Analiza I, ISIM Lista zada« nr 5 1. Zbadaj zbie»no±¢ szeregów i oblicz ich sumy.
a)
∑∞ n=0
(−1)n2−n b)
∑∞ n=1
1
n(n + 1) c)
∑∞ n=1
1
n(n + 3) d)
∑∞ n=1
3n+ 2n 6n . 2. Poka», »e poni»sze szeregi s¡ rozbie»ne
a) ∑∞
n=1
1
√n
n b) ∑∞
n=1
2(−1)nn c) ∑∞
n=1
( 1− 1
n )n
d) ∑∞
n=1
√n
2 3. Zbadaj zbie»no±¢ szeregów
a)
∑∞ n=1
1
2n− 1 b)
∑∞ n=1
n
2n− 1 c)
∑∞ n=1
22n31−n d)
∑∞ n=1
1 + 3n 2n 4. Szeregi∑∞
n=0an oraz∑∞
n=0bn s¡ zbie»ne. Uzasadnij szczegóªowo, »e szereg∑∞
n=0(an+ bn) jest zbie»ny.
5. Dany jest ci¡g {an} taki, »e podci¡gi {a2n} i {a2n+1} zbiegaj¡ do tej samej granicy a. Poka»,
»e ci¡g {an} te» jest zbie»ny do a.
6. Uzasadnij zbie»no±¢ szeregów i oblicz ich sumy a) ∑∞
n=1
1
(3n− 2)(3n + 1) b) ∑∞
n=1
2n− 1
2n c) ∑∞
n=1
1
n(n + 1)(n + 2)
d) ∑∞
n=1
2n + 1
n2(n + 1)2 e) ∑∞
n=1
n− 1 n!
7. Udowodnij, »e dla |q| < 1 zachodzi∑∞
k=1kqk= (1−q)q 2. 8. Zbadaj zbie»no±¢ szeregów
a) ∑∞
n=1
√ 1
(2n− 1)(2n + 1) b) ∑∞
n=1
1 n +√
n c) ∑∞
n=2
1 log n c)
∑∞ n=1
√n + 1−√ n
n d)
∑∞ n=1
(√n + 1−√ n)
e)
∑∞ n=2
(1 + n2 1 + n3
)2
9. Stosuj¡c kryterium d'Alemberta lub Cauchy'ego zbadaj zbie»no±¢ szeregów:
a) ∑∞
n=1
1
(2n + 1)! b) ∑∞
n=1
n
2n c) ∑∞
n=2
( n
2n + 1 )n
d) ∑∞
n=1
(n+1
n
)n2
3n e) ∑∞
n=1
nn+1/n (2n + 1n)n
f)
∑∞ n=1
n2 3n g)
∑∞ n=1
n2
(2 +1n)n h)
∑∞ n=2
100n
n! i)
∑∞ n=1
2nn!
nn j)
∑∞ n=1
nn 3nn!
10. Zbadaj zbie»no±¢ szeregu postaci
∑∞ n=1
1 anan+1
wiedz¡c, »e wyrazy ci¡gu {an} s¡ wyrazami post¦pu arytmetycznego (zakªadamy te», »e ak ̸= 0).
11. Poka», »e je»eli szereg ∑∞
n=1an o wyrazach dodatnich jest zbie»ny, to szereg ∑∞
n=1a2n te»
jest zbie»ny. Czy jest to równie» prawd¡, gdy opu±cimy zaªo»enie o dodatnio±ci?
12. Niech γn=∑n
k=1 1
k − log n. Czy szereg ∑∞
n=1γnnjest zbie»ny? A szereg ∑∞
n=1γn? 13. Niech an ≥ 0. Poka», »e szeregi∑∞
n=1an oraz ∑∞
n=1 an
an+1 s¡ jednocze±nie zbie»ne lub jed- nocze±nie rozbie»ne.
14. Poka», »e je»eli szereg∑∞
n=1a2n jest zbie»ny, to szereg∑∞
n=1an/nte» jest zbie»ny.
15. Zbadaj zbie»no±¢ szeregów:
a) ∑∞
n=1
( 1 + 1
n )n2
b) ∑∞
n=1
( 1− 1
n )n2
c) ∑∞
n=1
( 1 + 1
n )n
d) ∑∞
n=1
( 1− 1
n )n
16. W szeregu harmonicznym (∑∞
n=1 1
n) stawiamy znak minus przy wyrazach o numerach po- staci n = 2k, a pozostaªe wyrazy pozostawiamy bez zmian. Wyka», »e tak otrzymany szereg jest rozbie»ny.
17. Wiadomo, »e limn→∞n2an= c̸= 0. Poka», »e szereg∑∞
n=1an jest zbie»ny.
18. Wiadomo, »e szereg ∑∞
n=1n2an jest zbie»ny. Poka», »e szereg ∑∞
n=1an jest zbie»ny bez- wzgl¦dnie.
19. Zbadaj zbie»no±¢ szeregów:
a) ∑∞
n=1
log(1 + 1/n)
log(n + 1) b) ∑∞
n=1
log(1 + 1/n) log2(n + 1) 20. Szeregi ∑∞
n=1an i ∑∞
n=1bn s¡ rozbie»ne. Co mo»na powiedzie¢ o zbie»no±ci szeregów
∑∞
n=1min{an, bn} i∑∞
n=1max{an, bn}?
21. Na prostym odcinku torów dwa poci¡gi, jad¡ce ka»dy z pr¦dko±ci¡ 30km/h, zbli»aj¡ si¦ do siebie. Gdy odlegªo±¢ pomi¦dzy poci¡gami wynosi 1km, pszczoªa zaczyna lata¢ tam i z powro- tem pomi¦dzy poci¡gami z pr¦dko±ci¡ 60km/h. a) Wyra¹ odlegªo±¢ jak¡ przeleci pszczoªa zanim poci¡gi si¦ zderz¡ za pomoc¡ niesko«czonego szeregu i oblicz sum¦ tego szeregu. b) Znajd¹ ele- mentarne rozwi¡zanie tego zadania.
22∗.Ukªadamy cegªy o jednakowej dªugo±ci jedna na drugiej w ten sposób, aby konstrukcja nie zawaliªa si¦, tzn. musz¡ by¢ zachowane prawa zyki. Poka», »e mo»na uªo»y¢ cegªy tak, aby brzeg górnej cegªy byª wysuni¦ty w prawo od brzegu dolnej cegªy tak daleko jak zechcemy.
23∗. Niech {an} b¦dzie ci¡giem ró»nych liczb naturalnych, których rozwini¦cia dziesi¦tne nie zawieraj¡ cyfry 0. Poka», »e
∑∞ n=1
1 an
< 29.
24∗.Niech {an} b¦dzie ci¡giem kolejnych liczb zawieraj¡cych ci¡g 777. Zbadaj zbie»no±¢ szeregu
∑∞
n=1 1 an.
25∗. Zbadaj zbie»no±¢ szeregu ∑∞
n=1 1
Fn, gdzie Fn jest n-t¡ liczb¡ Fibonacciego (F1 = F2 = 1, Fn= Fn−1+ Fn−2).
26∗.Zbadaj zbie»no±¢ szeregu
∑∞ n=1
nn n!· en.
27. Uzasadnij, »e je»eli szereg speªnia kryterium d'Alemberta, to speªnia równie» kryterium Cauchy'ego. Przy pomocy obu kryteriów zbadaj zbie»no±¢ szeregu∑∞
n=12−⌊n/2⌋.
