Jerzy Pogonowski
ZakÃlad Logiki Stosowanej UAM pogon@amu.edu.pl
Zastosowania algebry w logice i informatyce III Zakopane 1999
Przestrzenie Tolerancji i Opozycji
0. Oznaczenia. Dla R ⊆ X × Y oraz x ∈ X, y ∈ Y niech: R∧x = {z ∈ Y : xRz},
R∨y = {z ∈ X : zRy}. Skr´ot gdy (pisany kursyw¸a!) zast¸epuje wtedy i tylko wtedy, gdy.
Przestrzenie tolerancji
1. Przestrze´n tolerancji: ka˙zdy ukÃlad (X, R), gdzie X 6= ∅, R zwrotna i symetryczna relacja na X.
2. R-preklasa: ka˙zdy zbi´or A ⊆ X taki, ˙ze xRy dla wszystkich x, y ∈ A.
3. R-klasa: maksymalna R-preklasa. Rodzina wszystkich R-klas (oznaczana przez X//R) tworzy pokrycie X. Dla dowolnych x, y ∈ X mamy: xRy gdy istnieje R-klasa A taka, ˙ze x, y ∈ A.
4. Baza przestrzeni (X, R): ka˙zda minimalna rodzina R-klas B taka, ˙ze dla wszystkich x, y ∈ X:
xRy gdy istnieje A ∈ B takie, ˙ze x, y ∈ A. W ka˙zdej przestrzeni tolerancji istnieje baza.
5. Relacja stowarzyszona z R: relacja R+ zdefiniowana nast¸epuj¸aco:
xR+y gdy ∀z ∈ X (xRz ↔ yRz). Je´sli R jest tolerancj¸a, to R+ jest r´ownowa˙zno´sci¸a.
6. R-j¸adra (przestrzeni (X, R)): rodzina X/R+.
7. R-skÃladowe (przestrzeni (X, R)): rodzina X/Rtr, gdzie Rtr jest przechodnim domkni¸eciem R.
8. Przestrze´n (X, R) jest: a) prosta gdy ∀x ∈ X (R+)∧x = {x}; b) sp´ojna gdy X/Rtr= {X};
c) regularna gdy ∀x ∈ X (R+)∧x =T
{A ∈ X//R : x ∈ A}.
9. Zbi´or A ⊆ X jest: a) R-pochÃlaniaj¸acy gdy ∀y ∈ X ∃x ∈ A (xRy);
b) R-rozproszony gdy ∀x, y ∈ A (x 6= y → ¬xRy).
10. Dla A ⊆ X niech: GR(A) = {y ∈ X : ∀x(x ∈ A → xRy)}. Wtedy:
a) (GR, GR) jest odpowiednio´sci¸a Galois. b) A ∈ X//R gdy A = GR(A).
11. Dla dowolnej przestrzeni tolerancji (X, R) niech:
TR∗ = {A ⊆ X : ∀x(x ∈ A → R∧x ⊆ A)} TR0 = topologia generowana przez podbaz¸e X//R dR(x, y) = najmniejsze n takie, ˙ze istniej¸a x0, x1, . . . , xn∈ X dla kt´orych x0= x, xn= y oraz xiRxi+1 (0 6 i < n) [lub ∞, je´sli nie ma takiego n]. Wtedy:
a) TR∗ ⊆ TR0. Przestrze´n (X, TR∗) ma baz¸e X//R zÃlo˙zon¸a ze zbior´ow domkni¸eto-otwartych.
b) dR jest metryk¸a. c) ∀A ∈ TR∗ ∀x ∈ A (x ∈ A → (Rtr)∧x ⊆ A);
d) (X, R) jest prosta i regularna gdy TR0 jest T1-topologi¸a.
e) Dla dowolnego x ∈ X mamy: ∀A ∈ TR0 (x ∈ A → (R+)∧x ⊆ A).
f) Je´sli (X, R) jest prosta, to TR0 jest T0-topologi¸a.
12. Dla dowolnego A ⊆ X niech: clR(A) = {x ∈ X : ∃y ∈ A (xRy)}
intR(A) = {x ∈ A : ∀y ∈ X (xRy → y ∈ A)} f rR(A) = clR(A) − intR(A). Wtedy:
a) (X, clR) jest przestrzeni¸a domkni¸e´c;
b) R jest r´ownowa˙zno´sci¸a gdy ∀A ⊆ X (clR(clR(A)) = clR(A)).
13. Niekt´ore relacje i funkcje wyznaczone w rodzinie niepustych podzbior´ow uniwersum przez wyj´sciow¸a tolerancj¸e:
A indRB gdy A ⊆ clR(B) ∧ B ⊆ clR(A) A insRB gdy clR(A) ∩ B 6= ∅
A prRB gdy clR(A) ∩ clR(B) 6= ∅ distR(A, B) = min{dR(x, y) : x ∈ A ∧ y ∈ B}
DistR(A, B) = max({distR({x}, B) : x ∈ A} ∪ {distR(A, {y}) : y ∈ B}). Mamy wtedy:
a) indR⊆ insR⊆ prR; b) A insRB gdy distR(A, B) 6 1;
c) Dla dowolnych niepustych A, B ⊆ X nast¸epuj¸ace warunki s¸a r´ownowa˙zne:
(i) A indRB (ii) A ∪ B ⊆ clR(A) ∩ clR(B) (iii) DistR(A, B) 6 1.
d) A prRB gdy distR(A, B) 6 1; e) A ∩ B 6= ∅ → A insRB.
Przestrzenie opozycji
14. Przestrze´n opozycji: ka˙zdy ukÃlad (X, R), gdzie X > 2, R przeciwzwrotna i symetryczna relacja na zbiorzeX.
15. Diagram opozycji: ka˙zdy ukÃlad (X, F, ϕ) taki, ˙ze:
a) X > 2; b) F > 2; c) ¬∃x ∈ X ∀y ∈ X ∀a ∈ F (x ϕ a ↔ y ϕ a);
d) ∀x ∈ X ∃a ∈ F (x ϕ a) ∧ ∀x ∈ X ∃a ∈ F (x ϕ a).
16. Niekt´ore relacje opozycji w X wyznaczone przez diagram (X, F, ϕ):
a) x op1y gdy ϕ∧x ∩ ϕ∧y = ∅
b) x op2y gdy ϕ∧x − ϕ∧y 6= ∅ ∧ ϕ∧y − ϕ∧x 6= ∅ c) x op3y gdy ϕ∧x ÷ ϕ∧y 6= ∅
d) x opAy gdy ∃a ∈ A(a ∈ ϕ∧x ÷ ϕ∧y), gdzie A ⊆ F . 17. Niech 4ϕ(Y ) = T
x∈Y
ϕ∧x 5ϕ(A) = T
a∈A
ϕ∨a, dla dowolnych Y ⊆ X oraz A ⊆ F . Wtedy (4ϕ, 5ϕ) jest odpowiednio´sci¸a Galois.
18. Opozycje parametryczne s¸a wyznaczone przez ukÃlady postaci (X, F, ϕ, A), gdzie:
a) (X, F, ϕ) jest diagramem opozycji;
b) A jest podziaÃlem F o co najmniej dw´och elementach;
c) ka˙zdy element A ma co najmniej dwa elementy;
d) ∀x ∈ X ∀A ∈ A ∃!a ∈ A (x ϕ a) e) ∀A ∈ A S
a∈A
ϕ∨a = X.
19. Opozycje kontekstowe s¸a wyznaczone przez ukÃlady postaci (X, F, ϕ, S), gdzie:
a) (X, F, ϕ) jest diagramem opozycji;
b) S ⊆ F S(X) = wolna p´oÃlgrupa generowana przez X;
c) F = {(u, v) ∈ (F S(X))2: ∃x ∈ X uxv ∈ S}
d) ∀x ∈ X ∀(u, v) ∈ F x ϕ (u, v) ↔ uxv ∈ S.
20. Niekt´ore zastosowania: fizjologia widzenia (Zeeman); uog´olnione kongruencje (Chajda, Niederle, Zelinka); automaty tolerancyjne (Arbib, Dal Cin); podstawy geometrii (Poston); lingwistyka (Szrej- der, Semeniuk-Polkowska, Fischer, Pogonowski).
W szczeg´olno´sci, w nast¸epuj¸acych pracach znale´z´c mo˙zna opisy kilkudziesi¸eciu przestrzeni to- lerancji i opozycji zwi¸azanych z podobie´nstwami i opozycjami fonologicznymi, leksykalnymi, hipo- nimicznymi, syntagmatycznymi:
Pogonowski, J. (1981). Tolerance spaces with applications to linguistics. Pozna´n: UAM.
Pogonowski, J. (1993). Linguistic oppositions. Pozna´n: UAM.
Pogonowski, J. (1995). Trzy drobiazgi fonologiczne. Investigationes Linguisticae, I, 7–54.
Niniejsze dwie kartki stanowi¸a bodaj najkr´otsz¸a “´sci¸ag¸e” dotycz¸ac¸a tolerancji i opozycji. Mo˙ze komu´s si¸e to przyda. W tek´scie abstraktu byÃl w tym miejscu stary (trzydziestoletni) rysuneczek ukazuj¸acy chrze´scija´nskie rozumienie tolerancji w XV wieku. Zamiast tego zaÃl¸aczam jeden z limeryk´ow napisanych w owym pami¸etnym 1999 roku na Jaszczur´owce:
Raz w Zakopanem, przy peÃlni, ZjawiÃl si¸e facet z uczelni.
W´sr´od logik po´srednich pomyka, Poznajcie — Wojciecha Dzika!
Jest strukturalnie zupeÃlny. . . Konstanz, peÃlnia Ksi¸e˙zyca, maj 2003
