Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Lista 2. Rozwiązanie zadania 2.2 (c) i (d)

Rachunek Prawdopodobieństwa MAP1181

Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Lista 2. Rozwiązanie zadania 2.2 (c) i (d)

Opracowanie: Jakub Szaporda

Zadanie 2.2

(c) Paradoks Monty Halla: W pewnym teleturnieju za jednymi z trzech zamkniętych drzwi znajduje się samochód, a za pozostałymi dwoma Zonki. Prowadzący grę wie, które drzwi kryją samochód. Gracz wskazuje na jedne z drzwi, prowadzący otwiera jedne z pozostałych odkrywa- jąc Zonka i następnie pyta gracza, które z zamkniętych drzwi otworzyć (tzn. czy gracz zmienia wybór, czy nie). Jeżeli gracz wskaże na odpowiednie drzwi, wygrywa samochód.

Powiedzmy, że gracz wskazał na początku na drzwi nr 2, a prowadzący grę otworzył drzwi nr 1 z Zonkiem. Czy graczowi opłaca się zmienić decyzję i wskazać na drzwi nr 3? Odpowiedź uzasadnij.

Rozwiązanie:

Niech A_n będzie zdarzeniem, że samochód znajduje się za drzwiami n = 1, 2, 3;

oraz niech Bn będzie zdarzeniem, że prowadzący otworzy drzwi n = 1, 2, 3.

Mamy teraz:

1. P (A_n) = ¹₃

2. P (B₁|A₂) = p, gdzie 06 p 6 1 3. P (B₁|A₃) = 1

4. P (B1|A1) = 0

Szukamy P (A₂|B₁) oraz P (A₃|B₁) Korzystając ze wzoru o prawdopodobieństwie całkowitym mamy:

P (B₁) = P (B₁|A₁) × P (A₁) + P (B₁|A₂) × P (A₂) + P (B₁|A₃) × P (A₃) = ¹₃(p + 1 + 0).

Ze wzoru Bayesa

P (A2|B1) = ^{P (B1|A}_{P (B}^{2)×P (A2)}

1) = ^p×

1 3

(p+1)×¹₃ = _p+1^p P (A3|B1) = _p+1¹

P (A₁|B₁) = 0 Weźmy p = ¹₂. Wtedy:

P (A₂|B₁) = 1

3 = P (A2) P (A₃|B₁) = 2

3 > 1 3 Wniosek: Opłaca się zrobić zmianę.

Rozpatrzmy teraz przypadek, gdy weźmiemy dowolne p. Ponieważ p ∈ [0, 1], mamy P (A₂|B₁) = p

p + 1 6 1

p + 1 = P (A3|B₁).

Wniosek: Opłaca się zrobić zmianę w każdym przypadku.

1

Zadanie 2.2

(d) Spośród trzech równorzędnych kandydatów należy wybrać przewodniczącego grupy. W tym celu na jednej z trzech czystych kartek piszemy słowo „przewodniczący” i wrzucamy je do pudełka.

Następnie kandydaci kolejno losują jedną kartkę i ten, który wylosuje „przewodniczącego” zo- staje wybrany. Który kandydat ma największe szanse: losujący jako pierwszy, drugi, czy trzeci?

Rozwiązanie:

Weźmy A_k - zdarzenie, że kandydat k-ty wygrał dla k = 1, 2, 3.

Oczywistym jest, że:

P (A₁) = ¹₃ P (A₂|A₁) = 0 P (A₂|A^c₁) = ¹₂

Wtedy, z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym, otrzymujemy:

P (A₂) = 0 ×¹₃ +¹₂ ×^1 −¹₃^= ¹₃ Ponadto

P (A₃) = 1 − P (A₂) − P (A₁) = ¹₃. Wniosek: Każdy kandydat ma taką samą szansę.

2