Szeregi funkcyjne
1 Szeregi pot¸ egowe
Szereg postaci
∞
X
n=0
an(x − x0)n (1)
czyli
a0+ a1(x − x0) + a2(x − x0)2+ . . . + an(x − x0)n+ . . . nazywamy szeregiem pot¸egowym.
W dalszym ci¸agu zajmiemy si¸e badaniem szeregów postaci
∞
X
n=0
anxn (2)
ponieważ szereg (1) można zawsze sprowadzić do postaci (2), przyjmuj¸ac różnic¸e x − x0 jako now¸a zmienn¸a.
Szereg (2) jest oczywiście zbieżny dla x = 0, przy czym jego suma wynosi wtedy a0.
Lemat 1. Jeżeli szereg (2) jest zbieżny dla x = % 6= 0, to jest zbieżny dla każdego x speł- niaj¸acego warunek |x| < |%|.
Niech X oznacza zbiór utworzony ze wszystkich liczb x, dla których szereg (2) jest zbieżny.
Zbiór ten nie jest pusty, gdyż 0 ∈ X. Oznaczmy nast¸epnie przez Z zbiór utworzony z wartości bezwzgl¸ednych wszystkich x ∈ X. Ponieważ 0 ∈ Z, wi¸ec inf Z = 0, natomiast
0 ¬ sup Z ¬ +∞
przy czym sup Z = +∞, gdy zbiór Z jest nieograniczony.
Definicja 1. Liczb¸e
R = sup Z (3)
nazywamy promieniem zbieżności szeregu pot¸egowego (2).
Możliwe s¸a trzy przypadki:
1. R = 0, tzn. do zbioru Z należy tylko 0. Szereg (2) jest wówczas zbieżny tylko w punkcie x = 0.
2. 0 < R < +∞. Szereg (2) jest w tym przypadku zbieżny dla każdego |x| < R. Mówimy wtedy, że szereg pot¸egowy jest zbieżny w pewnym przedziale, zwanym przedziałem zbieżności. Jest to jeden z przedziałów:
(−R; +R), (−R; +R], [−R; +R), [−R; +R]
3. R = +∞. W tym przypadku szereg (2) jest zbieżny dla każdego x ∈ R.
Twierdzenie 1. (o promieniu zbieżności) Jeżeli istnieje granica λ = lim
n→∞
an+1 an
(4) to promień zbieżności szeregu (2) jest nast¸epuj¸acy
R =
0 gdy λ = +∞
1
λ gdy 0 < λ < +∞
+∞ gdy λ = 0
(5)
Przykład 1. Rozważmy szereg
∞
X
n=0
xn n + 1 Mamy tutaj
an= 1
n + 1 an+1= 1 n + 2 zatem
λ = lim
n→∞
n + 1 n + 2 = 1 wi¸ec R = 1.
Dla x = −1 szereg
∞
X
n=0
(−1)n n + 1
jest zbieżny na podstawie kryterium Leibniza, a dla x = 1 szereg
∞
X
n=0
1 n + 1
jest rozbieżny. Przedziałem zbieżności tego szeregu jest wi¸ec przedział [−1; 1).
Przykład 2. Rozważmy szereg
∞
X
n=0
xn n!
Mamy tutaj
an = 1
n! an+1= 1 (n + 1)!
zatem
λ = lim
n→∞
1 n + 1 = 0
wi¸ec R = +∞. Przedziałem zbieżności tego szeregu jest wi¸ec przedział (−∞; +∞).
Przykład 3. Rozważmy szereg
∞
X
n=0
n!xn Mamy tutaj
an= n! an+1= (n + 1)!
zatem
λ = lim
n→∞(n + 1) = +∞
wi¸ec R = 0. Szereg jest zbieżny tylko w punkcie x = 0.
Twierdzenie 2. (o promieniu zbieżności) Jeżeli istnieje granica λ = lim
n→∞
qn
|an| (6)
to promień zbieżności szeregu (2) jest nast¸epuj¸acy
R =
0 gdy λ = +∞
1
λ gdy 0 < λ < +∞
+∞ gdy λ = 0
(7)
Przykład 4. Rozważmy szereg
∞
X
n=0
2nxn Mamy tutaj
λ = lim
n→∞
√n
2n= 2 wi¸ec R = 12.
Dla x = −12 szereg
∞
X
n=0
(−1)n jest rozbieżny, a dla x = 12 szereg
∞
X
n=0
1
jest także rozbieżny. Przedziałem zbieżności tego szeregu jest wi¸ec przedział −12;12.
2 Szeregi Taylora i Maclaurina
Definicja 2. Niech funkcja f ma w punkcie x0 pochodne dowolnego rzędu. Szereg potęgowy
∞
X
n=0
f(n)(x0)
n! (x − x0)n = f (x0) + f0(x0)
1! (x − x0) + f00(x0)
2! (x − x0)2+ . . . (8) nazywamy szeregiem Taylora funkcji f o środku w punkcie x0.
Uwaga. Jeżeli x0 = 0, to szereg (8) przyjmuje postać
∞
X
n=0
f(n)(0)
n! xn = f 0) + f0(0)
1! x +f00(0)
2! x2+ . . . (9)
i jest zwany szeregiem Maclaurina funkcji f .
Przykład 5. Niech f (x) = ex. Ponieważ f(n)(x) = ex dla n ∈ N ∪ {0} oraz f(n)(0) = 1, wobec tego szereg Maclaurina tej funkcji jest postaci
ex =
∞
X
n=0
1
n!xn = 1 + x +x2 2! +x3
3! + . . .
Korzystając z twierdzenia 1 łatwo pokazać, że powyższy szereg jest zbieżny dla każdego x ∈ R.
Podstawiając x = 1, otrzymujemy równość e =
∞
X
n=0
1
n! = 1 + 1 + 1 2! + 1
3!+ . . . która pozwala obliczyć wartość liczby e z dowolną dokładnością.
Podstawiając x = −1, otrzymujemy równość e−1 = 1
e =
∞
X
n=0
1
n!(−1)n = 1 − 1 + 1 2! − 1
3!+ . . . = 1 2!− 1
3!+ 1 4!− 1
5!+ . . . która pozwala obliczyć wartość liczby 1e z dowolną dokładnością.
Przykład 6. Niech f (x) = ln x. Df = R+ = (0, ∞), a więc funkcji nie można rozwinąć w szereg Maclaurina. Rozwiniemy tę funkcję w szereg Taylora, przyjmując x0 = 1
Ponieważ f(n)(x) = (−1)n·(n−1)!xn dla n ∈ N oraz f (1) = 0, f(n)(1) = (−1)n−1(n − 1)!, wobec tego szereg Taylora tej funkcji jest postaci
ln x =
∞
X
n=1
(−1)n−1
n (x − 1)n = (x − 1) −(x − 1)2
2 + (x − 1)3
3 − (x − 1)4 4 + . . . Podstawiając x = 2, otrzymujemy równość
ln 2 =
∞
X
n=1
(−1)n−1
n = 1 − 1 2 +1
3 −1 4 + . . . która pozwala obliczyć wartość liczby ln 2 z dowolną dokładnością.
3 Szeregi Fouriera
Rozważmy ci¸ag funkcyjny {ϕn(x)} ≡ 1, cosπx
d , sinπx
d , cos 2πx
d , sin2πx
d , . . . , cosnπx
d , sinnπx
d , . . . (10) gdzie d ∈ R+.
Mamy tutaj
ϕ0(x) = 1 ϕ2n−1(x) = cosnπx
d , n = 1, 2, . . . ϕ2n(x) = sinnπx
d , n = 1, 2, . . .
Zauważmy, że
Z d
−d1 · cosnπx
d dx = 0, n = 1, 2, . . .
Z d
−d
1 · sinnπx
d dx = 0, n = 1, 2, . . . a ponadto dla m 6= n mamy
Z d
−dcosmπx
d · cosnπx
d dx = 0, m, n = 1, 2, . . .
Z d
−dsinmπx
d · sinnπx
d dx = 0, m, n = 1, 2, . . .
Z d
−dsinmπx
d · cosnπx
d dx = 0, m, n = 1, 2, . . . co oznacza, że ci¸ag (8) jest ortogonalny w przedziale [−d; d].
Nast¸epnie, można obliczyć
kϕ0k2 =
Z d
−d1 dx = 2d, kϕ2n−1k2 =
Z d
−d
cos2 nπx
d dx = d, n = 1, 2, . . . , kϕ2nk2 =
Z d
−dsin2 nπx
d dx = d, n = 1, 2, . . . ,
co oznacza, że ci¸ag (8) jest zupełny w klasie funkcji całkowalnych w przedziale [−d; d].
Niech f b¸edzie funkcj¸a całkowaln¸a w przedziale [−d; d]. Szereg a0
2 +
∞
X
n=1
ancosnπx
d + bnsinnπx d
gdzie
a0 = 1 d
Z d
−d
f (x) dx, oraz dla n = 1, 2, . . .
an= 1 d
Z d
−d f (x) cosnπx d dx, bn= 1
d
Z d
−d
f (x) sinnπx d dx,
nazywamy szeregiem trygonometrycznym Fouriera funkcji f w przedziale [−d; d] i piszemy f (x) ∼ a0
2 +
∞
X
n=1
ancosnπx
d + bnsinnπx d
(11)
Definicja 3. Mówimy, że funkcja f spełnia w przedziale [−d; d] warunki Dirichleta, jeżeli 1. f jest przedziałami monotoniczna w przedziale [−d; d],
2. f jest ci¸agła w przedziale (−d; d), z wyj¸atkiem co najwyżej skończonej liczby punktów xk ∈ (−d; d), k = 1, 2, . . . , N , N ∈ N, przy czym w każdym z tych punktów spełniony jest warunek
f (xk) = 1
2· [f (xk−) + f (xk+)] , k = 1, 2, . . . , N gdzie
f (xk−) = lim
x→x−k
f (x), f (xk+) = lim
x→x+k
f (x),
3. w końcach przedziału [−d; d] spełnione s¸a równości f (−d) = 1
2 · [f (−d+) + f (d−)] , f (d) = 1
2 · [f (−d+) + f (d−)] .
Twierdzenie 3. Jeżeli funkcja f spełnia w przedziale [−d; d] warunki Dirichleta, to jest w tym przedziale rozwijalna w szereg trygonometryczny Fouriera
f (x) = a0 2 +
∞
X
n=1
ancosnπx
d + bnsinnπx d
(12) dla każdego x ∈ [−d; d]. Jeżeli ponadto funkcja f jest okresowa i ma okres 2d, to wzór (9) jest prawdziwy w całej dziedzinie funkcji f .
Uwaga. Jeżeli funkcja f , spełniaj¸aca w przedziale [−d; d] warunki Dirichleta, jest parzysta, to bn = 0 dla n ∈ N oraz
a0 = 2 d
Z d 0
f (x) dx, an= 2
d
Z d 0
f (x) cosnπx
d dx, n ∈ N.
Jeżeli natomiast funkcja f , spełniaj¸aca w przedziale [−d; d] warunki Dirichleta, jest nieparzysta, to a0 = 0, an= 0 dla n ∈ N oraz
bn = 2 d
Z d 0
f (x) sinnπx
d dx, n ∈ N.
Przykład 7. Rozwin¸ać w szereg trygonometryczny Fouriera funkcj¸e
f (x) =
0 dla x = −d,
−1 dla − d < x < 0,
0 dla x = 0,
1 dla 0 < x < d,
0 dla x = d.
Funkcja f spełnia warunki Dirichleta w przedziale [−d; d], jest wi¸ec rozwijalna w szereg Fouriera.
Ponieważ jest to funkcja nieparzysta, zatem an= 0 dla n = 0, 1, 2, . . .. Obliczymy współczynniki bn, n = 1, 2, . . .
bn = 2 d
Z d 0
sinnπx
d dx = 2
nπ [1 − cos nπ] = 2
nπ [1 − (−1)n] St¸ad
bn=
0 dla n parzystych
4
nπ dla n nieparzystych Mamy wi¸ec
f (x) = 4 π
∞
X
n=1
1
2n − 1sin(2n − 1)πx
d = 4
πsinπx d + 4
3πsin3πx d + 4
5πsin5πx d + . . . dla każdego x ∈ [−d; d].
Przykład 8. Rozwin¸ać w szereg trygonometryczny Fouriera funkcj¸e f (x) = |x| w przedziale [−π; π].
Funkcja f spełnia warunki Dirichleta w przedziale [−π; π], jest wi¸ec rozwijalna w szereg Fouriera.
Ponieważ jest to funkcja parzysta, zatem bn = 0 dla n = 1, 2, . . .. Obliczymy współczynniki an, n = 0, 1, 2, . . .
a0 = 2 π
Z π 0
x dx = 2 π · π2
2 = π, an= 2
π
Z π
0
x cos nx dx = 2
n2π · [cos nπ − 1] = 2
n2π · [(−1)n− 1].
St¸ad
an =
0 dla n parzystych
−4
n2π dla n nieparzystych Mamy wi¸ec
f (x) = π 2 − 4
π
∞
X
n=1
1
(2n − 1)2 cos(2n − 1)x = π 2 − 4
π cos x − 4
9πcos 3x − 4
25πcos 5x − . . . dla każdego x ∈ [−π; π].
Rozważmy funkcj¸e f , która jest określona i spełnia pierwsze dwa warunki Dirichleta w przedziale (0; d). Funkcj¸e t¸e można przedstawić w przedziale (0; d) jako sum¸e szeregu Fouriera składaj¸acego si¸e z samych sinusów albo z samych cosinusów. W tym celu należy rozpatrzyć funkcj¸e pomocnicz¸a ˜f , określon¸a w przedziale [−d; d] i stanowi¸ac¸a stosownie dobrane przedłużenie funkcji f .
Aby otrzymać rozwini¸ecie funkcji f w szereg sinusów, należy przedłużyć t¸e funkcj¸e w sposób nieparzysty:
f (x) =˜
0 dla x = −d,
−f (−x) dla − d < x < 0,
0 dla x = 0,
f (x) dla 0 < x < d,
0 dla x = d.
Aby otrzymać rozwini¸ecie funkcji f w szereg cosinusów, należy przedłużyć t¸e funkcj¸e w sposób parzysty:
f (x) =˜
f (d−) dla x = −d, f (−x) dla − d < x < 0, f (0+) dla x = 0,
f (x) dla 0 < x < d, f (d−) dla x = d.
Przykład 9. Rozwin¸ać w szereg trygonometryczny samych cosinusów funkcj¸e f (x) = x w przedziale (0; π).
Funkcj¸e f przedłużamy w sposób parzysty
f (x) =˜
π dla x = −π,
−x dla − π < x < 0,
0 dla x = 0,
x dla 0 < x < π,
π dla x = π.
Łatwo zauważyć, że ˜f (x) = |x| dla x ∈ [−π; π]. Korzystaj¸ac wi¸ec z przykładu poprzedniego możemy napisać
f (x) =˜ π 2 − 4
π
∞
X
n=1
1
(2n − 1)2 cos(2n − 1)x = π 2 − 4
π cos x − 4
9πcos 3x − 4
25πcos 5x − . . .
dla każdego x ∈ [−π; π], czyli f (x) = π
2 − 4 π
∞
X
n=1
1
(2n − 1)2 cos(2n − 1)x = π 2 − 4
π cos x − 4
9πcos 3x − 4
25πcos 5x − . . . dla każdego x ∈ (0; π).
Przykład 10. Rozwin¸ać w szereg trygonometryczny samych sinusów funkcj¸e f (x) = x w przedziale (0; π).
Funkcj¸e f przedłużamy w sposób parzysty
f (x) =˜
0 dla x = −π,
x dla − π < x < 0,
0 dla x = 0,
x dla 0 < x < π,
0 dla x = π.
Obliczamy współczynniki bn, n = 1, 2, . . . bn= 2
π
Z π 0
x sin nx dx = 2
n · (−1)n−1. Zatem
f (x) =˜
∞
X
n=1
2 · (−1)n−1
n sin nx = 2 sin x − sin 2x +2
3sin 3x − . . . dla każdego x ∈ [−π; π], czyli
f (x) =
∞
X
n=1
2 · (−1)n−1
n sin nx = 2 sin x − sin 2x +2
3sin 3x − . . . dla każdego x ∈ (0; π).
