Pytania egzaminacyjne z algebry.
(II rok)
1. Poda´c definicj¸e grupy nilpotentnej i rozwi¸azalnej 2. Poda´c definicj¸e pier´scienia wielomian´ow
3. Cia la ako´nczone
4. Co wiem na temat algorytmu Euklidesa ?
5. Jaki jest zwi¸azek pomi¸edzy idea lem pier´scienia, a j¸adrem homomorfizmu pier´scieni ?
6. Jaka jest r´o˙znica pomi¸edzy pier´scieniem, a cia lem ?
7. Co to jest lokalizacja pier´scienia i jego cia lo u lamk´ow ? (poda´c przyk lady)
8. Jakie relacje zachodz¸a pomi¸edzy idea lami maksymalnymi i pierwszymi ? (poda´c przyk lady)
9. Co to s¸a dziedziny i dziedziny z jednoznacznym rozk ladem ? 10. Poda´c dow´od (szkic) nastepuj¸acego twierdzenia: Jezeli R jest pier´scieniem idealow glownych to R[X] jest dziedzin¸a z jednoznacznym rozk ladem .
11. Poda´c (i ewentualnie udowodni´c) twierdzenie Gaussa. 12. Co wiem na temat kryterium Eisensteina ?
13. Poda´c i udowodni´c twierdzenie Lagrange (dla grup sko´nczonych) 14. Sformu lowa´c i udowodni´c wzory Cardano.
15. Sformu lowa´c i udowodni´c twierdzenie Sylowa 16. Co to jest suma prosta grup abelowych ?
17. Sformu lowac twierdzenie o postaci sko´nczonych grup abelowych. 18. Co to jest pierwiastek wielokrotny ? Poda´c kryterium stwierdzaj¸ace wielokrotno´s´c danego pierwiastka.
19. Co to jest grupa permutacji n-element´ow ? Poda´c jej rz¸ad. Czy prawd¸a jest, ˙ze ka˙zdy element jest iloczynem transpozycji (element´ow rz¸edu dwa) ? 20. Temat do wyboru. Prosz¸e wybra´c sobie dowolny temat zwi¸azany z algebr¸a.
