
,˙zone i twierdzenie spektralne
14.1. Niech φ be,dzie przekszta lceniem samosprze,˙zonym prestrzeni sko´nczonego wymiaru. Wykaza´c, ˙ze ker φ ⊥ im φ oraz ker φ i im φ rozpinaja,ca la,przestrze´n (ortogonalna suma prosta).
14.2. Niech przekszta lcenie samosprze,˙zone φ przestrzeni euklidesowej be,dzie dane w pewnej bazie ortonor- malnej przez macierz A. Znale´z´c ortonormalna,baze,wektor´ow w lasnych φ oraz macierz φ w tej bazie. (Uwaga:
Zadanie to jest r´ownowa˙zne sformu lowaniu: znale´z´c macierz ortogonalna,B taka,, ˙ze BTAB jest macierza,diag- onalna,. Baza, lub r´ownowa˙znie macierz B, nie musi by´c wyznaczona jednoznacznie).
a) A =
17 −8 4
−8 17 −4 4 −4 11
b) A =
0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0
14.3. Niech f : Rn −→ Rn be,dzie przekszta lceniem przestrzeni euklidesowej, takim ˙ze f jest samosprze,˙zone i ortogonalne. Pokaza´c, ˙ze f jest symetria, wzgle,dem pewnej podprzestrzeni wzd lu˙z podprzestrzeni do niej prostopad lej.
14.4. !!! Dane 0 < k < n. Niech A ∈ End(Rn) zachowuje obje,to´s´c r´ownoleg lo´scian´ow k-wymiarowych.
Pokaza´c, ˙ze A jest izometria,.
14.5. Niech ϕ be,dzie przekszta lceniem samosprze,˙zonym przestrzeni euklidesowej Rn. Pokaza´c, ˙ze a) funkcja f (x) = (ϕ(α), α) osia,ga minimum na sferze jednostkowej
b) je˙zeli λ1 jest minimum funkcji f na sferze jednostkowej przyjmowanym w punkcie α1, to α1 jest wektorem w lasnym o warto´sci w lasnej λ1.
c) pokaza´c, ˙ze przestrze´n lin{α1}⊥jest ϕ niezmiennicza i opisana w punkcie b) procedura stosowana indukcyjnie prowadzi do znalezienia cia,gu rosna,cego warto´sci w lasnych λ1 ≤ λ2≤ · · · ≤ λn i odpowiadaja,cych im wektor´ow w lasnych.
14.6. Operator A ∈ End(C2) jest zadany macierza,
4 + 2i 5 + 4i 4 + 3i 2
Przedstawi´c A jako z lo˙zenie BP operatora samospre,˙zonego dodatnio-okre´slonego P i unitarnego B. (To jest zadanie na rozk lad biegunowy.)
14.7. Zna le´z´c rozk lad biegunowy macierzy
4 −2 2
4 4 −1
−2 4 2
.
14.8. Udowodni´c, ˙ze przekszta lcenia samosprze,˙zone φ i ψ przestrzeni euklidesowej sa,przemienne (tzn. φψ = ψφ) wtedy i tylko wtedy, gdy posiadaja,wsp´olna,ortonormalna,baze,wektor´ow w lasnych.
14.9. Znale´z´c wsp´olna, baze, ortonormalna, (wzgle,dem standardowego iloczynu skalarnego w R4) z lo˙zona, z wektor´ow w lasnych macierzy:
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0
