Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych Wykład 5 - Sterowanie w przestrzeni złączy dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski

(1)

Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych

Wykład 5 - Sterowanie w przestrzeni złączy

dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski

Instytut Automatyki i Robotyki

Warszawa, 2019

(2)

Zadanie sterowania

Sterowanie manipulatorów polega na wyznaczaniu przebiegów czasowych wejściowych sygnałów sterujących poszczególnych złącz układu wieloczło- nowego, pod wpływem których koncówka układu będzie wykonywać zadany ruch. W zależności od struktury układu sterowania, sygnałami wejściowymi mogą być siły uogólnione (tzn. siły lub momenty sił) wywierane przez na- pędy na poszczególne złącza lub sygnały napędów, np. napięcia wejściowe silników.

Zadany ruch jest zazwyczaj określany jako sekwencja położeń i orientacji końcówki manipulatora lub też jako ciągła ścieżka ruchu.

(3)

Cele sterowania

Sterowanie pozycyjne

W przypadku sterowania pozycyjnego, celem układu wieloczłonowego jest uzyskanie określonego położenia i oreintacji docelowej, bez względu na to po jakiej trajektori manipuator się porusza.

Śledzenie trajektorii

W przypadku śledzenia trajekorii, celem układu wieloczłonowego jest od- twarzanie zadanej trajetorii. Trajektoria jest określona w przestrzeni złączy lub w przestrzeni kartezjańskiej, najczęściej w postaci krzywej zadanej pa- rametrycznie, lub explicite jako funkcja czasu. Ponadto znane są przebiegi prędkości i przyspieszenia wzdłuż krzywej.

(4)

Zadanie mechanizmu wieoczłonowego

Zadanie, które ma wykonać mechanizm wieloczłonowy jest zwykle definio- wane w przestrzeni kartezjańskiej (przestrzeni zadań), natomiast sygnały sterujące oddziałują w przesztrzeni konfiguracyjnej (przestrzeni złączy).

Prowadzi to do rozważania dwóch podstawowych kategorii układów sterowania układów wieloczłonowych

uklad sterowania w przestrzeni złączy, układ sterowania w przestrzeni zadań.

W obydwu przypadkach wykorzystywane jest sprzężenie zwrotne ze względu na jego właściwości, takie jak odporność na niedokładność parametrów układu i redukowanie wpływu zakłóceń.

(5)

Sterowanie w przestrzeni zadań i w przestrzeni złączy

Rysunek:Schemat blokowy układu sterowania w przestrzeni złączy

Gdzie: xd - wektor wejściowy opisujący zadane położenie i orientację koncówki w przestrzeni zadań, qd - wektor zadanych współrzędnych uogólnionych w przestrzeni złączy, x - wektor rzeczywistego położenia i orientacji końcówki w przestrzeni zadań, q - wektor rzeczywistych współrzędnych uogólnionych w przestrzeni złączy.

Sterowanie w przestrzeni złączy bazuje na obliczeniu kinematyki odwrotnej off-line.

Wadą sterowania w przestrzeni złączy jest to, że wielkości wejściowe określone w przestrzeni zadań nie są objęte pętlą sprzężenia zwrotnego i są właściwie regulowane w układzie otwartym. Zatem jakakolwiek niedokładność struktury mechanicznej (np. luzy w przegubach, nieprecyzyjność w określeniu położenienia końcowki manipulatora) prowadzi do pogorszenia dokładności działania uładu sterowania.

(6)

Sterowanie w przestrzeni zadań i w przestrzeni złączy

Rysunek:Schemat blokowy układu sterowania w przestrzeni zadań

Sterowania w przesztrzeni zadań, wymaga większegoy nakładu mocy obliczeniowej, gdyż obliczanie kinematyki odwrotnej jest wykonywane on-line przez regulator, objęty pętlą sprzężenia zwrotnego. Zaletą tego układu jest oddziaływanie bezpośrednio na zmienne w przestrzeni zadań. Ponieważ sensory mierzą zwykle dokładnie położenia w przestrzeni złączy, wymagane jest wyznaczenie (estymacja) aktualnych wartości zmiennych w przestrzeni zadań.

(7)

Sterowanie w przestrzeni złączy

Jedną z najbardziej popularnych metod sterowania pozycyjnego w robotyce jest metoda modelu odwrotnego. Jest to metoda linearyzacji i dekompo- zycji modelu matematycznego manipulatora, dzięki której można sterować niezależnie wszystkimi ramionami robota z wykorzystaniem technik ste- rowania obiektami liniowymi.

Metoda modelu odwrotnego ma tę zaletę w porównaniu z innymi metodami linearyzacji (np. rozwinięcie w szereg Taylora) modelu, że kompensuje nieliniowości w całym zakresie zmian współrzędnych złączowych (Q), a nie tylko w pobliżu punktu, wokół którego line- aryzujemy model.

(8)

Sterowanie układami drugiego rzędu - Rozdzielenie prawa sterowania

Zależy nam na tym, żeby układ liniowy drugiego rzędu m¨x + b ˙x + kx = f doprowadzić do postaci, w której opisujemy ruch masy jednostkowej przy wymuszeniu f⁰

¨

x = f⁰ (1)

Z drugiej strony, chcemy również swobodnie dobierać sztywność oraz tłumienie układu zamkniętego niezależnie od parametrów układu (czyli m, b i k)

¨

x + kvx + k˙ px = 0 (2)

Z powyższych równań wynika, że wartość wejścia f⁰ należy obliczyć z:

f⁰= −kvx − k˙ px (3)

co stanowi prawo sterowania o pożądanej sztywności kp i tłumieniu kv

(część sprzężeniowa)

(9)

Sterowanie układami drugiego rzędu - Rozdzielenie prawa sterowania

Jeżeli do równania ruchu układu otwartego oryginalnego układu m¨x + b ˙x + kx = f podstawimy ¨x = f⁰, mamy

f = mf⁰+ b ˙x + kx (4)

ogólnie zapisujemy (tzw. modelowa część prawa sterowania)

f = αf⁰+ β (5)

gdzie

α = m

β = b ˙x + kx (6)

Część modelowa sprawia, że mamy liniową zależność między nowym wejściem f⁰ sterującym masą jednostkową (bez tarcia i sprężystości) a faktycznym wejściem sterującym f .

(10)

Sterowanie układami drugiego rzędu - Rozdzielenie prawa sterowania

Część modelowa

f = mf⁰+ b ˙x + kx Część sprzężeniowa (prawo sterowania)

f⁰= −kvx − k˙ px

(11)

Sterowanie układami drugiego rzędu - Sterowanie nadążne

Zadana jest trajektoria (¨xd, ˙xd, xd)

Prawo sterowania dla uchybów e = xd− x i ˙e = ˙xd− ˙x ma postać:

f⁰= ¨xd+ kve + k˙ pe (7)

Z zależności f⁰= ¨x oraz ¨e = ¨x_d− ¨x mamy:

¨

e + k_ve + k˙ _pe = 0 (8)

(12)

Sterowanie układami drugiego rzędu - Eliminowanie zakłóceń

Równanie uchybu układu o zamkniętej pętli

¨

e + kve + k˙ pe = fdist (9) W stanie ustalonym ¨e = ˙e = 0 mamy:

e = fdist/kp (10)

czyli im większe wzmocnienie tym mniejsza odchyłka w stanie ustalonym

(13)

Sterowanie układami drugiego rzędu - Eliminowanie zakłóceń

Prawo sterowania z członem całkującym (PID) eliminuje odchyłkę w stanie ustalonym:

f⁰ = ¨x_d+ k_ve + k˙ _pe + k_i Z

edt (11)

Wadą tego podejścia jest występowanie przeregulowania, dlatego też częściej stosuje się regulator postaci PD+I

f⁰= ¨xd+ kve + k˙ pe + ki

Z

(kve + k˙ pe)dt (12)

(14)

Sterowanie w przestrzeni złączy - Odsprzęganie

Rysunek:Schemat blokowy układu sterowania z modelem odwrotnym

(15)

Sterowanie w przestrzeni złączy - Odsprzęganie

W strukturze sterowania możemy wyróżnić dwie pętle sprzężenia zwrotnego:

Pętlę wewnętrzną linearyzującą i rozdzielająca prawo sterowania na cześć modelową oraz sprzężeniową

Pętlę zewnętrzną sprzężenia zwrotnego pozwalającą na sterowanie manipulatora w żądany sposób

Głównym wymaganiem przy stosowaniu metody odwrotnego modelu do sterowania jest konieczność zapewnienia dokładnych oraz szybkich pomia- rów współrzędnych złączowych, oraz znajomość dokładnych wartości para- metrów kinematycznych i dynamicznych. W rzeczywistości jest to zawsze obarczone błędami, co powoduje ze stosowane są różne metody kompen- sacji niedokładności w trakcie pracy robota (kompensacja w czasie rzeczy- wistym).

(16)

Sterowanie w przestrzeni złączy - odsprzęganie

Dynamika układu wieloczłonowego ma postać

τ = M(Q) ¨Q + V (Q, ˙Q) + G (Q) + F (Q, ˙Q) (13) Gdy dynamika manipulatora jest znana, prawo sterowania może zostać zapisane jako:

τ = ˆM(Q) · U + ˆH(Q, ˙Q) (14) gdzie: ˆM(Q) oraz ˆH(Q, ˙Q), stanowią oszacowania ˆM(Q) ' M(Q), H(Q, ˙Q) ' V (Q, ˙Q) + G (Q) + F (Q, ˙Q).

Natomiast syngały sterujące po odsprzęgnięciu przyjmują postać U = ¨Qd+ KV · ˙Qd− ˙Q

+ KP· (Qd− Q) (15) gdzie: KV = diag[kvi] ∈ R^n×n, KP = diag[kpi] ∈ R^n×n - macierze

wzmocnień regulatorów w przegubach.

(17)

Sterowanie w przestrzeni złączy - odsprzęganie

Po podstawieniu (2) i (3) do (1) otrzymuje się zależność Mˆ

(Q) · ¨Qd+ KV · ( ˙Qd− ˙Q

+KP·(Qd− Q)+ ˆH(Q, ˙Q)] = M(Q) ¨Q+H(Q, ˙Q) (16) Ostatecznie otrzymuje się tzw. równanie błędu postaci

E + K¨ _V · ˙E + K_P· E = ˆM⁻¹·

∆M(Q) · ¨Q + ∆H(Q, ˙Q)

(17)

∆M(Q) = M(Q) − ˆM(Q) (18)

∆H(Q, Q) = H(Q, ˙Q) − ˆH(Q, ˙Q) (19)

E = (Qd− Q) (20)

(18)

Sterowanie w przestrzeni złączy - odsprzęganie

W przypadku gdy model jest całkowicie znany, zachodzą zależności:

M(Q) = ˆM(Q) ⇒ ∆M(Q) = 0 (21) H(Q, ˙Q) = ˆH(Q, ˙Q) ⇒ ∆H(Q, ˙Q) = 0 (22) otrzymuje się liniowe równanie błedu:

E + K¨ _V · ˙E + K_P· E = 0 (23) W idealnym przypadku, po odsprzęgnieciu, porzez odpowiedni dobór stałych K_V oraz K_P, uzyskać można żądaną odpowiedź układu regulacji.

(19)

Sterowanie w przestrzeni złączy - odsprzęganie

Rysunek:Schemat układu sterownia przy pomocy modelu odwrotnego - odsprzęganie

Schemat ten pokazuje kilka istotnych elementów, na które należy zwrócić uwagę. Po pierwsze wymagana jest zajomość wszystkich zmiennych przegubowych, oraz ich pochodnych - co wymaga dla danej trajektorii efektora rozwiązania zadania kinematyki odwrotnej. Po drugie, wymagany jest pomiar lub estymacja wektora ˙Q.

(20)

Sterowanie w przestrzeni złączy - odsprzęganie

Osiąnięcie idealnej sytuacji w praktyce jest bardzo trudne. Głównie z powodu zmien- ności wartości parametrów modelu. W wiekszości sytuacji nie znany jest idealny model obiektu. Występuje także wiele zjawisk trudnych do modelowania (m.in. tarcie, luzy przekładni).

W celu minimalizacji wpływu tych czynników na jakość sterowania wprowadza się do układu sterowania moduły oparte na układach dynamicznych, modelujących on-line zachowanie układu wieloczłonowego (np. sieci neuronowe, obserwatory stanu). Możliwe są różne podejścia:

Kompensacja on-line: element dynamiczny może być użyty w celu generacji dodatkowego momentu kompensującego efekty związane z niepewnościami w układzie wieoczłonowym.

Uczenie off-line i kompensacja on-line: element dynamiczny może modelować składowe sprzężenia linearyzującego związane z modelem manipulatora, zmieniając parametry modelu podczas pracy układu jeśli zajdzie taka potrzeba.

(21)

Sterowanie w przestrzeni złączy - odsprzęganie i kompensacja on-line

Rysunek:Schemat układu sterownia przy pomocy modelu odwrotnego - odsprzęganie i kompensacja on-line

(22)

Sterowanie w przestrzeni złączy - odsprzęganie, uczenie off-line oraz modyfikacja on-line

Rysunek:Schemat układu sterownia przy pomocy modelu odwrotnego - uczenie off-line oraz modyfikacja on-line

(23)

Wybór napędów złączy

Wybór napędów złączy (silniki z przekładniami mechanicznymi) ma wpływ na wybór odpowiedniej strategii sterowania.

Wykorzystanie silników elektrycznych z przekładniami (gearboxes) do napędzania ogniw układu wieloczłonowego.

Stosowanie dużych przełożeń prowadzi do linearyzacji dynamiki układu wieloczłonowego, wskutek czego następuje odsprzęganie poszczególnych złączy. Negatywnym efektem jest zwiększenie wpływu tarcia w złączach, występowanie elastyczności i luzu. Może to bardziej ograniczyć efektywność działania układu wieloczłonowego niż siły inercji odśrodkowe i Coriolisa.

Wykorzystanie napędów bezpośrednich (ang. direct drives) do napędzania ogniw układu wieloczłonowego. Są to zwykle silniki prądu stałego z magnesami trwałymi, charakteryzujące się dużym momentem obrotowym, połączone mechanicznie z osią złącza.

Pominięcie przekładni eliminuje lub zmniejsza występowanie tarcia, elastyczności i luzu, ale wpływ nieliniowości dynamiki i sprzężeń między złączami staje się istotny. Wymaga też znacznie bardziej złożonych algorytmów sterowania

(24)

Niezależne sterowanie osiami robota

Założenia upraszczające:

z punktu widzenia układu sterowania każda oś jest autonomiczna, czyli mamy układ o jednym wejściu i jednym wyjściu,

regulator jest układem liniowym,

sprzężenia dynamiczne pomiędzy stopniami swobody są dostatecznie małe i są traktowane jako zakłócenia.

(25)

Niezależne sterowanie osiami robota/silnik z przekładnią

τ_m= k_mi_a – moment obrotowy wirnika, gdzie i_a – natężenie prądu twornika, k_m – stała momentu silnika

η – przełożenie przekładni

I_m, I – momenty bezwładności wirnika i koła zamachowego

bm, b – współczynnik tarcia wiskotycznego w łożyskach wirnika i koła zamachowego

(26)

Niezależne sterowanie osiami robota

Silnik z przekładnią

Moment obrotowy w zależności od zmiennych obciążenia

τ = I + η²Im ¨q + b + η²bm ˙q (24)

gdzie: I + η²Im – zredukowany moment obrotowy, b + η²bm – tłumienie zastępcze.

(27)

Niezależne sterowanie osiami robota

Założenia upraszczające, wynikające z zastosowania przekładni:

Indukcyjność silnika może być pominięta.

Zakładając duże przełożenia zredukowany moment bezwładności jest stały i równy I_max + η²I_m.

Podatności manipulatora są pomijane, ale przy ustalaniu współczynników wzmocnienia należy wziąć pod uwagę częstość rezonansu strukturalnego ωrez - do jego oszacowania należy okonać analizy częstotliwościowej układu.

(28)

Niezależne sterowanie osiami robota

Sterowanie jednym stopniem swobody Stosujemy rozdzielne prawo sterowania

(α = I_max + η²I_m β = b + η²bm

(25)

Wejście sterujące

τ⁰ = ¨qd+ kve + k˙ pe (26) Wzmocnienia (zależne od częstotliwości rezonansu strukturalnego - ωrez)





 kp=1

4ω²_rez k_v = 2pk_p= ω_rez

(27)

(29)

Sterowanie układami nieliniowymi

Linearyzacja lokalna (wokół punktu pracy) np. za pomocą rozwinięcia w szereg Taylora nie nadaje się do sterowania manipulatorami.

Metoda rozdzielonego prawa sterowania pozwala na linearyzację układu nieliniowego w całym zakresie współrzędnych.

(30)