Zestaw 4: Pierścienie ideałów głównych, Euklidesa, Chińskie Twierdzenie o Resztach

A. Mróz Zad. 1 Niech R b¦dzie podpier±cieniem pier±cienia S i niech r ∈ R.

(a) Wyka», »e je±li r jest nierozkªadalny w R, to nie musi on by¢ nierozkªadalny w S. [Wskazówka: rozwa» R = Z, S = Z[√−5] oraz r = 5.]

(b) Wyka», »e je±li r jest nierozkªadalny w S, to nie musi on by¢ nierozkªadalny w R. [Wskazówka: rozwa» R = Z, S = Z[1

2]oraz r = 6.]

(c) Wyka», »e pier±cie« Z[√−5] nie jest pier±cieniem z jednoznaczno±ci¡ rozkªadu. Def. Dziedzin¦ caªkowito±ci R nazywamy pier±cieniem Euklidesa o ile istnieje funkcja g : R \ {0} → N taka, »e

(1) dla ka»dych niezerowych a, b ∈ R, g(ab) ≥ g(a)g(b).

(2) dla ka»dych a, b ∈ R, b 6= 0, istniej¡ q, r ∈ R takie, »e a = bq + r oraz g(r) < g(b). Zad. 2 (a) Wska» przykªady pier±cieni Euklidesa.

(b) Znajd¹ nwd(1 + 5i, 1 + 3i) w pier±cieniu Z[i].

(c) Czy pier±cie« Z6[x]wraz z funkcj¡ stopnia jest pier±cieniem Euklidesa?

(d) Zastanów si¦, dlaczego w denicji funkcji g warunek, by g(r) < g(b) jest istotny dla algorytmu Euklidesa szukania nwd?

Zad. 3 Wykorzystuj¡c Chi«skie Twierdzenie o Resztach, udowodnij, »e zachodz¡ nast¦puj¡ce izomor-zmy pier±cieni: (a) Z100∼= Z4× Z25. (b) Q[x]/(x4_{− 1) ∼} = Q[x]/(x2+ 1) × Q[x]/(x + 1) × Q[x](x − 1). (c) C[x]/(x2_{+ 1) ∼} = C × C.

Mini kompendium: (1) Pier±cie« Euklidesa jest pier±cieniem ideaªów gªównych (p.i.g.).

(2) p.i.g. i b.d.0 jest pier±cieniem z jednoznaczno±ci¡ rozkªadu (p.z j.r.). (3) Je±li R jest p.z j.r. to R[x] jest p.z j.r.

Zad. 4 Które z nast¦puj¡cych pier±cieni s¡ p.i.g. a które z j.r.: Z[x], Q[x], R[x, y], Z[i], Z19[x, y]?

Zad. 1 Niech R b¦dzie podpier±cieniem pier±cienia S i niech r ∈ R.

(a) Wyka», »e je±li r jest nierozkªadalny w R, to nie musi on by¢ nierozkªadalny w S. [Wskazówka: rozwa» R = Z, S = Z[√−5] oraz r = 5.]

(b) Wyka», »e je±li r jest nierozkªadalny w S, to nie musi on by¢ nierozkªadalny w R. [Wskazówka: rozwa» R = Z, S = Z[1

2]oraz r = 6.]

(c) Wyka», »e pier±cie« Z[√−5] nie jest pier±cieniem z jednoznaczno±ci¡ rozkªadu. Def. Dziedzin¦ caªkowito±ci R nazywamy pier±cieniem Euklidesa o ile istnieje funkcja g : R \ {0} → N taka, »e

(1) dla ka»dych niezerowych a, b ∈ R, g(ab) ≥ g(a)g(b).

(2) dla ka»dych a, b ∈ R, b 6= 0, istniej¡ q, r ∈ R takie, »e a = bq + r oraz g(r) < g(b). Zad. 2 (a) Wska» przykªady pier±cieni Euklidesa.

(b) Znajd¹ nwd(1 + 5i, 1 + 3i) w pier±cieniu Z[i].

(c) Czy pier±cie« Z6[x]wraz z funkcj¡ stopnia jest pier±cieniem Euklidesa?

(d) Zastanów si¦, dlaczego w denicji funkcji g warunek, by g(r) < g(b) jest istotny dla algorytmu Euklidesa szukania nwd?

Zad. 3 Wykorzystuj¡c Chi«skie Twierdzenie o Resztach, udowodnij, »e zachodz¡ nast¦puj¡ce izomor-zmy pier±cieni: (a) Z100∼= Z4× Z25. (b) Q[x]/(x4_{− 1) ∼} = Q[x]/(x2+ 1) × Q[x]/(x + 1) × Q[x](x − 1). (c) C[x]/(x2_{+ 1) ∼} = C × C.

Mini kompendium: (1) Pier±cie« Euklidesa jest pier±cieniem ideaªów gªównych (p.i.g.).

(2) p.i.g. i b.d.0 jest pier±cieniem z jednoznaczno±ci¡ rozkªadu (p.z j.r.). (3) Je±li R jest p.z j.r. to R[x] jest p.z j.r.