M ETAFORY P OJ˛ECIOWEW M ATEMATYCE

M

P

M

JERZYPOGONOWSKI, UAM

ABSTRAKT. W odczycie odniesiemy si˛e krytycznie do koncepcji ma- tematyki uciele´snionej, propagowanej w monografii Lakoff, Núñez 2000. Autorzy monografii staraj ˛a si˛e obja´sni´c genez˛e i funkcjono- wanie matematyki za pomoc ˛a tworzenia metafor poj˛eciowych. Teo- ri˛e metafor poj˛eciowych z sukcesem zastosowano w lingwistyce (La- koff, Johnson 1980). Naszym zdaniem, teoria ta nie odzwierciedla jednak całej zło˙zono´sci kontekstu odkrycia w matematyce. Pewne ele- mentarne poj˛ecia matematyczne istotnie mo˙zna eksplikowa´c przez od- wołanie si˛e do tworzenia metafor poj˛eciowych. Jednak poj˛ecia bar- dziej zaawansowanej matematyki umykaj ˛a takiej eksplikacji - przy- kłady podajemy w odczycie (np.: ulubiona metafora poj˛eciowa auto- rów, czyli Podstawowa Metafora Niesko´nczono´sci ka˙ze powoła´c do istnienia szereg najwolniej rozbie˙zny, co - na mocy stosownych twier- dze´n - jest absurdem). Wskazujemy na potkni˛ecia natury historycznej oraz bł˛edy matematyczne, popełnione przez autorów. Polemizujemy równie˙z z ich wnioskami natury filozoficznej. Sumuj ˛ac, uwa˙zamy pro- pozycje Lakoffa i Núñeza za zbyt brawurowo uproszczon ˛a koncepcj˛e matematyki. Jawi si˛e nam ona jako do´s´c arbitralne przyło˙zenie teorii metafor poj˛eciowych do tego materiału, który znajdujemy w elemen- tarnych podr˛ecznikach matematyki, nie zdaje natomiast adekwatnie sprawy z tworzenia matematyki przez zawodowych matematyków.

1 Matematyka uciele´sniona: zało˙zenia i tezy

1. Metafory poj˛eciowe polegaj ˛a na swoistym odwzorowaniu:

poj˛ecia, zwykle bardziej konkretne, z jednej dziedziny po- wi ˛azane s ˛a z tworzonymi, zwykle bardziej abstrakcyjnymi, poj˛eciami dziedziny drugiej. Wa˙zny jest przy tym ów twór- czy charakter metafor, a tak˙ze to, ˙ze s ˛a one odwzorowa- niami zachowuj ˛acymi pewne informacje. Zwykle mawia si˛e, ˙ze odwzorowania metaforyczne zachowuj ˛a pewne wła- sno´scipoj˛e´c. Ró˙znica mi˛edzy metafor ˛a oraz analogi ˛a mia- łaby polega´c na tym, ˙ze w analogii porównujemy istnie- j ˛ace w dwóch dziedzinach poj˛ecia, a w metaforze poj˛ecia w drugiej dziedzinie s ˛a tworzone.

2. LN twierdz ˛a, ˙ze obalili mit, głosz ˛acy, i˙z matematyka ma charakter obiektywny, jest jako´s obecna w ´swiecie, jej ist- nienie jest niezale˙zne od jakichkolwiek umysłów, a przy tym matematyka uprawiana przez ludzi pozwala nam od- krywa´c prawdy o ´swiecie.

3. Do podstawowych zało˙ze´n przyjmowany przez LN nale˙z ˛a:

(a) Umysł jest uciele´sniony, a zatem natura naszych ciał, mózgów oraz codziennego funkcjonowania kształtuje ludzkie poj˛ecia i rozumowania, w szczególno´sci ma- tematyczne.

(b) Wi˛ekszo´s´c procesów my´slowych (w tym tych zwi ˛a- zanych z matematyk ˛a) jest niedost˛epna naszej ´swia- domo´sci.

(c) Abstrakcje ujmujemy w postaci metafor poj˛eciowych, przenosz ˛ac poj˛ecia zwi ˛azane z aktywno´sci ˛a sensoro-

motoryczn ˛a do innych dziedzin, w tym dziedzin ma- tematycznych.

4. Autorzy wyró˙zniaj ˛a dwa typy metafor poj˛eciowych w ma- tematyce:

(a) Metafory bazuj ˛ace. Dostarczaj ˛a podstawowych, bez- po´srednio ugruntowanych poj˛e´c. Dla przykładu: do- dawanie jako grupowanie razem obiektów.

(b) Metafory ł ˛acz ˛ace. Dostarczaj ˛a bardziej abstrakcyjnych poj˛e´c. Dla przykładu: liczby to punkty na prostej, fi- gury geometryczne to równania algebraiczne.

5. Wyra˙zanie w j˛ezykach etnicznych ró˙znego rodzaju zale˙z- no´sci stanowi (dla kognitywistów) podstaw˛e do wyodr˛eb- nienia odpowiednich schematów obrazowych (image sche- mas). Przykładem takiego schematu jest: pojemnik (wraz z wn˛etrzem, brzegiem, zewn˛etrzem). Schematy zwi ˛azane s ˛a te˙z z systemami zale˙zno´sci aspektowych. Ruch i jego wyra˙zanie dostarczaj ˛a schematu ´zródło–droga–cel, itd.

6. Niezwykle wa˙zna jest tzw. BMI – podstawowa metafora niesko´nczono´sci(Basic Metaphor of Infinity). Punktem wyj-

´scia jest rozumienie procesów jako ruchów, przy czym procesy ci ˛agłe, bez wyra´znego ich zako´nczenia, ujmowane s ˛a jako (dyskretne) procesy powtarzalne. Uzasadnienia dla takich metafor znajduj ˛a kognitywi´sci m.in. w systemach aspektowych j˛ezyków etnicznych. Tak wi˛ec, zdaniem au- torów, wprowadzanie wszelakich obiektów infinitarnych, granicznych jest motywowane metafor ˛a, która ka˙ze „uzu- pełni´c” powtarzalny process, z nieokre´slon ˛a liczb ˛a owych powtórze´n, przez ostateczny wynik takiego procesu. Ten

ostateczny wynik to nowy obiekt, maj ˛acy cechy niesko´n- czono´sci aktualnej.

7. Pominiemy tu omawianie kolejnych przykładów metafor poj˛eciowych, które LN proponuj ˛a jako metod˛e wprowa- dzania poj˛e´c matematycznych (w arytmetyce, algebrze, analizie). W polskiej literaturze filozoficznej dost˛epne s ˛a omówienia – np. Hohol 2011, Pogonowski 2011.

8. Je´sli chcemy stosowa´c ustalenia i metody nauk kognityw- nych do (genezy i funkcjonowania) matematyki, to powin- ni´smy stara´c si˛e odpowiedzie´c m.in. na nast˛epuj ˛ace pyta- nia:

(a) Jakie konkretnie mechanizmy działania ludzkiego mó- zgu oraz umysłu pozwalaj ˛a ludziom na tworzenie po- j˛e´c matematycznych oraz rozumowania matematyczne?

(b) Czy matematyka ugruntowana na mózgu i umy´sle jest cał ˛a istniej ˛ac ˛a matematyk ˛a? Czy te˙z racj˛e bytu ma matematyka w duchu Plato´nskim, przekraczaj ˛aca ciała i umysły oraz nadaj ˛aca struktur˛e kosmosowi (temu oraz wszystkim mo˙zliwym)?

LN staraj ˛a si˛e odpowiedzie´c głównie na pierwsze z tych pyta´n. Je´sli chodzi o pytanie drugie, to odpowied´z autorów jest nast˛epuj ˛aca:

(a) Problem istnienia matematyki rozumianej po Plato´n- sku nie mo˙ze by´c rozwa˙zany na drodze naukowej. Byty Plato´nskie nie mog ˛a by´c percypowane przez ciało, mózg, umysł. Nauka nie mo˙ze dowie´s´c ani obali´c twierdze- nia o istnieniu bytów Plato´nskich, podobnie jak w przy- padku istnienia lub nieistnienia Boga.

(b) Rozumienie matematyki przez ludzi polega´c mo˙ze je- dynie na uj˛eciu jej w terminach dost˛epnych mózgowi oraz umysłowi.

(c) To, czym jest ludzka matematyka jest empirycznym problemem naukowym, a nie problemem matematycz- nym ani filozoficznym. Tak wi˛ec, jedynie nauki ko- gnitywne, badaj ˛ace mózg, umysł oraz wi ˛a˙z ˛ace je za- le˙zno´sci s ˛a w stanie odpowiedzie´c jaka jest istota ludz- kiej matematyki. W konsekwencji, cało´s´c matematyki to ludzka matematyka.

(d) Gdyby jednak uwa˙za´c pytanie o istot˛e matematyki nie za pytanie naukowe lecz filozoficzne (albo i nawet re- ligijne), to np. istnienie rzekomego Plato´nskiego ´swiata matematyki oraz obiektywno´s´c jej prawd uzasadniane byłyby na drodze, która obecnie nie mo˙ze zosta´c uznana za naukow ˛a.

9. Niektóre konkluzje teoretyczne i filozoficzne, które pro- ponuj ˛a LN s ˛a nast˛epuj ˛ace:

(a) Matematyka jest produktem ludzkim, zdeterminowa- nym przez nasz ˛a biologi˛e, system poj˛eciowy oraz czyn- niki społeczne i kulturowe.

(b) Metafory poj˛eciowe s ˛a podstawowym, neuronalnie ugrun- towanym mechanizmem poznawczym.

(c) Matematyka jest skuteczna w charakteryzowaniu ró˙z- nych aspektów ´swiata oraz w przewidywaniu. Rozwi- jali´smy si˛e w taki sposób, ˙ze poznanie potoczne dopa- sowuje nas do ´swiata. Matematyka jest systematycz- nym rozszerzeniem tego wła´snie poznania.

(d) Skuteczno´s´c matematyki jest wynikiem ewolucji oraz kultury. Ewolucja wykształciła nasze ciała i mózgi tak,

˙ze otrzymali´smy neuronowe zdolno´sci dla reprezento- wania podstaw arytmetyki oraz pierwotnych zale˙zno-

´sci przestrzennych. Kultura pozwoliła, poprzez pro- wadzone miliony lat obserwacje natury na wykształ- cenie coraz bardziej skomplikowanych ´srodków ma- tematycznych. Poł ˛aczenie idei matematycznych oraz ludzkich do´swiadcze´n ´swiata ma miejsce w ludzkim umy´sle.

(e) Rozwój systemów pisma umo˙zliwił te˙z rozwój nota- cji matematycznej. Metafory dyskretyzacji pozwoliły na precyzyjne uj˛ecie stale rosn ˛acej liczby poj˛e´c mate- matycznych. Ludzka zdolno´s´c do tworzenia metafor poj˛eciowych pozwoliła na matematyzacj˛e (a czasem nawet arytmetyzacj˛e) poj˛e´c potocznych, takich jak:

kolekcje, wymiary, symetrie, zale˙zno´s´c i niezale˙zno´s´c przyczynowa, itd.

2 Matematyka uciele´sniona: krytyka

Nasze w ˛atpliwo´sci przedstawimy w formie do´s´c skrótowej, ha- słowo jedynie przywołuj ˛ac odno´sne zagadnienia. W ka˙zdym przypadku mo˙zliwa jest, jak s ˛adzimy, gł˛ebsza analiza anonso- wanego problemu, która pozwoliłaby przes ˛adzi´c, czy zarzuty s ˛a zasadne czy te˙z np. wynikaj ˛a z naszego niezrozumienia.

1. Teoria mnogo´sci. Metafora pojemnika jest trafna jedynie w przypadku niedu˙zych sko´nczonych kolekcji. Warto zwró- ci´c uwag˛e, ˙ze teoria mnogo´sci powstała w wyniku refleksji

nad bardzo zło˙zonymi kolekcjami – konstrukcjami w uni- wersum liczb rzeczywistych. Autorzy dokonuj ˛a pewnych uproszcze´n i przeinacze´n, pisz ˛ac o zbiorach (nie wspomi- naj ˛a o aksjomacie zast˛epowania, w sposób niepełny pi- sz ˛a o hierarchii zbiorów niesko´nczonych). Nie widzimy, w jaki sposób BMI miałaby pomóc w odró˙znieniu mocy przeliczalnych od nieprzeliczalnych.

2. Metafory Dedekinda. Proste metafory przekroju (geome- tryczna i arytmetyczna, w terminologii autorów) to jesz- cze nie wszystko, je´sli chodzi o analiz˛e idei matematycz- nychzwi ˛azanych z konstrukcj ˛a Dedekinda. Wnikliw ˛a ana- liz˛e konstrukcji Dedekinda, wraz z wieloma odniesieniami do innych konstrukcji liczb rzeczywistych zawiera mo- nografia Błaszczyk 2007. Dedekind chciał wyeliminowa´c z mówienia o liczbach rzeczywistych wszelkie intuicyjne odniesienia geometryczne. Dedekind podaje dowód, ˙ze ro- dzina wszystkich przekrojów liczb wymiernych, ze sto- sownie zdefiniowanym porz ˛adkiem tych przekrojów ma własno´s´c ci ˛agło´sci, w tym sensie, i˙z porz ˛adek ten nie za- wiera luk.

3. Podstawowa Metafora Niesko´nczono´sci. Uwa˙zamy, ˙ze au- torzy przesadnym zaufaniem darz ˛a swoj ˛a główn ˛a meta- for˛e poznawcz ˛a, czyli BMI. Tworzeniu obiektów granicz- nych w matematyce towarzyszy´c musi dowód ich istnie- nia i jedyno´sci, a tego sama BMI nie zapewnia. Dla przy- kładu, mo˙zna bez trudno´sci poda´c formaln ˛a charaktery- styk˛e tego, i˙z jeden szereg jest wolniej rozbie˙zny od dru- giego (albo szybciej zbie˙zny). Mo˙zna teraz byłoby mnie- ma´c, ˙ze BMI wystarczy do postulowania istnienia obiektu

granicznego w ci ˛agu szeregów coraz wolniej rozbie˙znych.

To jednak oczywi´scie złudzenie – mo˙zna z łatwo´sci ˛a udo- wodni´c, ˙ze nie istnieje szereg najwolniej rozbie˙zny.

4. Topologia ogólna. Ciekawy jest fakt, ˙ze LN nie posłu- guj ˛a si˛e ˙zadnymi przykładami topologicznymi. To wła´snie w topologii ogólnej specjalnie konstruuje si˛e ró˙znego ro- dzaju obiekty patologiczne, których własno´sci jako´s kłóc ˛a si˛e z (czasem bezrefleksyjnymi) intuicjami. Jest całe mnó- stwo takich przykładów: zbiór Cantora, sfera rogata Ale- xandera, krzywa Knastera, jeziora Wady, itd. Konstruowane s ˛a one z my´sl ˛a o ukazaniu zasi˛egu obowi ˛azywania nie- których twierdze´n albo dla wysubtelnienia intuicji zwi ˛a- zanych z rozwa˙zanymi poj˛eciami. Istniej ˛a nawet całe mo- nografie po´swi˛econe listom kontrprzykładów – zob. np.:

Gelbaum, Olmsted 2003, Steen, Seebach 1995, Wise, Hall 1993.

5. Technika metafor poj˛eciowych nie wyja´snia, naszym zda- niem, wielu wa˙znych zagadnie´n matematycznych, np.: zmien- no´sci intuicji matematycznych, kolizji mi˛edzy poszcze- gólnymi intuicjami matematycznymi, procesu uogólnia- nia, itd. Niektóre poj˛ecia matematyczne s ˛a tak zło˙zone, ˙ze ich sprowadzanie do poj˛e´c bazowanych sensoro-motorycznie nie wydaje si˛e mo˙zliwe (np. niektóre poj˛ecia teorii miary).

6. Wiele aktywno´sci matematycznych zwi ˛azanych jest wła-

´snie z porzuceniem metaforyzowania, wyra´znym rozdzie- leniu intuicji oraz roboty formalnej. Poda´c mo˙zna niezli- czone przykłady, gdy intuicje bazowane na do´swiadczeniu potocznym zwodz ˛a nas, nawet w przypadku rozwa˙zania całkiem prostych obiektów i konstrukcji matematycznych.

7. Tworzenie poj˛e´c to tylko jeden z wielu rodzajów aktyw- no´sci badawczej matematyków. Innymi s ˛a np.: przepro- wadzanie dowodów, abstrahowanie, uogólnianie, szukanie kontrprzykładów, rozumowania przez indukcj˛e, abdukcj˛e lub analogi˛e, tworzenie hipotez, klasyfikowanie, poszu- kiwanie twierdze´n o reprezentacji, sprowadzanie obiek- tów do postaci kanonicznych, itd. Nie mo˙zna twierdzi´c, ˙ze tworzenie metafor poj˛eciowych wyczerpuje cało´s´c genezy i funkcjonowania matematyki. Trudno jest nam wyobrazi´c sobie, jak podstawowa czynno´s´c badawcza matematyka, czyli dowodzenie twierdze´n miałaby zosta´c zredukowana do operacji na metaforach poj˛eciowych.

8. Uwa˙zamy, ˙ze propozycje LN nie zdaj ˛a nale˙zycie sprawy z kontekstu odkrycia w matematyce. Odnosimy wra˙zenie,

˙ze propozycje te powstały przy okazji lektur materiałów zawartych w podr˛ecznikach matematyki, a w mniejszej mierze przy okazji studiowania prac ´zródłowych, z któ- rych analizy mo˙zna byłoby bardziej adekwatnie wywie´s´c genez˛e i funkcjonowanie poj˛e´c matematycznych.

9. W prezentacji autorów znalazło si˛e kilka bł˛edów matema- tycznych (np. przy omawianiu liczb hiperrzeczywistych lub punktów w niesko´nczono´sci).

10. Omawiana ksi ˛a˙zka była, z reguły krytycznie, recenzowana przez kilku autorów – zob. np.: Auslander 2001, Devlin 2008, Elglaly, Quek 2009, Gold 2001, Goldin 2001, Hen- derson 2002, Madden 2001, Siegfried 2001, Schiralli, Sinc- lair 2003, Voorhees 2004.

11. Nasze uwagi krytyczne mog ˛a wydawa´c si˛e bezładn ˛a zbie-

ranin ˛a poczynionych ad hoc zarzutów, lecz nie było na- szym zamiarem podanie jakiej´s spójnej, w miar˛e kom- pletnej alternatywy dla koncepcji uciele´snionej matema- tyki, to przekracza nasze skromne mo˙zliwo´sci. Ksi ˛a˙zka Lakoffa i Núñeza zasługuje na krytyk˛e, lecz zasługuje rów- nie˙z na uwag˛e. Jest odwa˙zn ˛a (w wielu miejscach niestety pochopnie brawurow ˛a) prób ˛a zmierzenia si˛e z fundamen- talnymi pytaniami dotycz ˛acymi, m.in.: epistemologii ma- tematyki, jej ontologii, fascynuj ˛acego zjawiska jakim jest twórczo´s´c matematyczna, bardzo trudnych problemów zwi ˛a- zanych ze skutecznym nauczaniem matematyki, wreszcie miejsca matematyki w cało´sci kultury.

Bibliografia

Auslander, J. 2001. Embodied mathematics. American Scien- tist89, 366–367.

Dedekind, R. 1872. Stetigkeit und Irrationale Zahlen. Frie- drich Vieweg & Sohn, Braunschweig.

Devlin, K. 2008. How do learn math? Mathematical Associa- tion of America.

http://www.maa.org/devlin_12_08.html

D˛ebiec, J. 2002. Mózg i matematyka. Biblos, Tarnów.

Elglaly, Y.N., Quek, F. 2009. Review of “Where Mathematics comes from: How the Embodied Mind Brings Mathema- tics Into Being” by George Lakoff and Rafael E. Nuñez.

CHI 2009, Boston.

Gelbaum, B.R., Olmsted, J.M.H. 2003. Counterexamples in Analysis. Mineola, New York: Dover Publications, Inc.

Gold, B. 2001. Review of Lakoff, Núñez 2000.

www.maa.org/reviews/wheremath.html

Goldin, G.A. 2001. Counting on the metaphorical. Nature 413, 18–19.

Henderson, D.W. 2002. Review of: Where Mathematics co- mes from: How the Embodied Mind Brings Mathematics Into Being. The Mathematical Intelligencer 24 (1), 75–76.

Hilbert, D. 1926. Über das Unendliche. Mathematische Anna- len95, 161–190.

Hohol, M.L. 2011. Matematyczno´s´c uciele´sniona. W: B. Bro-

˙zek, J. M ˛aczka, W.P. Grygiel, M. L. Hohol (red.) Oblicza racjonalno´sci.Copernicus Center Press, Kraków, 143–166.

Lakoff, G., Johnson, M. 1980. Metaphors we live by. Univer- sity of Chicago Press, Chicago.

Lakoff, G., Núñez, R.E. 2000. Where Mathematics Comes From.

How the Embodied Mind Brings Mathematics into Being.

Basic Books, New York.

Madden, J.J. 2001. Review of: Where Mathematics comes from: How the Embodied Mind Brings Mathematics Into Being. Notices of the AMS 48, 1182–1188.

Núñez, R.E. 2005. Creating mathematical infinities: Metaphor, blending, and the beauty of transfinite cardinals. Journal of Pragmatics37, 1717–1741.

Pogonowski, J. 2011. Geneza matematyki wedle kognitywi- stów. Investigationes Linguisticae 23, 106–147.

Schiralli, M., Sinclair, N. 2003. A constructive response to

‘Where Mathematics Comes From’. Educational Studies in Mathematics52, 79–91.

Siegfried, T. 2001. Math may be not in the stars, but in ourse- lves. The Dallas Morning News, May 3, 2011.

Steen, L.A., Seebach, J.A., Jr. 1995. Counterexamples in To- pology. New York: Dover Publications, Inc.

Voorhees, B. 2004. Embodied Mathematics. Comments on La- koff & Núñez. Journal of Consciousness Studies 11, No.

9, 83–88.

Wise, G.L., Hall, E.B. 1993. Counterexamples in Probability and Real Analysis. New York: Oxford University Press.

Thurston, W.P. 1994. On proof and progress in mathematics.

Bulletin of the American Mathematical Society30 (2), 161–

177.