Przykładowy zestaw przed sprawdzianem z „elementów badania funkcji”
Zestaw A Zestaw B
Zadanie 1
Obliczyć:
a =n→∞ lim
1 n 7 n 3 5
2 n
3 +
+
−
b =n→∞ lim
n sin 3 n ) 1 ( n 7
) n 2 7 ( arctg 2 n 5 n 3
n 2
2
+
− +
+ +
+
Obliczyć:
a =
∞
→ n
lim n
1 n 2 7
n 2
3
−
−
b =n→∞ lim
n arctg 3 n ) 1 ( n 5
) 2 n 3 cos(
2 n 5 n 3
n 2
2 2
+
− +
+ +
+
Zadanie 2
Czy podany ciąg jest zbieŜny, czy ma granicę (jaką) ?
∀n∈N an ≡
3 n ) 1 ( n 7
2 n 5 n 3
2 n
2 +
− +
+ +
∀n∈N bn ≡
n 2 n 1
n
2
+
−
Czy podany ciąg jest zbieŜny, czy ma granicę (jaką) ?
∀n∈N an ≡ 5n2 −3n −3n
∀n∈N bn ≡
n n 1
n
2
+
−
Zadanie 3
Niech f(x) ≡
<
+
−
≥ 1 x dla 1 x
0 x dla e
2 x 2
Sprawdzić, czy f jest bijekcją. JeŜeli tak, to znaleźć funkcję odwrotną . Narysować f i f−1.
Obliczyć:
g =x→0+
lim
( )
3x5
x 2 1+sin
h =
4 x 3
x lim 2
x→−∞ 2 +
Zadanie 4
g = x→0+
lim 4 3lnx x 3 sin 2 x3
− + h =x→0+
lim
(
sin3x)
tg2xAsymptoty:
f(x) ≡ x 1 e ) 1 x ( −
g(x) ≡ 3 x 1 xe −
Zadanie 5
Monotoniczność, wypukłość, ekstrema i pp dla:
f(x) ≡ x ln
x2
Monotoniczność, wypukłość, ekstrema i pp dla:
f(x) ≡ x−2arctgx
Odpowiedzi
Zestaw A Zestaw B
Zadanie 1 a = 3
49 e
−
; b = 7
5 a = 1; b =
5 3
Zadanie 2
{an}n∈N– rozbieŜny i nie ma granicy (wskazać dwa podciągi zbieŜne do
róŜnych granic) {bn}n∈N– zbieŜny do e−6
{an}n∈N– rozbieŜny do - ∞ {bn}n∈N– rozbieŜny i nie ma granicy
(wskazać dwa podciągi zbieŜne do róŜnych granic)
Zadanie 3
Jest bijekcją
f-1 (x) ≡
<
−
≥ 1 x dla x 1
0 x dla x 2ln
1 g = 3
10
e h = – 3 2
Zadanie 4 g = 0 ; h = 1
Dla f:
X = 0 – pionowa prawostronna y = x ukośna
Dla g:
X = 3 – pionowa lewostronna y = x – 1 ukośna
Zadanie 5 Min w ( e); pp. w (e2) Min w (1); max w (– 1) ; pp. w (0)
Uwaga: Nie wykluczam pomyłek rachunkowych lub błędów kopiowania w odpowiedziach.
