Przykªadowe pytania egzaminacyjne Elementy algebry i geometrii analitycznej 1. Podana para stanowi grupe

Przykªadowe pytania egzaminacyjne Elementy algebry i geometrii analitycznej 1. Podana para stanowi grupe

P F (Z, ·) P F (R, ·) P F (Q

, +) P F (R \ {0}, +)

2. Dane sa permutacje σ =  1 2 3 4 5 6 1 5 4 6 2 3



, π =  1 2 3 4 5 6 6 2 3 4 5 1



P F σ

π =  1 2 3 4 5 6 4 5 6 3 2 1



; P F σ = π

;

P F permutacja π jest transpozycja;

P F permutacja σ jest cyklem;

3. Niech (P, +, ·, 0, 1) bedzie dowolnym pier±cieniem przemiennym z je- dynka. Wówczas:

T N (P, +) jest grupa;

T N 1 · a = a dla dowolnego a ∈ P ;

T N je»eli b i c sa elementami przeciwnymi do a wzgledem dzia- ªania +, to b = c;

T N ka»dy element a ∈ P posiada element odwrotny wzgledem dziaªania ·;

4. W pier±cieniu (Z

, ⊕

, 

, 0, 1)

P F elementem odwrotnym do 7 wzgledem 

jest 8;

P F 3 

8 = 7 ⊕

5 ;

P F nie ka»dy element posiada element przeciwny wzgledem ⊕

; P F 6 nie posiada elementu odwrotnego wzgledem 

;

5. Niech z = −1 − √ 3i P F arg z =

;

1

P F z

− 2¯ z = 0 ; P F Im z = √

3 ; P F |z| = 2 ;

6. Niech A ∈ M

(R), B ∈ M

(R).

P F Mno»enie A · B jest wykonalne;

P F A

∈ M

(R);

P F Rzad macierzy B mo»e by¢ równy 5;

P F Macierz B ma jedna kolumne;

7. Niech A ∈ M

(R), detA 6= 0, B = 3 · A.

P F B jest macierza odwracalna;

P F det B = 3

· det A;

P F A

jest macierza odwracalna;

P F rz (A · B) = 5;

8. Zbiór R

[x] wraz z dodawaniem wielomianów i mno»eniem przez liczbe rzeczywista zdeniowanych standardowo jest przestrzenia wektorowa.

P F Zbiór B = {1, x

, x

} jest baza tej przestrzeni;

P F dim (R

[x]) = 3 ;

P F Zbiór wielomianów stopnia 3 jest jej podprzestrzenia;

P F R

[x] = Lin {x

, 1, x

, x} ;

9. Funkcja f : R

→ R

, f (x, y, z) = (x + y, x − z) jest odwzorowaniem liniowym.

P F Ker f = {(0, 0, 0)};

P F f (1, 1, 1) = (2, 0) ;

P F Im f = Lin {(1, 0), (1, 1)};

P F f jest izomorzmem;

2