Elementy algebry i geometrii analitycznej Informatyka Semestr zimowy 2016/2017 Przykªadowe zadania UWAGA: W ka»dym z podpunktów nale»y odpowiedzie¢ TAK albo NIE. 1. W zbiorze Q okre±lamy dziaªanie ◦: a ◦ b =

Elementy algebry i geometrii analitycznej Informatyka

Semestr zimowy 2016/2017 Przykªadowe zadania

UWAGA: W ka»dym z podpunktów nale»y odpowiedzie¢ TAK albo NIE.

1. W zbiorze Q okre±lamy dziaªanie ◦: a ◦ b =

. (a) 3 ◦ 5 = 2.

(b) Dziaªanie ◦ jest ªaczne.

(c) Dziaªanie ◦ jest przemienne.

(d) Para (Q, ◦) jest grupa.

(e) Elementem neutralnym dziaªania ◦ jest 0.

2. Niech (G, ◦) bedzie dowolna grupa, a, b, c ∈ G.

(a) Dziaªanie ◦ jest ªaczne.

(b) Je»eli b i c sa elementami odwrotnymi do a, to b = c.

(c) Je»eli a ◦ b = a ◦ c, to b = c.

(d) Je»eli a ◦ b = c ◦ a, to b = c.

3. Podana para jest grupa:

(a) (N.+) (b) (Q, +)

(c) (N, ·) (d) (R

, ·)

(e) (R

, +)

4. Dane sa permutacje σ = (2 6 3 1 4 5), π = (6 2 5 1 4 3).

(a) σπ = πσ.

(b) σ

= π .

(c) Permutacja π jest parzysta.

(d) Permutacja σ jest cyklem dªugo±ci 5.

(e) Permutacja π jest transpozycja.

5. Niech (P, +, ·, 0, 1) bedzie dowolnym pier±cieniem z jedynka. Wówczas:

(a) ka»dy element a ∈ P posiada dokªadnie jeden element przeciwny wgledem +;

(b) ka»dy element a ∈ P posiada dokªadnie jeden element odwrotny wzgledem ·;

(c) · jest rozdzielne wzgledem +;

(d) + jest rozdzielne wzgledem ·;

(e) 1 · a = a dla dowolnego a;

6. Niech (P, +, ·, 0, 1) bedzie dowolnym pier±cieniem z jedynka. Wówczas:

(a) 0 · a = 0 dla ka»dego a ∈ P ; (b) −a = (−1) · a dla ka»dego a ∈ P ;

(c) je»eli a · b = 0, to a = 0 lub b = 0;

(d) 1 · a = 0 dla ka»dego a ∈ P . 7. W pier±cieniu (Z, ⊕

, 

, 0, 1)

(a) elementem odwrotnym wzgledem 

do 6 jest 2;

(b) 7 

6 = 2 ;

(c) ka»dy element posiada element przeciwny wzgledem ⊕

; (d) ka»dy element a 6= 0 posiada element odwrotny wzgledem 

;

(e) dziaªanie 

jest rozdzielne wzgledem ⊕

; 8. Niech z = 1 − i

(a) arg z =

;

(b) z jest pierwiastkiem równania z

− (4 + i)z + 3 + 3i = 0 ; (c) Re z = 1;

(d) Im z = −i;

(e) z

jest liczba rzeczywista;

9. Dane sa macierze A =

 2 −1

−1 1



, B =  1 1 1 2



(a) B = A

;

(b) A + B jest macierza odwracalna;

(c) A · B = B · A;

(d) A

= B ;

10. Niech A =  1 0 1 2 −1 1



, B =  3 −1 0

2 2 1

 , C =





2 1

−1 0 1 1



 , D =

 5 −1 2

6 0 3



(a) 2A + B = D;

(b) mno»enie A · B jest niewykonalne;

(c) rz A = 3;

(d) rz B = 2;

(e) A · C = D;

11. Niech A, B ∈ M

(R).

(a) Je»eli A i B sa odwracalne, to A · B jest odwracalna.

(b) Je»eli A

jest odwracalna, to A jest odwracalna.

(c) Je»eli A i B sa odwracalne, to A + B jest odwracalna.

(d) Je»eli rzA = n, to macierz A jest odwracalna.

(e) Je»eli rzA < n, to macierz A nie jest odwracalna.

(f) Para (M

(R), +) jest grupa.

12. Niech A

, A

, A

bada kolumnami macierzy A ∈ M

(R), za± B = [A

+ 2A

A

+ A

− 2A

] .

(a) det[A

A

A

] = det[A

A

A

] ; (b) detA = detB;

(c) detB = 2detA;

(d) detB = −2detA;

13. Niech K bedzie dowolnym ciaªem, n ≥ 2 liczba naturalna, A, B ∈ M

(K), λ ∈ K:

(a) det(λA) = λdetA;

(b) det(λA) = λ

detA;

(c) det(A + B) = detA + detB;

(d) det(A · B) = detA · detB;

14. Niech A





−1 1 2

3 0 −1

1 2 0



 , B =





5 1 0

9 0 −3

−1 0 0



 (a) detA · B = 0;

(b) detA = 3detB;

(c) rzA = 3;

(d) rzA − rzB = 1;

15. Ukªad równa«: 





x − y + z + 2t = 3 5x − y + 3z − t = 10

−x + y − z − 2t = 6 (a) ma niesko«czenie wiele rozwiaza«;

(b) ma dokªadnie jedno rozwiazanie;

(c) jest ukªadem Cramera;

(d) nie ma rozwiaza«;

16. Ukªad równa«: 





x − y + 2z + t = −1 2x + y − z + 3t = 0

−x + y − 2z + t = 4 (a) ma cztery rozwiazania;

(b) ma niesko«czenie wiele rozwiaza« zale»nych od 2 parametrów;

(c) ma niesko«czenie wiele rozwiaza« zale»nych od 1 parametru;

(d) ma dokªadnie jedno rozwiazanie;

17. Niech U = {(x, y, z) ∈ R

| x + 2y + 3z = 0} i niech w = (1, 0, 1) (a) U jest podprzestrzenia przestrzeni R

;

(b) (3, 0, −1) ∈ U;

(c) ∀u ∈ U (u + w /∈ U);

(d) ∀λ ∈ R(λw ∈ U ⇒ λ = 0);

18. Niech U = L((2, 1, 0), (1, −1, 1)) (a) (1, 1, 1) ∈ U;

(b) (4, −1, 2) ∈ U;

(c) dla dowolnych x, y ∈ U, x + y ∈ U;

(d) dla dowolnych x ∈ U, λ ∈ R, λx ∈ U;

19. Rozwa»my przestrze« R

(a) wektory (1, 1), (1, 0), (0, 10) sa liniowo niezale»ne;

(b) wektory (1, 1), (1, 0), (0, 10) sa sa baza R

;

(c) wektor (2, 5) jest kombinacja liniowa wektorów (1, 2), (0, 6);

(d) wektory (3, 0), (3, 2) generuja R

;

(e) ka»dy wektor R

jest kombinacja liniowa wektorów (2, 0), (6, 0);

20. Niech f : R

→ R

, f(x, y, z) = (x − y + z, x + y) (a) f(1, 1, 1) = (2, 2);

(b) (2, 3) ∈ Im f;

(c) odwzorowanie f jest liniowe;

(d) odwzorowanie f jest ró»nowarto±ciowe;

(e) kerf = {(t, −t, −2t)|t ∈ R};