PRACE M. W. OSTROGRADSKIEGO W ZAKRESIE MATEMATYKI Prace z dziedziny matematyki — znakomitego uczonego rosyjskie-go pierwszej połowy XIX w. Michaiła Wasiliewicza Ostrogradskierosyjskie-go (1801—1861) zawierają bardzo szeroki krąg zagadnień dotyczących ana-lizy, algebry i rachunku prawdopodobieństwa. Najważniejsze z nich, związane ściśle z pracami Ostrogradskiego z zakresu fizyki i mechaniki matematycznej, odnoszą się do rachunku wariacyjnego i całkowego.
Ważne zadania rachunku wariacyjnego — problem przeprowadze-nia krzywej w taki sposób, aby punkt poruszający się pod wpływem działania siły ciężkości wzdłuż tej krzywej najszybciej przebył drogę od jednego punktu do drugiego, problem znalezienia najkrótszej krzy-wej między dwoma danymi punktami na danej powierzchni oraz Inne — zostały wysunięte i rozwiązane na przełomie XVII i XVIII w. L. Euler (1707—1783) i J. L. Lagrange (1736—1811) opracowali ogól-ne metody rozwiązania zadań wariacyjnych, sprowadzających się do znalezienia ekstremów zwykłych całek oznaczonych, których wyraże-nie podcałkowe zawiera pewną funkcję wyraże-nieznaną. W szczególności
Euler wprowadził niezbędny warunek, któremu powinna odpowiadać taka funkcja, w postaci równania różniczkowego, nazywanego obec-nie jego imieobec-niem. A. Legendre (1752—1833) sformułował warunek wy-starczający dla istnienia ekstremum.
Rozwój fizyki matematycznej — teorii włoskowatości, teorii prze-wodnictwa ciepła, teorii potencjału — wymagał metod rozwiązywa-nia zadań na eksrema całek powierzchniowych i potrójnych. Jako przy-kład zagadnienia tego rodzaju może służyć zadanie: znaleźć równa-nie powierzchni swobodnej cieczy, zawartej w naczyniu, gdy znaj-duje się ona w stanie równowagi. Jednak nawet wyznaczenie ekstre-mum poszczególnej konkretnej całki podwójnej przedstawiało duże trud-ności i słusznie uważane było za poważny wkład do teorii rachunku wariacyjnego. Pierwszy rozwiązał zadanie tego rodzaju C. F. Gauss (1777—1855) w roku 1830. W roku 1835 Ostrogradski opublikował bardzo doniosłą pracę pt. Rachunek wariacyjny całek wielokrotnych.
W publikacji tej przedstawił najogólniejsze wyrażenie wariacji całki wielokrotnej, gdy do wyrażenia podcałkowego wchodzą funkcje wielu zmiennych oraz ich pochodne cząstkowe dowolnego rzędu. Ostrogradski wskazuje przy tym na błąd, popełniany dawniej przez matematyków przy obliczaniu wariacji pochodnych cząstkowych funkcji o wielu zmiennych i stwierdza, że przy wyprowadzaniu wariacji całki wielo-krotnej nie ma żadnej potrzeby stosowania zmiennych pomocniczych.
Praca Ostrogradskiego, która wydana była w Petersburgu w języ-ku francuskim, została w 1836 rojęzy-ku przedrukowana w Berlinie1 a w
1 „Journ. Für die reine und ang. Mathematik". Berlin 1836 Bd. 15 s. 332—354. K W A R T A L N I K H I S T O H I I N A U 1 K I I T E C H N I K I , K O K X X I — 1
40 A. T. Grigorian
r o k u 1861 opublikowana w przekładzie angielskim w książce J. Tod-huntera, p r z e d s t a w i a j ą c e j historię r a c h u n k u w a r i a c y j n e g o2.
Do r a c h u n k u w a r i a c y j n e g o Ostrogradski powracał wielokrotnie. Znaczna część n a j w i ę k s z e j jego pracy O równaniach różniczkowych, odnoszących się do zagadnienia izoperymetrycznego, przedstawionej Akademii Nauk w roku 1848 i opublikowanej w roku 1850 dotyczy r a -c h u n k u waria-cyjnego. W p r a -c y t ë j Ostrogradski rozszerza w y n i k i irlandzkiego uczonego W. Hamiltona, uzyskane dla potrzeb dynamiki, na dowolne zadania w a r i a c y j n e (które z powodu ich historycznego po-chodzenia zostały w wieku X I X nazwane i z o p e r y m e t r y c z n y m ia.
W t e j s a m e j pracy (jak również w niektórych pracach z zakresu mechaniki) Ostrogradski zwracał szczególną uwagę na niezależność wyrażeń oznaczonych (nawiasów Poissona) od doboru układu współ-rzędnych. Do okoliczności t e j Ostrogradski przywiązywał duże zna-czenie: idea niezmienniczości względem g r u p y przekształceń stanowiła podstawę nie t y l k o teorii Hamiltona — Jacobiego w mechanice, lecz okazała się jedną z podstawowych idei w m a t e m a t y c e X I X w.
Drugie w a ż n e stwierdzenie, które jak uważał Ostrogradski, zawiera całą mechanikę i cały rachunek w a r i a c y j n y , zbliżone jest do podsta-w o podsta-w e j myśli t a k zpodsta-wanego tpodsta-wierdzenia niezależności, udopodsta-wodnionego w r o k u 1901 przez D. Hilberta. Jest t o stwierdzenie o całkowalności wariacji wyrażenia podcałkowego. Ostrogradski wyraźnie dostrzegał wszystkie następstwa, które z niego w y n i k a j ą i zapewnił sobie p i e r w -szeństwo odkrycia tego twierdzenia w piśmie do N. D. Bradzmana 4.
Opracowanie r a c h u n k u w a r i a c y j n e g o w pracach Ostrogradskiego było nierozerwalnie związane z w y j a ś n i e n i e m samych jego podstaw oraz uściśleniem pojęcia wariacji. W pierwszej połowie XIX w. za-gadnienie t o nie wywoływało takiego silnego zainteresowania, jak póź-niej, gdy w pracach K. Weierstrassa (1815—1897) i Schäfera (1859— 1885) stwierdzono, że klasa dopuszczalnych wariacji w p ł y w a w istot-ny sposób na problem w a r i a c y j n y . Ostrogradski każdorazowo specjal-nie się z a t r z y m u j e na pojęciu wariacji f u n k c j i i wszędzie wprowadza je w sposób m a k s y m a l n i e jasny i dokładny. Taką ostrożność można było ocenić t y l k o p o p e w n y m czasie.
W związku z pracami nad fizyką matematyczną i r a c h u n k i e m w a r i a c y j n y m Ostrogradski poważnie wzbogacił ogólną teorię całek wielokrotnych. W pracy Przyczynek do teorii ciepła wyprowadził i z a -stosował wzór przekształcenia całki p o t r ó j n e j rozciągniętej na okreś-loną przestrzeń, w całkę powierzchniową po powierzchni ograniczającą t ę przestrzeń. Ten wzór Ostrogradskiego stał się j e d n y m z k a m i e -ni węgielnych n a u k i o całkach wielokrotnych i wszedł póź-niej do wszystkich podręczników n a u k o w y c h . J e g o znaczenie dla mechaniki można zrozumieć chociażby na podstawie tego, że umożliwia on obli-czenie wielkości strumienia płynu, w y p ł y w a j ą c e g o w określonym cza-sie z p e w n e j przestrzeni przez j e j powierzchnię graniczną, zarówno na podstawie wydajności źródeł płynu w e w n ą t r z t e j przestrzeni, jak i n a
2 J. Todhunter: A history of the progress of the calculus of variations during
the nineteenth century. Cambridge 1861 s. Ill—139.
3 Już starożytni Grecy rozwiązali, na przykład, zadanie znalezienia wśród
krzywych płaskich zamkniętych o danym obwodzie (figur izoperymetrycznych) t a k i e j krzywej, k t ó r a by ograniczała największe pole; jest nią okrąg koła.
4 M. W. Ostrogradski: Izbrannyje trudy. Moskwa: Izdatielstwo AN SSSR
podstawie prędkości cząstek płynu w momencie przepływania przez powierzchnię graniczną. W pracy O rachunku wariacyjnym całek wie-lokrotnych Ostrogradski uogólnił ten wzór na całki dowolnej krot-ności: było mu to potrzebne przy wyprowadzaniu wariacji całki m-krotnej.
W tejże pracy z roku 1834 Ostrogradski prawie jednocześnie z Ja-cobim (1833) zajął się zagadnieniem zamiany zmiennych w całce n-krotnej. W artykule O przekształceniu zmiennych w całkach krot-nych (1836) Ostrogradski zaproponował nową metodę wyprowadzenia wzoru na zmianę zmiennych w całce podwójnej, opierającą się na prostych pojęciach geometrycznych, które wyjaśniają samą istotę rze-czy. Metodę tę wykłada się obecnie w podręcznikach analizy ma-tematycznej.
Wiele artykułów Ostrogradskiego, napisanych w latach 1833—1845, dotyczy teorii całkowania funkcji algebraicznych: zagadnienia ich całkowalności w funkcjach elementarnych oraz ustalania rodzajów całek, jeżeli są one wyrażane przez funkcje elementarne. Powyższe prace Ostrogradskiego zbliżone są do znakomitych badań Norwega N. Abela (1802—1829). Wymieńmy tylko jedno rozwiązanie Ostrograd-skiego, zawarte w pracy O całkowaniu ułamków prostych, zreferowa-nej w roku 1844 i wydrukowazreferowa-nej w roku 1845. Jest to metoda ozna-czenia algebraicznej części całki ułamka wymiennego, nie wymagają-ca uprzedniego obliczania pierwiastków wielomianu w mianowniku i czynności całkowania. Również tę metodę Ostrogradskiego można obecnie znaleźć we wszystkich wykładach analizy.
Ostrogradski wniósł wielki wkład do nauki o równaniach różnicz-kowych z pochodnymi cząstkowymi. Uczony zostawił także trwały ślad w opracowaniu teorii równań różniczkowych zwyczajnych.
W niedużej pracy Uwagi o równaniach różniczkowych liniowych przedstawionej Akademii Nauk w roku 1838 i wydrukowanej w roku następnym, Ostrogradski wyprowadził jedno z podstawowych twier-dzeń ogólnej teorii równań różniczowych liniowych -— wzór, wyraża-jący wyznacznik Wrońskiego danego równania przez pewien jego współczynnik.
Interesujące są także inne, nieco wcześniejsze Uwagi o metodzie kolejnych przybliżeń (1835). Ostrogradski udoskonalił w nich sposób przybliżonego rozwiązania równań różniczkowych nieliniowych, po-danych przez Newtona. W metodzie Ostrogradskiego (rozkładu roz-wiązania w szereg względem pewnego małego parametru) są zaczątki metod współczesnej teorii drgań nieliniowych, która się obecnie sze-roko rozwinęła i znalazła niezwykle ważne zastosowanie w nauce i technice.
Ostrogradski żywo się interesował algebrą i teorią liczb. W roku 1836 wygłosił on w Morskim Korpusie Kadetów obszerny publiczny cykl wykładów z tych przedmiotów, który został opublikowany w opar-ciu notatki słuchaczy S. Burczaka i S. Zielenogo pod tytułem Wykłady z analizy algebraicznej i przestępnej, w dwóch częściach (1837). Pierw-sza część poświęcona jest rozwiązaniu równań algebraicznych, druga — teorii funkcji algebraicznych; razem zawierają one prawie 1C00 stron. Chociaż algebra znajdowała się nieco na uboczu od głównych zainteresowań Ostrogradskiego, w pełni przyswoił on sobie wszystkie najnowsze osiągnięcia w tej dziedzinie, w tym również wynik nikomu wówczas nie znanych, przez nikogo nie docenianych prac E. Galois'a
42 A. T. Grigorian
<1811—1832) z teorii grup. W pełni ocenił Ostrogradski także zna-czenie podstawowych prac M. Abela w zakresie ogólnej teorii równ a ń algebraiczrównych i przedstawił orygirównalrówny dowód słyrównrównego t w i e r -dzenia Abela (1824) o niemożliwości rozwiązania w postaci ogólnej dowolnego równania stopnia piątego i wyższych za pomocą skończonej liczby działań algebraicznych.
Szereg wykładów kursu poświęcono teorii liczb. Był t o pierwszy w Rosji systematyczny kurs m a t e m a t y k i . Stał on na wysokim pozio-m i e (obejpozio-mował, na przykład, teorię dwupozio-mianowych r ó w n a ń Gaussa). Między innymi w y k ł a d y omawiały tablicę pierwiastków liczb pierw-szych, mniejszych od 200, o k t ó r e j pochlebnie się później wyraził P. L. Czebyszew w s w o j e j Teorii równań (1849).
W teorii prawdopodobieństwa i statystyce m a t e m a t y c z n e j uwagę Ostrogradskiego zwracały poszczególne zagadnienia o charakterze p r a k t y c z n y m . P r z y k ł a d e m może t u być a r t y k u ł z 1846 г., przedmio-t e m kprzedmio-tórego jesprzedmio-t konprzedmio-trola jakości produkcji przemysłowej za pomocą metody w y r y w k o w e j . Z a p e w n e zainteresowanie teorią p r a w d o -podobieństwa powstało u Ostrogradskiego w w y n i k u p r a c y w komi-s j i ubezpieczeń, gdzie on r a z e m z W. J. Buniakowkomi-skim (1804 — 1889) mieli za zadanie przeprowadzić wszystkie niezbędne obliczenia do prze-pisów o kasach emerytalnych.
Kończąc krótki przegląd p r a c matematycznych M. W. Ostrogradskiego należy podkreślić, że ich cechą c h a r a k t e r y s t y c z n ą jest w y s u w a -nie i głębokie u j m o w a n i e zagad-nień podstawowych. Ostrogradski in-teresował się p r a w i e wszystkimi a k t u a l n y m i problemami m a t e m a t y k i swych czasów. Nierzadko się zdarzało, że on i jego współcześni uzyski-wali — niezależnie od siebie — identyczne l u b podobne wyniki, w in-n y c h przypadkach Ostrogradski pierwszy dokoin-nywał odkryć, k t ó r e z kolei powtarzali inni.
А. Т. Григорьян РАБОТЫ M. В. ОСТРОГРАДСКОГО ПО МАТЕМАТИКЕ В статье освещается вклад крупнейшего русского учёного первой половины XIX в. М. В. Остроградского в области различных разделов математики. Он является автором многих важных исследований по вариационному исчислению и математическому анализу. В статье показано, что основополагающие труды Остроградского примыкают к замечатель-ным исследованиям Л. Эйлера (1707—1783), Ж. Л. Лагранжа (1736—1813), К. Ф. Гаусса (1777—1855), У. Р. Гамильтона (1805—1865), К. Якоби (1804—1851), К. Вейерштраса (1815— 1897), Н. Абеля (1802—1829) и др. А. T. Grigorian L ' O E U V R E DE M. W. O S T R O G R A D S K I D A N S LE D O M A I N E DES M A T H É M A T I Q U E S D a n s l'article, on a p r é s e n t é l ' a p p o r t d ' é m i n e n t s a v a n t r u s s e de l a p r e m i è r e m o i t i é du X I X e siècle, M. W. O s t r o g r a d s k i , d a n s le d o m a i n e des m a t h é m a t i q u e s . U é t a i t l ' a u t e u r de p l u s i e u r s r e c h e r c h e s f o n d a m e n t a l e s c o n c e r n a n t le calcul de v a r i a t i o n et l ' a n a l y s e m a t h é m a t i q u e . D a n s l'article, on a d é m o n t r é q u e les p l u s i m p o r t a n t e s r e c h e r c h e s de O s t r o g r a d s k i r e s s e m b l e n t a u x r e m a r q u a b l e s d é c o u v e r t e s de L. E u l e r (1707—1783), J. L. L a g r a n g e (1736—1813), С. F. G a u s s (1777—1855), W. R. H a m i l t o n (1805—1865), С. J a c o b i (1804—1851), К . W e i e r s t r a s s (1815—1897), N. A b e l (1802—1829) et des a u t r e s .
