Zadania z OTW (zestaw 6)

Zadania z OTW (zestaw 6)

37. Prosz¦ oszacowa¢ jakiego rz¦du jest amplituda i cz¦stotliwo±¢ fali grawitacyjnej generowanej przez ukªad podwójny gwiazd neutronowych o masach rz¦du masy Sªo«ca ka»da, obiegaj¡- cych wspólny ±rodek masy w odlegªo±ci rz¦du 50 km od siebie, w odlegªo±ci rz¦du 20 Mpc od tego ukªadu.

38. Grawitacyjnie zwi¡zany ukªad dynamiczny (np. ukªad podwójny) ma mas¦ rz¦du M i rozmiar rz¦du r. Prosz¦ oszacowa¢ jaki jest stosunek skali czasu po którym ukªad wypromieniuje znacz¡c¡ cz¦±¢ swojej energii w postaci fal grawitacyjnych do dynamicznej skali czasu (np.

okres obiegu dla ukªadu podwójnego).

39. Dwie gwiazdy o masach M

i M

kr¡»¡ po newtonowskich orbitach koªowych w odlegªo±ci r od siebie. W wyniku emisji fal grawitacyjnych odlegªo±¢ r maleje, a w zwi¡zku z tym zmienia sie równie» okres obiegu. Jak zmienia si¦ okres obiegu gwiazd dookoªa ±rodka masy; czy promieniowanie grawitacyjne unosi kr¦t z ukªadu podwójnego?

40. Zbada¢ wpªyw fali grawitacyjnej o polaryzacjach + i x na cz¡stki swobodne rozmieszczone na pier±cieniu. Kierunek propagacji fali jest prostopadªy do pªaszczyzny pier±cienia. Wizualizacj¦

mo»na zobaczy¢ np. tutaj (Wikipedia).

41. Jak w cechowaniu TT (porzeczne, bez±ladowe) zmienia si¦ h

pod wpªywem obrócenia ukªadu wspóªrz¦dnych o k¡t φ dookoªa osi z?

42. Prosz¦ rozwi¡za¢ równania Killinga ∇

ξ

+ ∇

ξ

= 0 dla nast¦puj¡cych metryk:

(a) ds

= dx

+ dy

, (b) ds

= dθ

+ sin

θdφ

.

43. Prosz¦ pokaza¢, »e je±li ξ speªnia równanie Killinga to ∇

∇

ξ

= R

ξ

.

Poni»sze zadania przejd¡ prawdopodobnie w caªo±ci do kolejnego zestawu, ale podaje ja na wypa- dek, gdyby rozwiazanie zadan 37-43 poszªo wyj¡tkow sprawnie.

44. Rakieta porusza si¦ swobodnie po orbicie koªowej o promieniu r = 7M w geometrii Schwarz- schilda.

(a) Znale¹¢ okres obiegu orbity mierzony przez zegar w rakiecie i przez zegar w ∞.

(b) Przez przedni¡ szyb¦ z rakiety jest wystrzelony foton o cz¦sto±ci ω. Jak¡ cz¦sto±¢ fotonu zmierzy obserwator w ∞.

45. Rakieta spada swobodnie, radialnie na czarn¡ dziur¦ Schwarzschilda.

(a) Jaki czas spadku z niesko«czono±ci do horyzontu R = 2M zmierzy zegar w rakiecie?

(b) Ile czasu trwa ten spadek dla obserwatora statycznego w niesko«czono±ci?

(c) Jaka jest pr¦dko±¢ rakiety wzgl¦dem obserwatora statycznego znajduj¡cego sie na pro-

mieniu r?

46. Komentator znajduj¡cy si¦ w rakiecie z poprzedniego zadania stara si¦ opisa¢ swoje wra»enia ze spadku do czarnej dziury. Sygnaªy wysyªane przez komentatora tu» przed przekroczeniem horyzontu s¡ odbierane w niesko«czono±ci z ogromnym redshiftem, który zachowuje si¦ jak exp(−αt) (t jest czasem wªasnym statycznego obserwatora w niesko«czono±ci). Czy z pomiaru parametru α mo»na okre±li¢ mas¦ czarnej dziury?

47. Prosz¦ pokaza¢, »e po przekroczeniu horyzontu rakieta komentatora dotrze do r = 0 w czasie wªasnym τ < πM, niezale»nie od ci¡gu silników.

A. Rostworowski

http://th.if.uj.edu.pl/ arostwor/