Analiza I, ISIM Lista zada« nr 10
wersja 1.0 1. Oblicz pochodn¡ funkcji korzystaj¡c z de nicji
a) f(x) = x/2 − 1/3 b) f(x) = 5x − 9x2; c) f(x) = x +√
x d) f(x) = 1 x + 2 2. Znajd¹ równanie stycznej do krzywej (x, f(x)) w punkcie (x0, f (x0))
a) f(x) = x− 1
x + 1, x0 = 3; b) f(x) = 2x3− 5x2, x0 =−1; c) f(x) =√
x, x0 = 1.
3. Oblicz pochodne funkcji f (x) =√
2016, f (x) = x4− 3x3+ 7, f (x) = 5x7+ 5x6− 5x3, f (x) =√
x− 2ex, f (x) =√
sin x, f (x) = esin x, f (x) = sin x cos x, f (x) = log(1 + sin x),
4. Sprawd¹, »e dla |x| < 1
nlim→∞(1 + x)(1 + x2)(1 + x4)...(1 + x2n) = 1 1− x
5. Przedstaw funkcje f(x) = e−x2, g(x) = e2x i h(x) = exx−1 dla x ̸= 0 i h(0) = 1 w postaci szeregów pot¦gowych.
6. Przedstaw w postaci szeregu pot¦gowego funkcje f(x) = (1−x)1 2 i g(x) = (11+x−x)2. 7. Wiadomo, »e szereg pot¦gowy ∑∞
n=0anxn ma promie« zbie»no±ci r. Wyka», »e promie«
zbie»no±ci ka»dego z szeregów
∑∞ n=0
nanxn,
∑∞ n=0
(n2+ 1)anxn,
∑∞ n=0
an
n + 3xn,
∑∞ n=0
n4anxn
tak»e wynosi r. Przy zaªo»eniu 0 < r < ∞ oblicz promie« zbie»no±ci szeregów
∑∞ n=0
2nanxn,
∑∞ n=0
2−nanxn,
∑∞ n=0
nnanxn,
∑∞ n=0
an
n!xn,
∑∞ n=0
a2nxn.
8. Oblicz promie« zbie»no±ci szeregów
∑∞ n=0
(−1)nxn
∑∞ n=0
10nxn
∑∞ n=1
nn n!xn
∑∞ n=1
log4nxn
∑∞ n=0
(−1)n n2+ 1xn
∑∞ n=0
4nxn2
∑∞ n=0
(2n+ 5n)x2n
∑∞ n=1
1 n!xn!
∑∞ n=1
log(1 + 1/n)xn
∑∞ n=1
sin n n xn
∑∞ n=1
2n2xn!
∑∞ n=0
2nxn2
∑∞ n=1
enxn (1 + 1/n)n2
∑∞ n=0
log(1 + 3−n)xn2
∑∞ n=1
(1 + 1/n)(−1)nn2xn
∑∞ n=1
(1 + 1/n)nxn2 9. Dany szereg pot¦gowy zbie»ny jest dla pewnego x0. Poka», »e jest on zbie»ny bezwzgl¦dnie dla ka»dego |x| < |x0|.
10. Korzystaj¡c z de nicji wyprowad¹ wzór na pochodn¡ funkcji:
f (x) = x2+ x, g(x) =√
x2+ 3, h(x) = 1 2x.
11. Zbadaj, czy istnieje pochodna funkcji f(x) = |x| · x − x w punkcie x0= 0.
12. Zbadaj, czy istnieje pochodna funkcji f(x) = 3x dla x ≥ 0, f(x) = −x dla x < 0 w punkcie x0 = 0.
13. Znajd¹ równanie stycznej do krzywej(
x, x2+2x1−1)
w punkcie (1, 2).
14. Znajd¹ równanie stycznych do wykresu funkcji f(x) = 2x2x−1, które tworz¡ z osiami wspóª- rz¦dnych trójk¡t o polu 1.
15. Oblicz pochodne funkcji x2+ 2x + 4
x4− 1 , √
2x− x2, x
√1 + x3, ctgx, log tgx
arcsin(1− x), sinh x, cosh x, log sinh x, cosh(sinh x), eex2, tgx, eeex 1
x√
5− 2x, esin4x+cos4x, (12x3− 3x + 4)−68, tg5(ctg2x) 16. Udowodnij, »e je±li funkcja f jest ró»niczkowalna w punkcie x, to
f′(x) = lim
h→0
f (x + h)− f(x − h)
2h .
17. Udowodnij, »e je±li funkcja ci¡gªa ma maksima lokalne w punktach a < b, to ma równie»
minimum lokalne w pewnym punkcie a < c < b.
18. Czy istnieje funkcja f, taka »e f′(x) = m(x)dla x ∈ R?
19. Znajd¹ styczn¡ do wykresu funkcji f(x) = |x|32 w punkcie x = 0.
20. Zbadaj ró»niczkowalno±¢ funkcji we wszystkich punktach z dziedziny a) f(x) = m(x)m(x); b) g(x) =√
sin x2; c) h(x) =
{ x2 dla x niewymiernych
0 dla x wymiernych d) h(x) =
{ x2sin(1/x)dla x ̸= 0 0 dla x = 0 21. Obliczy¢ granice korzystaj¡c z pochodnych odpowiednich funkcji.
limn n3(
cos(2n−3)− 1)
xlim→∞log x( e−
1 log3 x − 1)
nlim→∞
[ 2nsin4
(π 3 + 1
2n )
− 9 · 2n−4 ]
22∗.Poka», »e je»eli funkcja f jest dwukrotnie ró»niczkowalna w punkcie x0, to f′′(x0) = lim
h→0
f (x0+ h) + f (x0− h) − 2f(x0) h2
23∗.Zaªó»my, »e wielomian W (x) jest wielomianem takim, »e W (x) ≥ 0 dla x ∈ R. Poka», »e u(x) = W (x) + W′(x) + W′′(x) + ..≥ 0.
24∗.Udowodnij, »e je»eli funkcja f(x) jest ró»niczkowalna w przedziale (c, ∞) i limx→∞f′(x) = 0, to limx→∞ f (x)
x = 0. Poka», »e je»eli limx→∞[f (x) + f′(x)] = 0, to limx→∞f (x) = 0. Czy od- wrotna implikacja jest prawdziwa?
