(2) Wyka˙z wprost z definicji, ˙ze przestrze´ n ci ag´

(1) Wska˙z w przestrzeni C([0, 1]) podprzestrze´ n sko´ nczenie wymiarow a V oraz

funkcj e f , dla kt´

orej element optymalny wzgl edem V nie jest wyznaczony jed-

noznacznie.

(2) Wyka˙z wprost z definicji, ˙ze przestrze´ n ci ag´

ow niesko´ nczonych c

:= {(x

, x

, . . .) : x

∈ R, lim

i→∞

x

= 0}

(a) nie jest ´sci´sle wypuk la (a tym samym nie jest te˙z jednostajnie wypuk la), (b) nie jest refleksywna.

(3) Wyka˙z wprost z definicji, ˙ze przestrzenie L

(a, b) i L

(a, b) nie s a ´sci´sle wypuk le.

(4) Wyka˙z, ˙ze L

(a, b) dla 1 < p < ∞ jest jednostajnie wypuk la (a wi ec te˙z ´sci´sle

wypuk la).

(5) Wyka˙z, ˙ze je´sli funkcja f : [a, b] → R jest wypuk la to dla dowolnego c zbi´or {x ∈ [a, b] : f (x) ≤ c} jest wypuk ly.

(6) Znajd´ z w L

(0, 1) (1 ≤ p < ∞) wszystkie elementy optymalne dla funkcji f (t) = t

wzgl edem podprzestrzeni (a) span(1), (b) span(1, t).

(7) Znajd´ z najlepsz a aproksymacj

e w L

([0, 1]) dla funkcji f (x) = x

wzgl edem

podprzestrzeni rozpi etej na funkcjach v

(x) = e

i v

(x) = e

.

(8) Wyka˙z, ˙ze poni˙zsze minimum min

a,b,c∈R

Z

| √

x − ax

− bx − c|

x dx jest osi agane gdy a = −8/21, b = 8/7, c = 8/35.

(9) Wyka˙z, ˙ze przestrze´ n unormowana X jest unitarna wtedy i tylko wtedy gdy spe lniona jest regu la r´ ownoleg loboku, tzn.

kf + gk

+ kf − gk

= 2(kf k

+ kgk

) ∀f, g ∈ X.

(10) Znajd´ z

min Z

−1

|x

− p(x)|

dx,

gdzie minimum jest wzi ete po wszystkich wielomianach stopnia ≤ n − 1. (Od-

powied´ z podaj ‘w j ezyku’ odpowiednich wielomian´

ow ortogonalnych.)

(11) Niech f ∈ C([a, b]) b edzie funkcj

a o dodatniej n-tej pochodnej na [a, b]. Wyka˙z,

˙ze

span(1, x, x

, . . . , x

, f (x) ) jest (n + 1)-wymiarow a podprzestrzeni

a Haara.

(12) Za l´ o˙zmy, ˙ze ˙zaden z parami r´ o˙znych punkt´ ow a

, a

, . . . , a

nie nale˙zy do prze- dzia lu [a, b]. Wyka˙z, ˙ze wtedy

span

 1

x − a

, 1

x − a

, . . . , 1 x − a



jest n-wymiarow a podprzestrzeni

a Haara w C([a, b]).

1

(13) Wyka˙z, ˙ze przestrze´ n rozpi eta na funkcjach

sin(x), sin(2x), . . . , sin(nx) jest n-wymiarow a przestrzeni

a Haara.

(14) Wyznacz wielomian p stopnia ≤ 3, kt´ ory minimalizuje sup

−1≤x≤1

| |x| − p(x) |.

(15) Znajd´ z wielomian trygonometryczny g stopnia ≤ 3, kt´ ory najlepiej aproksymuje funkcj e sin(x/2) w normie supremum na przedziale [−π, π].

(16) Wyka˙z, ˙ze wielomiany Czebyszewa (I-go rodzaju) spe lniaj a r´

owno´s´ c

T

(x) = det















x 1 0 · · · 0 0 1 2x 1 · · · 0 0 0 1 2x · · · 0 0 .. . .. . .. . .. . .. . 0 0 0 · · · 1 2x













 .

(The matrix is n × n.)

(17) Wyka˙z, ˙ze spo´sr´ od wielomian´ ow postaci p(x) = x

+ P

i=0

a

x

, n ≥ 1, naj- mniejsz a norm

e supremum na przedziale [−1, 1] ma wielomian 2

T

, gdzie T

jest n-tym wielomianem Czebyszewa (I-go rozdzaju).

(18) Znajd´ z wielomian stopnia co najwy˙zej n−1, kt´ ory najlepiej aproksymuje funkcj e

f (x) = x

w normie jednostajnej na odcinku [−1, 1].

(19) W klasie wielomian´ ow p stopnia ≤ n takich, ˙ze p(0) = 1 znajd´ z wielomian p

o najmniejszej normie jednostajnej na przedziale [1, 2].

(20) Niech X = C([a, b]) i L

: X → X b edzie operatorem przyporz

adkowuj

acym

funkcji f ∈ X jej wielomian interpolacyjny oparty na n + 1 r´ o˙znych punktach przedzia lu [a, b], tzn. L

(f ) = P

i=0

f (x

)l

, gdzie l

s a odpowiednimi wielomia-

nami Lagrange’a. Wyka˙z, ˙ze L

jest liniowy oraz

kL

k

= Λ

:= max

a≤t≤b n

X

i=0

|l

(t)|.

(21) Wyka˙z, ˙ze dla przedzia lu [a, b] = [−1, 1] i n = 2 minimalna warto´s´ c Λ

w zadaniu (20) wynosi 5/4, a je´sli w ez ly iterpolacyjne s

a zerami wielomianu Czebyszewa

T

to Λ

= 5/3.

(22) Wyka˙z, ˙ze dla ka˙zdej funkcji ci ag lej f : [a, b] → R istnieje uk lad punkt´ow

a ≤ x

< x

< · · · < x

≤ b,

taki ˙ze dla ci agu w

wielomian´ ow stopnia ≤ n interpoluj acych f w tych punk-

tach mamy

n→∞

lim kf − w

k

= 0.

Czy powy˙zsze twierdzenie pozostaje prawdziwe, je´sli zmienimy kolejno´s´ c kwan-

tyfikator´ ow; tzn. istniej a punkty j.w., takie ˙ze mamy zbie˙zno´s´

c wielomian´ ow

interpolacyjnych dla wszystkich funkcji ci ag lych.

(23) Operator liniowy L : C([a, b]) → C([a, b]) nazywamy monotonicznym gdy wa- runek f ≥ g (punktowo) implikuje L(f ) ≥ L(g). Operator jest nieujemny gdy f ≥ 0 implikuje L(f ) ≥ 0. Wyka˙z, ˙ze oba poj ecia s

a r´

ownowa˙zne.

(24) Wyka˙z nast epuj

ace w lasno´sci wielomian´

ow Czebyszewa T

. (a) (1 − x

)T

(x) − xT

(x) + n

T

(x) = 0

(b) T

(x) = T

(2x

− 1) (c) T

(T

) = T

(25) Niech w(x) = Q

i=1

(x − x

) gdzie x

= (i − 1)/(n − 1). Wyka˙z, ˙ze r 2π

n e

≤ max

0≤x≤1

|w(x)| ≤

 1 + 1

4n

 e

√

2πn.

Wskaz´ owka. Zauwa˙z, ˙ze dla w ez l´

ow x

= (2i − 1)/(2n) mamy

0≤x≤1

max |w(x)| = |w(0)|

i zastosuj wz´ or Stirlinga.

(26) Rozpatrzmy operator (Lf )(x) = P

i=1

f (x

)g

(x), gdzie a ≤ x

< · · · < x

≤ b oraz g

∈ C([a, b]). Wyka˙z, ˙ze L jest monotoniczny wtedy i tylko wtedy gdy dla wszystkich i mamy g

(x) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b].

(27) Niech L : C([a, b]) → C([a, b]) b edzie operatorem monotonicznym i liniowym

spe lniaj acym Lw = w dla wszystkich wielomian´

ow w stopnia nie wi ekszego ni˙z

dwa. Wyka˙z, ˙ze wtedy L jest operatorem identyczno´sciowym, tzn. Lf = f dla wszystkich f ∈ C([a, b]).

(28) Wyka˙z, ˙ze je´sli f jest wielomianem stopnia ≤ k to t a w lasno´s´

c ma te˙z ka˙zdy wielomian Bernsteina B

f .

(29) Niech f (x) = x

. Jak du˙ze n nale˙zy wzi a´

c, aby wielomian Bernsteina B

f aproksymowa l f z b l edem mniejszym ni˙z 10

w normie jednostajnej na [0, 1]?

(30) Wyka˙z, ˙ze je´sli f i f

s a ci

ag le na [0, 1] to dla ka˙zdego  > 0 istnieje wielomian

p taki, ˙ze kf − pk ≤  i kf

− p

k ≤ , przy czym norma jest jednostajna na [0, 1].

(31) Wyka˙z, ˙ze kB

f k ≤ kf k, gdzie norma jest jednostajna na [0, 1].

(32) Wyka˙z, ˙ze je´sli

g(x) = Z

0

f

(t)(x − t) dt to f − B

f = g − B

g.

(33) Niech X = L

([0, 1]), f (x) = x

i v

(x) = x

, k = 1, 2, . . . , n, gdzie 0 ≤ m < p

< p

< · · · < p

.

Niech V

= span(v

, v

, . . . , v

). Wyka˙z, ˙ze dist(f, V

)

= 1

2m + 1

n

Y

k=1

 m − p

m + p

+ 1



. Wskaz´ owka.

det

 1

a

+ b



!

= Q

k>l

(a

− a

)(b

− b

) Q

k,l

(a

+ b

) .

(34) Niech 0 ≤ m < p

< p

< · · · . Wyka˙z, ˙ze

n→∞

lim

n

Y

k=1

 m − p

m + p

+ 1



= 0 wtedy i tylko wtedy gdy

∞

X

k=2

1

p

= ∞.

(35) (Twierdzenie M¨ unza I) Wyka˙z, ˙ze przestrze´ n rozpi eta na funkcjach v

(x) = x

, gdzie 0 ≤ p

< p

< · · · , jest g esta w L

([0, 1]) wtedy i tylko wtedy gdy P

k=2

1/p

= ∞.

Wskaz´ owka. Skorzystaj z zada´ n 33 i 34 oraz z faktu, ˙ze podprzestrze´ n wielo- mian´ ow algebraicznych dowolnego stopnia jest g esta w L

([0, 1]).

(36) (Twierdzenie M¨ unza II) Wyka˙z, ˙ze przestrze´ n rozpi eta na funkcjach v

(x) = x

, gdzie 0 ≤ p

< p

< · · · , jest g esta w C([0, 1]) wtedy i tylko wtedy gdy

p

= 0 oraz P

k=2

1/p

= ∞.

Wskaz´ owka. Skorzystaj z zadania 35.

(37) Czy podprzestrze´ n rozpi eta na jednomianach 1, x

, x

, . . . , x

, . . ., gdzie p

s a

kolejnymi liczbami pierwszymi, jest g esta w C([0, 1])?

(38) Nier´ owno´s´ c Markowa m´ owi, ˙ze je´sli p jest wielomianem algebraicznym stopnia n to kp

k

≤ n

kpk

. Wyka˙z, ˙ze dla dowolnego przedzia lu [a, b] mamy

a≤x≤b

max |p

(x)| ≤ 2n

b − a max

a≤x≤b

|p(x)|.

(39) Dla danej funkcji f i punkt´ ow x

< x

< · · · < x

, niech H

b edzie wielomianem

stopnia ≤ 2n − 1 takim, ˙ze H

(x

) = f (x

) i H

(x

) = 0 dla i = 1, 2, . . . , n.

Wyka˙z, ˙ze H

(x) = P

i=1

f (x

)A

(x), gdzie

A

(x) = [1 − 2(x − x

)`

(x

)]`

, `

jest i-tym wielomian Lagrange’a.

(40) Poka˙z, ˙ze wielomian H

z zadania 39 mo˙zna te˙z przedstawi´ c w postaci H

(x) =

n

X

i=1

f (x

)



1 − (x − x

)W

(x

) W

(x

)

 W (x)

(x − x

)W

(x

)



, gdzie W (x) = Q

j=1

(x − x

).

Wskaz´ owka. U˙zyj formu ly

`

(x) = W (x) (x − x

)W

(x

) .

(41) Niech x

b ed

a zerami wielomianu Czebyszewa T

, tzn., x

= cos  2i − 1

2i π



, 1 ≤ i ≤ n.

Poka˙z, ˙ze wtedy wielomian H

z zadania 39 mo˙zna przedstawi´ c w postaci H

(x) = 1

n

T

(x)

n

X

i=1

f (x

) 1 − xx

(x − x

)

.

Wskaz´ owka. Pomocna mo˙ze okaza´ c si e w lasno´s´

c (a) wielomian´ ow Czebyszewa z zadania 24.

(42) Korzystaj ac z twierdzenia o zbie˙zno´sci operator´

ow dodatnich wyka˙z, ˙ze dla dowolnej funkcji f ∈ C([−1, 1]) mamy f = lim

H

, gdzie H

jest n-tym wielomianem z zadania 41.

(43) Niech φ ∈ C([−1, 1]) b edzie funkcj

a rzeczywist

a spe lniaj

ac

a warunki:

(i) φ(f − g) = φ(f ) − φ(g),

(ii) |φ(f )| ≤ λkf k,

(iii) φ(p) = 0 dla wszystkich wielomian´ ow stopnia ≤ n.

Wyka˙z, ˙ze wtedy odleg lo´s´ c dowolnego f od pdprzestrzeni wielomian´ ow stopnia

≤ n jest ograniczona z do lu przez |φ(f )|/λ.

(44) Wyka˙z, ˙ze dla dowolnego wielomianu postaci P (x) = P

k=0

c

x

mamy max

0≤k≤n

|c

| ≤ n

kP k

. Czy sta la n

jet optymalna?

(45) Niech {g

, g

, g

. . .} b edzie ci

agiem w przestrzeni Banacha F . Niech F

= span{g

, g

, . . . , g

} i L

b edzie dowolnym rzutem z F na F

. Poka˙z, ˙ze

sup

n

kL

k < ∞

wtedy i tylko wtedy gdy dla ka˙zdej f ∈ F istnieje c(f ) taka, ˙ze dla wszystkich n zachodzi

kL

f − f k ≤ c(f ) dist(f, F

).

(46) Wyznacz modu l ci ag lo´sci funkcji f (x) =

p(x) na przedziale [0, 1].

(47) Wyka˙z, ˙ze dla modu lu ci ag lo´sci danej funkcji mamy ω(δ) ≤ nω(δ/n).

(48) Wyka˙z, ˙ze je´sli f jest funkcj a monotoniczn

a to jej modu l ci

ag lo´sci jest addy-

tywny, tzn. ω(δ

+ δ

) = ω(δ

) + ω(δ

).

(49) Wyka˙z, ˙ze odleg lo´s´ c funkcji x 7→ |x| od podprzestrzeni wielomian´ ow trygono- metrycznych stopnia ≤ n wynosi co najwy˙zej π/(2n + 2).

(50) Dla danej funkcji f : R → R definiujemy jej modu l ci ag lo´sci 1-go rz

edu jako

ω

(δ) = sup

|f (x) − f (y)| oraz modu l ci ag lo´sci 2-go rz

edu (modu l Zyg-

munda) jako

ω

(δ) = sup

x

sup

|h|≤δ

|f (x + h) − 2f (x) + f (x − h)|.

Jasne jest, ˙ze je´sli lim

ω

(δ) = 0 to f jest ci ag la. Czy to samo jest prawd

a

gdy ω

zast apimy przez ω

? A co je´sli ω

(δ) ≤ Bδ

dla pewnego α > 0?

(51) W oczywisty spos´ ob zachodzi ω

(δ) ≤ 2ω

(δ). Wyka˙z, ˙ze nie istnieje c > 0 taka,

˙ze dla wszystkich funkcji ci ag lych f oraz δ > 0 mamy ω

(δ) ≥ c ω

(δ).

(52) Czy wszystkie funkcje f ci ag le na [a, b] spe lniaj

a warunek H¨

oldera,

|f (x) − f (y)| ≤ A|x − y|

dla pewnych A > 0 i α > 0?