adro macierzy

Rozdzia l 5

Obraz, rz ad i j

adro macierzy

5.1 Obraz i rzad macierzy_֒

5.1.1 Rzad kolumnowy i rz_֒ ad wierszowy_֒

Niech A ∈ K^m,n bedzie dana w postaci blokowej,_֒

A= [~a₁, ~a₂, . . . , ~a_n], ~a_j ∈ K^m, 1 ≤ j ≤ n.

Obraz macierzy A definiujemy jako

R(A) := { A ∗ ~x : ~x ∈ Kⁿ} = span(~a₁, ~a₂. . . , ~a_n) ⊆ K^m. Dalej, rzad kolumnowy_֒ macierzy A definiujemy jako

rzk(A) := dim (R(A)) .

Oczywi´scie, 0 ≤ rzk(A) ≤ min(m, n). Przedstawiajac z kolei A jako wektory-_֒ wiersze (funkcjona ly),

A =





 ˆ a^T₁

...

ˆ a^T_m





, definiujemy rzad wierszowy_֒ macierzy A jako

rzw(A) = dim R(A^T)

= dim (span(ˆa₁,ˆa₂, . . . ,aˆ_n)) . Podobnie jak dla rzedu kolumnowego, 0 ≤ rz_֒ w(A) ≤ min(m, n).

49

50 ROZDZIA L 5. OBRAZ, RZAD I J_֒ ADRO MACIERZY_֒

5.1.2 Rzad macierzy_֒

Mamy nastepuj_֒ ace wa˙zne twierdzenie._֒

Twierdzenie 5.1 Dla dowolnej macierzy A ∈ K^m,n rzk(A) = rzw(A).

Dow´od. Oznaczmy

k= rzk(A) oraz w = rzw(A).

Zauwa˙zmy najpierw, ˙ze permutacja kolumn macierzy nie zmienia ani jej rzedu kolumnowego (bo to tylko zmiana kolejno´sci wektor´ow) ani jej rz_֒ edu_֒ wierszowego (bo to tylko przenumerowanie wsp´o lrzednych, identyczne dla_֒ ka˙zdego z wektor´ow). Podobnie rzed´ow nie zmienia permutacja wierszy._֒

Dokonajmy wiec, dla uproszczenia, takiej permutacji kolumn, a potem_֒ wierszy, aby otrzymana macierz ˆA by la postaci

Aˆ =  A_I A_II  , gdzie AI ∈ K^m,k, AII ∈ K^m,n−k, rzk(AI) = k, oraz

A_I =  A₁ A₂

 ,

przy czym A₁ ∈ K^w1,k, A₂ ∈ K^m−w1,k, w₁ := rzw(AI) = rzw(A₁). Oczywi´scie w₁ ≤ w,

bo wiersze A₁ sa “obci_֒ etymi” wierszami ˆ_֒ A.

Poniewa˙z wektory-wiersze macierzy A₂ sa liniowo zale˙zne od wektor´ow-_֒ wierszy macierzy A₁ to istnieje macierz B ∈ K^w1,m−w1 taka, ˙ze A^T₂ = A^T₁ ∗ B (gdzie kolejne kolumny B sa wsp´o lczynnikami odpowiednich kombinacji_֒ liniowych), czyli A₂ = B^T ∗ A₁. Dla dowolnego ~x ∈ K^k mamy wiec_֒

A_I ∗ ~x = A₁∗ ~x A₂∗ ~x



=

 A₁ ∗ ~x B^T ∗ A₁∗ ~x

 .

Stad, A_{֒ 1} ∗ ~x = ~0 wtedy i tylko wtedy gdy A_I ∗ ~x = ~0, a poniewa˙z kolumny macierzy AI sa liniowo niezale˙zne, oznacza to tak˙ze liniow_֒ a niezale˙zno´s´c ko-_֒ lumn macierzy A₁. A je´sli tak to ich liczba k nie mo˙ze przekroczy´c w₁, czyli wymiaru przestrzeni do kt´orej nale˙za._֒

Otrzymali´smy wiec, ˙ze_֒

rzk(A) = rzk( ˆA) = k ≤ w₁ ≤ w = rzw( ˆA) = rzw(A).

Przeprowadzajac podobne rozumowanie dla macierzy A_֒ ^T otrzymujemy rzw(A) ≤ rzk(A), a stad ostatecznie rz_֒ w(A) = rzk(A), co nale˙za lo pokaza´c.

Na podstawie twierdzenia 5.1 poprawna jest nastepuj_֒ aca definicja rz_֒ edu_֒ macierzy.

Definicja 5.1 Rzedem macierzy A nazywamy liczb_֒ e_֒ rz(A) := rzk(A) = rzw(A).

5.2 Przestrze´n zerowa (jadro) macierzy_֒

Dla A ∈ K^m,n zbi´or

N (A) := n

~

x∈ Kⁿ: A ∗ ~x = ~0o nazywamy jadrem_֒ macierzy A.

Niech k = rz(A). Za l´o˙zmy, ˙ze kolumny macierzy A zosta ly tak przesta- wione, ˙ze otrzymana macierz ˆA ma posta´c

Aˆ =  A_I A_II  ,

gdzie AI ∈ K^m,k, AII ∈ K^m,n−k, oraz rz(AI) = rz( ˆA) (= rz(A)). Je´sli tak to kolumny macierzy AII sa liniowo zale˙zne od kolumn macierzy A_֒ I. W konsekwencji AII = AI ∗ B dla pewnej B ∈ K^k,n−k. Za l´o˙zmy teraz, ˙ze

~

x∈ N ( ˆA). Przedstawiajac ~x w postaci_֒

~ x =

 ~x_I

~ x_II

 ,

~

x_I ∈ K^k, ~xII ∈ K^n−k, mamy

~0 = ˆA∗ ~x =  A_I A_II 

 ~x_I

~ x_II



= AI∗ ~xI + AII ∗ ~xII

= AI∗ ~x_I+ AI∗ B ∗ ~x_II = AI ∗ (~x_I + B ∗ ~xII).

52 ROZDZIA L 5. OBRAZ, RZAD I J_֒ ADRO MACIERZY_֒ Ostatnie wyra˙zenie jest liniowa kombinacj_֒ a kolumn macierzy A_֒ I, a poniewa˙z kolumny te sa liniowo niezale˙zne to kombinacja ta daje wektor zerowy tylko_֒ wtedy gdy ~xI + B ∗ ~xII = ~0, czyli ~xI = −B ∗ ~xII. Stad_֒

N ( ˆA) =   −B ∗ ~xII

~ x_II



: ~xII ∈ K^n−k



=

  −B I_n−k



∗ ~x_II : ~xII ∈ K^n−k

 .

Przedstawiajac B kolumnowo, B = [~b_{֒ 1}, . . . ,~b_n−k], otrzymujemy ostatecznie N ( ˆA) = R

 −B I_n−k



= span −~b₁

~e₁



, . . . , −~b_n−k

~e_n−k



,

gdzie jak zwykle ~ej ∈ K^n−k jest j-tym wersorem. Poniewa˙z ~e₁, . . . , ~e_n−k sa_֒ liniowo niezale˙zne to liniowo niezale˙zne sa te˙z wektory w powy˙zszym “span”._֒ Stad dim(N ( ˆ_֒ A)) = n − k = n − rz(A). Wobec r´owno´sci dim(N ( ˆA)) = dim(N (A)) (bo permutacja kolumn skutkuje jedynie przestawieniem wsp´o l- rzednych w j_֒ adrze) dostajemy nast_֒ epuj_֒ acy wniosek._֒

Wniosek 5.1 Dla dowolnej macierzy A ∈ K^m,n dim(N (A)) + dim(R(A)) = n.

5.3 Rozk lad wzgledem obrazu i j_֒ adra_֒

Zatrzymajmy sie na chwil_֒ e na przypadku gdy K ⊆ C. Poniewa˙z wtedy_֒

n

X

j=1

~a_j ∗ xj

!

=

n

X

j=1

~a_j ∗ xj

(gdzie sprze˙zenie wektora oznacza sprz_֒ e˙zenie “po wsp´o lrz_֒ ednych”) to wektory_֒ (~a₁, . . . , ~a_n) oraz (~a₁, . . . , ~a_n) sa jednocze´snie albo liniowo niezale˙zne, albo_֒ liniowo zale˙zne. Stad rz(A) = rz(A) (gdzie zn´ow sprz_֒ e˙zenie macierzy oznacza_֒ sprze˙zenie “po wsp´o lrz_֒ ednych”). W konsekwencji,_֒

rz(A^H) = rz(A^T) = rz(A^T) = rz(A).

Latwo mo˙zna te˙z wywnioskowa´c inna w lasno´s´c; mianowicie, je´sli_֒ A= B ∗ C,

A ∈ K^m,n, B ∈ K^m,k, C ∈ K^k,n, to

rz(A) ≤ min(rz(B), rz(C)).

Rzeczywi´scie, r´owno´s´c A = B ∗ C oznacza, ˙ze kolumny macierzy A sa liniow_֒ a_֒ kombinacja kolumn macierzy B, a st_֒ ad R(A) ⊆ R(B) i w konsekwencji_֒ rz(A) ≤ rz(B). Biorac z kolei transpozycj_֒ e mamy A_֒ ^T = C^T ∗ B^T i to samo rozumowanie daje R(A^T) ⊆ R(C^T) oraz

rz(A) = rz(A^T) ≤ rz(C^T) = rz(C).

Na koniec jeszcze jedno istotne twierdzenie.

Twierdzenie 5.2 Niech K ⊆ C i A ∈ K^m,n. Wtedy K^m = R(A) ⊕ N (A^H)

Kⁿ = R(A^H) ⊕ N (A).

Dow´od. Wystarczy pokaza´c pierwsza z tych r´owno´sci. W tym celu naj-_֒ pierw uzasadnimy, ˙ze suma jest suma prost_֒ a. Rzeczywi´scie, je´sli ~y ∈ R(A) ∩_֒ N (A^H) to A^H ∗ ~y = ~0 oraz istnieje ~x ∈ Kⁿ taki, ˙ze A ∗ ~x = ~y. Stad_֒

k~yk²₂ = ~y^H ∗ ~y = (A ∗ ~x)^H ∗ ~y = ~x^H ∗ (A^H ∗ ~y) = 0, czyli ~y = ~0 i suma podprzestrzeni jest prosta.

Pozostaje pokaza´c, ˙ze wymiar sumy prostej wynosi m. Korzystajac z_֒ wniosku 5.1 mamy bowiem

dim R(A) ⊕ N (A^H)

= dim (R(A)) + dim N (A^H)

= dim (R(A)) +m − dim R(A^H)


= dim (R(A)) + [m − dim (R(A))]

= m.