Alfred Czoga≥a
Instytut Matematyki Uå
WstÍp do algebry liniowej i geometrii analitycznej A
Zadania
Zestaw 1: Przestrzenie wspó≥rzÍdnych CzÍúÊ B
Baza i wymiar podprzestrzeni przestrzeni wspó≥rzÍdnych
1.
Sprawdü czy dane wektory przestrzeni liniowejR2 sπ liniowo zaleøne:(a) [0, 0], (b) [1, 2], (c) [3, 1], [≠9, 3], (d) [4, 4], [1, 4], (e) [0, 0], [2, 3], (f) [7, ≠4], [≠14, 8], (g) [1, 1], [1, 0], [1, 1].
2.
Sprawdü czy dane wektory przestrzeni liniowejR3 sπ liniowo niezaleøne:(a) [3, 4, 1], [4, 1, 3], (b) [2, 0, 3], [10, 0, 15] (c) [1, 1, 0], [4, 3, 1], [1, 4, 2], (d) [4, 4, 2], [3, 1, 0], [2, 4, 1], (e) [1, 0, 1], [1, 4, 0], [1, 1, 0], [3, 2, 1].
3.
Sprawdü czy uk≥ad (v1, . . . , vk) wektorów przestrzeniR3 jest liniowo niezaleøny, gdzie:(a) k = 2, v1= [1, 2, 3], v2= [3, 6, 7];
(b) k = 2, v1= [4, ≠2, 6], v2= [6, ≠3, 9];
(c) k = 3, v1= [2, ≠3, 1], v2= [3, ≠1, 5], v3= [1, ≠4, 3].
4.
Wyznacz wszystkie wartoúci parametru a œ R, dla których podane wektory przestrzeni Rn sπ liniowo zaleøne, jeúli:(a) n = 3, v1= S U 1
2 3
T
V, v2= S U 4
1 5
T
V, v3= S U 2
4 a
T V,
(b) n = 3, v1= S U 1
2
≠1 T
V, v2= S U 0
1 3
T
V, v3= S U 1
1 0
T
V, v4= S U a
0 1
T V, (c) n = 2, v1=
5 1 3
6
, v2= 5 ≠7
a 6
.
5.
Sprawdü czy dane wektory tworzπ bazÍ przestrzeniR2:(a) [1, 0], [1, 1], (b) [1, 5], [≠3, ≠15], (c) [3, 3], [1, 8], (d) [7, 3], [≠7, ≠3].
6.
Sprawdü czy dane wektory tworzπ bazÍ przestrzeniR3:(a) [1, 0, ≠1], [1, 1, 3], [4, 1, 1], (b) [1, 5, 0], [1, 2, 3], [1, 4, 1], (c) [1, 3, 4], [2, 7, 9], (d) [1, 1, 1], [1, 2, 3], [4, 7, 11], [3, 4, 7].
7.
Pokaø, øe wektory v1, v2 tworzπ bazÍ przestrzeniR2i znajdü wspó≥rzÍdne wektora w w tej bazie, jeøeli (a) v1= [1, ≠1], v2= [1, 1], w = [1, 2],(b) v1= [2, 1], v2= [1, 3], w = [1, 1].
8.
Pokaø, øe wektory v1, v2, v3tworzπ bazÍ przestrzeniR3i znajdü wspó≥rzÍdne wektora w w tej bazie, jeøeli (a) v1=S U 1
1 1
T V , v2=
S U 1
1 2
T V , v3=
S U 1
2 3
T V, w =
S U 6
9 14
T V . (b) v1=
S U 2
1
≠3 T V , v2=
S U 3
2
≠5 T V, v3=
S U 1
≠11 T V , w =
S U 6
2
≠7 T V.
9.
Znajdü wspó≥rzÍdne dowolnego wektora [x, y] œ R2w podanej bazie przestrzeni wektorowej R2: (a) ([7, 5], [4, 3]), (b) ([4, 3], [17, 13]), (c) ([4, 5], [1, 3]).10.
Dla jakich wartoúci parametru a œ R dana para wektorów tworzy bazÍ przestrzeni R2: (a) [1, 5], [8, a], (b) [2, 5], [4a, 7a]?11.
Dla jakiej wartoúci parametru a œ R podany uk≥ad wektorów jest bazπ przestrzeni R3: (a) ( [1, 1, 1], [1, 2, 1], [1, 0, a] ) (b) ( [1, 2, 1], [a, 1, 1], [2, 3, 2] )?12.
Sprawdü czy uk≥ad wektorów (v1, v2, v3, v4) przestrzeniK4 jest liniowo zaleøny (niezaleøny), jeøeli:1
(a) K = Z7, v1= S WW U
1 2 3 1
T XX
V, v2= S WW U
4 1 5 4
T XX
V, v3= S WW U
2 1 3 4
T XX
V, v4= S WW U
5 4 2 2
T XX V.
(b) K =R, v1= S WW U
1 2 3 1
T XX
V, v2= S WW U
4 1 5 4
T XX
V, v3= S WW U
2 1 3 4
T XX
V, v4= S WW U
6 3 10
5 T XX V.
(c) K = C, v1= S WW U
1 i 3
≠i T XX
V, v2= S WW U
4 1 5 4
T XX
V, v3= S WW U
4 + i 0 5 + 3i
5 T XX
V, v4= S WW U
5 2i
i 2
T XX V.
(d) K = Z5, v1= S WW U
1 2 3 1
T XX
V, v2= S WW U
4 1 5 4
T XX
V, v3= S WW U
2 1 3 4
T XX
V, v4= S WW U
5 4 2 2
T XX V.
Jeøeli to moøliwe, przedstaw jeden z wektorów tego uk≥adu jako kombinacjÍ liniowπ pozosta≥ych.
13.
Pokaø, øe wektory v1, v2, v3, v4tworzπ bazÍ przestrzeni Q4 i znajdü wspó≥rzÍdne wektora w w tej bazie, jeøeliv1= S WW U
1 2
≠1
≠2 T XX V, v2=
S WW U
2 3 0
≠1 T XX V, v3=
S WW U
1 2 1 4
T XX V , v4=
S WW U
1 3
≠10 T XX V, w =
S WW U
7 14
≠12 T XX V.
14.
Wyznacz bazÍ i wymiar podprzestrzeni lin(v1, v2, . . . , vn) przestrzeniQ4 gdy:(a) v1= S WW U
5 2
≠31 T XX V , v2=
S WW U
4 1
≠23 T XX V , v3=
S WW U
1 1
≠12 T XX V , v4=
S WW U
3 4
≠12 T XX V;
(b) v1= S WW U
2
≠13 5
T XX V, v2=
S WW U
4
≠31 3
T XX V, v3=
S WW U
3
≠23 4
T XX V , v4=
S WW U
4
≠115 17
T XX V, v5=
S WW U
7
≠6
≠70 T XX V;
(c) v1= S WW U
1 2 3
≠4 T XX V, v2=
S WW U
2 3
≠41 T XX V, v3=
S WW U
2
≠58
≠3 T XX V, v4=
S WW U
5 26
≠9
≠12 T XX V, v5=
S WW U
3
≠41 2
T XX V.
15.
Podany uk≥ad A wektorów dope≥nij do bazy przestrzeni Rn wektorami jednostkowymi. Dlaczego jest to moøliwe?(a) n = 3, A = ([1, 1, 2]),
(b) n = 4, A = (1, 0, 1, ≠1], [2, 3, 1, 1]), (c) n = 3, A = ([1, 1, 0], [≠1, 1, 0]).
16.
Dane sπ wektory w1, w2, v1, v2, v3przestrzeni liniowej R3. Pokaø, øe wektory w1, w2 sπ liniowo niezaleø- ne, a uk≥ad (v1, v2, v3) stanowi bazÍ przestrzeÒ R3. Sprawdü, który spoúród wektorów v1, v2, v3 moøna do≥πczyÊ do wektorów w1, w2 tak, aby otrzymaÊ bazÍ przestrzeniR3 R3:(a) w1= [1, 1, 1], w2= [3, 4, 5], v1= [1, 1, 2], v2= [2, 0, 1], v3= [4, 3, 1];
(b) w1= [1, 1, 3], w2= [1, 0, 2], v1= [1, 1, 0], v2= [2, 1, 5], v3= [3, 1, 7].
17.
Wyznacz róønymi sposobami bazÍ i oblicz wymiar podprzestrzeni lin(v1, v2, . . . , vn) < (Z7)n, jeøeli (a) v1=S WW U
1 2 0 0
T XX V, v2 =
S WW U
1 2 3 4
T XX V, v3=
S WW U
3 6 0 0
T XX V;
(b) v1= S WW U
1 2 3 4
T XX V, v2=
S WW U
2 3 4 5
T XX V, v3=
S WW U
3 4 5 6
T XX V, v4=
S WW U
4 5 6 0
T XX V;
2
(c) v1= S WW U
2 1 4 1
T XX V, v2=
S WW U
4 2 1 2
T XX V, v3=
S WW U
6 3 5 3
T XX V , v4=
S WW U
1 1 1 1
T XX V, v5=
S WW U
6 0 4 0
T XX V;
(d) v1= S U 1
2 3
T V, v2=
S U 2
3 4
T V, v3=
S U 3
2 3
T V, v4=
S U 4
3 4
T V, v5=
S U 1
1 1
T V.
18.
W przestrzeni Rn dane sπ bazy A oraz B. Oznaczmy przez E bazÍ standardowπ (e1, e2, . . . , en). ZnaleüÊ macierze przejúcia od E do A, od E do B, od A do E oraz od A do B, gdy:(a) n = 2, A = ( 5 1
2 6
, 5 ≠3
5 6
), B = ( 5 ≠1
6 6
, 5 0
4 6
);
(b) n = 3, A = ( S U 8
≠67 T V ,
S U ≠16
7
≠13 T V ,
S U 9
≠37 T
V), B = ( S U 1
≠21 T V ,
S U 3
≠12 T V ,
S U 2
1 2
T V);
(c) n = 4, A = ( S WW U
1 0 1 1
T XX V ,
S WW U
≠11 0 0
T XX V ,
S WW U
2 0 1 0
T XX V ,
S WW U
0 0 0 1
T XX
V), B = ( S WW U
1 2 0 0
T XX V ,
S WW U
≠10 2 1
T XX V ,
S WW U
1 1 1 1
T XX V ,
S WW U
1 0 0 0
T XX V).
W kaødym z powyøszych przypadków zapisaÊ wektor x1e1+· · ·+xnen jako kombinacjÍ liniowπ wektorów bazy A.
19.
Napisz wzory na zmianÍ wspó≥rzÍdnych wektorów przy przejúciu od bazy ( 5 10 6
, 5 1
1 6
) do bazy (
5 ≠1 1
6 ,
5 1 0
6
) przestrzeniR2.
20.
Napisz wzory na zmianÍ wspó≥rzÍdnych wektorów przy przejúciu od bazy ( S U 10 1
T V ,
S U 1
1 1
T V ,
S U 1
1 0
T V) do bazy (
S U 1
1 0
T V ,
S U 1
0 0
T V ,
S U 0
0 1
T
V) przestrzeni R3.
21.
Dla kaødej pary spoúród baz E, A, B z poprzedniego zadania sprawdü, czy bazy te sπ zgodnie zorientowane.22.
ObliczyÊ wspó≥rzÍdne wektora S WW U1 1 1 1
T XX
V w bazie ( S WW U
1 0 1 1
T XX V ,
S WW U
1 0 1 4
T XX V ,
S WW U
1 0
≠10 T XX V ,
S WW U
0 1 0 0
T XX
V) przestrzeni K4 jeúli charakterystyka cia≥a K jest róøna od 2 i od 3.
23.
NapisaÊ wzory na zmianÍ wspó≥rzÍdnych wektorów przy przejúciu od bazy ( S WW U1 0 1 1
T XX V ,
S WW U
1 1 1 0
T XX V ,
S WW U
1 1 0 0
T XX V ,
S WW U
1 0 0
≠1 T XX V)
do bazy ( S WW U
1 1 0 0
T XX V ,
S WW U
1 0 0 0
T XX V ,
S WW U
0 0 1 1
T XX V ,
S WW U
0 0 1
≠1 T XX
V) przestrzeni K4jeúli charakterystyka cia≥a K jest róøna od 2.
3
