Analityczny nieliniowy algorytm regulacji predykcyjnej z modelami neuronowymi / PAR 2/2009 / 2009 / Archiwum / Strona główna | PAR Pomiary - Automatyka - Robotyka

Pomiary Automatyka Robotyka 2/2009

dr in
. Maciej awryczuk

Instytut Automatyki i Informatyki Stosowanej Politechnika Warszawska

ANALITYCZNY NIELINIOWY ALGORYTM REGULACJI

PREDYKCYJNEJ Z MODELAMI NEURONOWYMI

W pracy przedstawiono nieliniowy algorytm regulacji predykcyjnej wykorzystuj
-cy modele neuronowe typu perceptronowego MLP (ang. Multi Layer Perceptron). Model neuronowy jest linearyzowany w otoczeniu aktualnego punktu pracy. Aktualna warto sygnau steruj
cego wyznaczana jest w sposób analityczny, bez potrzeby optymalizacji. Uzyskane rozwi
zanie jest rzutowane na zbiór ogranicze wartoci i szybkoci zmian sygnau steruj
cego. Algorytm jest efektywny obliczeniowo, wymaga jedynie cyklicznej dekompozycji macierzy i rozwi
zania dwu równa liniowych. Algorytm charakteryzuje si du
dokadnoci
regulacji, porównywaln
z algorytmami wymagaj
cymi bie
cej nieliniowej optymalizacji.

AN EXPLICIT NONLINEAR PREDICTIVE CONTROL ALGORITHM BASED ON NEURAL MODELS

This paper describes a nonlinear Model Predictive Control (MPC) algorithm based on MLP (Multi Layer Perceptron) neural models. The neural model is linearised on-line around the current operating point. The value of the manipulated variable is calculated explicitly without any optimisation. The obtained solution is projected onto the admissible set of constraints imposed on the magnitude and the increment of the manipulated variable. The algorithm is computationally efficient. It needs repeating on-line a matrix decomposition task and solving two linear equations. The algorithm gives good closed-loop control performance, comparable to that obtained in nonlinear MPC, which hinges on nonlinear optimisation.

1. WST
P

Regulacja predykcyjna (ang. Model Predictive Control, w skrócie MPC) jest jedyn zaawan-sowan technik regulacji, która nie tylko przycigna uwag teoretyków, ale równie
znala-za bardzo szerokie zastosowanie praktyczne [10, 17, 18, 19]. Algorytmy regulacji predykcyj-nej s powszechnie stosowane do regulacji wielu procesów technologicznych, przede wszyst-kim w przemyle chemicznym, petrochemicznym, papierniczym, metalurgicznym oraz prze-twórczym. W porównaniu z innymi technikami regulacji, maj one kilka istotnych zalet. Po pierwsze, umo
liwiaj w naturalny sposób uwzgldnienie ogranicze sygnaów wejciowych i wyjciowych procesu, których spenienie jest kluczowe z punktu widzenia jakoci, efektyw-noci ekonomicznej i bezpieczestwa produkcji. Po drugie, algorytmy te mo
na z powodze-niem zastosowa do regulacji procesów wielowymiarowych, o wielu wejciach i wielu wyj-ciach. Co wicej, algorytmy regulacji predykcyjnej mo
na wykorzysta do regulacji proce-sów o trudnej dynamice, np. proceproce-sów z opó nieniem lub z odwrotn odpowiedzi skokow. Cech szczególn regulacji predykcyjnej jest wykorzystanie do prognozowania stanu procesu i obliczania (optymalizacji) wartoci sygnaów sterujcych dynamicznego modelu procesu. Poniewa
waciwoci wielu procesów s nieliniowe, z coraz wikszym zainteresowanie spo-tykaj si nieliniowe algorytmy regulacji predykcyjnej [4, 12, 17, 19]. Ogólna zasada regula-cji predykcyjnej nie nakada
adnych ogranicze dotyczcych rodzaju modelu.

W szczególnoci, w algorytmie regulacji predykcyjnej mo
e zastosowa modele fizykoche-miczne. Rozwizanie takie ma kila bardzo istotnych wad. Opracowanie modeli jest zwykle trudne, dugotrwae i kosztowne. Co wicej, modele fizykochemiczne s zazwyczaj zo
one (nieliniowe ukady równa ró
niczkowych i algebraicznych). Bezporednie zastosowanie takich modeli w algorytmach regulacji predykcyjnej nie jest zwykle mo
liwe, poniewa
w trakcie cyklicznego rozwizywania równa nieliniowych nieuniknione s problemy nume-ryczne.

W algorytmach regulacji predykcyjnej stosuje si ró
ne rodzaje modeli nieliniowych, np. mo-dele wielomianowe, szeregi Volterry, momo-dele rozmyte, sieci neuronowe. Autor niniejszej pra-cy prowadzi badania algorytmów wykorzystujpra-cych modele neuronowe [8, 9, 20]. W przeciwiestwie do modeli fizykochemicznych, maj one kilka zalet, a mianowicie:

a) Sieci neuronowe s uniwersalnymi aproksymatorami. Potrafi aproksymowa dowol-n funkcj nieliniow z bardzo du
 dokadnoci [5], mog one równie
dokadnie modelowa zachowanie procesów technologicznych [6, 13].

b) Opracowano wiele algorytmów uczenia sieci i doboru ich architektury [3, 14].

c) Sieci neuronowe maj prost, regularn struktur oraz stosunkowo mao parametrów. d) Sieci neuronowe mog by stosunkowo atwo wykorzystane w ró
nych odmianach

al-gorytmów regulacji predykcyjnej [1, 6, 7, 8, 9, 13, 15, 16, 20, 21].

e) W algorytmach regulacji predykcyjnej z modelami neuronowymi nie wystpuj problemy numeryczne typowe dla algorytmów z modelami fizykochemicznymi.

W pracy omówiono analityczny nieliniowy algorytm regulacji predykcyjnej wykorzystujcy modele neuronowe. Aktualna warto sygnau sterujcego wyznaczana jest w sposób analityczny, bez potrzeby optymalizacji. Przedstawiony algorytm jest efektywny obliczeniowo, wymaga jedynie cyklicznej dekompozycji LU macierzy i rozwizania dwóch prostych równa liniowych. Aby zapewni spenienie istniejcych ogranicze, obliczone rozwizanie jest rzutowane na zbiór istniejcych ogranicze. Algorytm charakteryzuje si du
 dokadnoci regulacji, porównywaln z algorytmami wymagajcymi bie
cej nieliniowej optymalizacji.

2. REGULACJA PREDYKCYJNA 2.1. Zasada regulacji predykcyjnej

W algorytmie regulacji predykcyjnej, w ka
dej dyskretnej chwili k (iteracji algorytmu) wyznacza si wektor przyszych przyrostów sygnau sterujcego

>

@

T u k N k u k k u k) ( | ) ( 1| ) ( ' '   'u ! (1)

Zakada si,
e 'u(k p|k) 0 dla ptNu, przy czym Nu jest horyzontem sterowania. Celem algorytmu jest minimalizacja ró
nic midzy trajektori zadan yzad(k p|k) a prognozowanymi wartociami sygnau wyjciowego yˆ(k p|k) na caym horyzoncie predykcji, dla p 1,!,N, przy czym zwykle Nu<N. Minimalizowana funkcja kosztu ma posta

Pomiary Automatyka Robotyka 2/2009

gdzie P_p t0 i O_p !0 s wspóczynnikami wagowymi. Do sterowania wykorzystuje si je-dynie pierwszy element wyznaczonej sekwencji (1), prawo regulacji ma posta

) 1 ( ) | ( ) (k 'u k k u k u (3)

W kolejnej dyskretnej chwili k+1 nastpuje aktualizacja pomiaru zmiennej wyjciowej, horyzont predykcji zostaje przesunity o jeden krok do przodu i caa procedura jest powtórzona.

W regulacji predykcyjnej wykorzystuje si dynamiczny model procesu. Jest on stosowany do obliczania przewidywanych wartoci zmiennej wyjciowej. Oznacza to,
e je
eli tylko dostpny model procesu jest dokadny, mo
na zaprojektowa bardzo dobry algorytm regulacji predykcyjnej, uwzgldniajcy natur procesu, jego waciwoci statyczne i dynamiczne. 2.2. Optymalizacja polityki sterowania

Jak podkrelono we wstpie, mo
liwo uwzgldnienia ogranicze sygnaów procesowych jest jedn z zalet algorytmów regulacji predykcyjnej. W dalszej czci pracy uwzgldnia si ograniczenia minimalnej (umin) i maksymalnej wartoci sygnau sterujcego (umax) oraz ogra-niczenie maksymalnej szybkoci zmian sygnau sterujcego ('umax). W ka
dej iteracji algo-rytmu regulacji minimalizowany jest wska nik jakoci regulacji (2) przy uwzgldnieniu ogra-nicze. Odbywa si to w wyniku rozwizania nastpujcego zadania optymalizacji

1 , , 0 ) | ( 1 , , 0 ) | ( : iach ograniczen przy } )) | ( ( )) | ( ˆ ) | ( ( ) ( { min max max max min 1 0 2 1 2 ) (  ' d  ' d '   d  d  '    

¦

¦

 ' u u N p p N p zad p k N p u k p k u u N p u k p k u u k p k u k p k y k p k y k J u ! ! O P u (4)

Definiujc wektory o dugoci N

>

@

>

@

T T zad zad zad k N k y k k y k k N k y k k y k ) | ( ˆ ) | 1 ( ˆ ) ( ˆ ) | ( ) | 1 ( ) (     ! ! y y (5)

oraz wektory o dugoci Nu

>

@

>

@

>

@

T

>

@

T T k T u u u u k u k u u u max max max max max max 1 min min min , ) 1 ( ) 1 ( , ' ' '    ! ! ! ! u u u u (6)

problem optymalizacji (4) mo
na przedstawi jako

max max max 1 min 2 2 ) ( ) ( ) ( : iach ograniczen przy } ) ( ) ( ˆ ) ( ) ( { min u u u u u u J u y y u ' d ' d '  d  ' d '    ' k k k k k k J k zad k M u / (7)

przy czym J jest trójktn doln macierz o wymiarowoci NuuNu, natomiast M oraz / s diagonalnymi macierzami o wymiarowoci, odpowiednio, NuN oraz NuuNu zawierajcymi wspóczynniki wagowe Pp,Op.

2.3. Klasyfikacja nieliniowych algorytmów regulacji predykcyjnej

W ogólnoci, mo
na wyró
ni dwie klasy nieliniowych algorytmów regulacji predykcyjnej: a) algorytmy z nieliniow optymalizacj

b) algorytmy suboptymalne z cykliczn linearyzacj nieliniowego modelu procesu. W pierwszym przypadku do wyznaczenia aktualnej polityki sterowania (wektora przyszych przyrostów sygnau sterujcego) wykorzystuje si nieliniowy model procesu be

adnych uproszcze. Prognozowane wartoci sygnau wyjciowego zale
 wówczas w sposób nieli-niowy od obliczanych przyszych sygnaów sterujcych. Oznacza to,
e w ka
dej iteracji al-gorytmu w czasie rzeczywistym nale
y rozwiza nieliniowe zadanie optymalizacji (7). Jest to nie tylko trudne, zo
one obliczeniowe i czasochonne. Przede wszystkim jednak, istnieje niebezpieczestwo utknicia procedury optymalizacji w pytkim minimum lokalnym.

Cech szczególn algorytmów suboptymalnych jest cykliczna linearyzacja nieliniowego mo-delu procesu. Uzyskane przybli
enie liniowe jest nastpnie wykorzystywane w optymalizacji polityki sterowania. Dziki linearyzacji prognozowane wartoci sygnau wyjciowego zale
 w sposób liniowy od obliczanych przyszych sygnaów sterujcych. W ka
dej iteracji algo-rytmu rozwizuje si zadanie optymalizacji kwadratowej, co mo
e by wykonane w skoczo-nym czasie, mo
liwym do przewidzenia. Algorytmy suboptymalne zapewniaj w praktyce dobr jako regulacji, niewiele gorsz od algorytmów z nieliniow optymalizacj [4, 19].

3. ANALITYCZNY NIELINIOWY ALGORYT REGULACJI PREDYKCYJNEJ 3.1. Struktura modelu neuronowego

Zakada si,
e model dynamiczny procesu nieliniowego o jednym wejciu i jednym wyjciu (ang. Single-Input Single-Output, w skrócie SISO) dany jest w postaci równania

)) ( , ), 1 ( ), ( , ), ( ( )) ( ( ) (k f k f u k u k n_B y k y k n_A y x W !   !  (8)

Aktualna warto sygnau wyjciowego procesu jest nieliniow funkcj sygnau wejciowego i wyjciowego w poprzednich iteracjach algorytmu (chwilach próbkowania). Nieliniowa funkcja _f :ƒnAnBW1oƒ_{, gdzie}

B

n

d

W , jest realizowana przez sie neuronow typu per-ceptronowego (ang. Multilayer Perceptron, w skrócie MLP) z jedn warstw ukryt i linio-wym wzem wyjciolinio-wym [3, 14]. Wyjcie sieci (modelu) obliczane jest ze wzoru

¦

 K i i i z k w w k y 1 2 2 0 ( ( )) ) ( M (9)

gdzie wielkoci zi(k) jest sum sygnaów wejciowych i-tego neuronu ukrytego, M:ƒoƒ jest nieliniow funkcj aktywacji neuronów warstwy ukrytej (np. M tanh), K jest iloci neuronów ukrytych. Na podstawie (8), dla sieci neuronowej otrzymuje si

¦

¦

       u A n j u I j i k w w i j u k j w i I j y k j z 1 1 1 1 1(1,0) (, ) ( 1 ) (, ) ( ) ) ( W (10)

Wagi pierwszej warstwy oznaczone s jako w₁(i, j), przy czym i 1,!,K, 1

, ,

0 n_A n_B W 

j ! , natomiast wagi drugiej warstwy przez w₂(i), gdzie i 0,!,K. Struktura sieci neuronowej pokazana jest na rys. 1.

Pomiary Automatyka Robotyka 2/2009 ) ( 1 k v ) (k v_K 1 1 ) 0 , ( 1 K w ) 0 , 1 ( 1 w ) 0 ( 2 w ) 1 ( 2 w ) ( 2 K w ) (k y ) 1 , ( 1 K w ) 1 , 1 ( 1 w ) (k n_A u  ) (kW u M M # + # ) 1 , ( 1 K nAnBW w ) (k nB u  ) 1 (k y #

3.2. Optymalizacja polityki sterowania

Aby wyeliminowa konieczno rozwizywania w ka
dej iteracji algorytmu nieliniowego problemu optymalizacji (7), w opisywanym algorytmie zostanie wykorzystane podejcie suboptymalne, bazujce na algorytmie z Nieliniow Predykcj i Linearyzacj (NPL) [8, 9, 19, 20]. W ka
dej iteracji k algorytmu NPL nieliniowy neuronowy model procesu jest wykorzy-stany dwa razy, a mianowicie do wyznaczenia lokalnego przybli
enia liniowego oraz do obli-czenia nieliniowej trajektorii swobodnej. Zakada si,
e wektor predykcji sygnau wyjcio-wego yˆ k( ) na horyzoncie predykcji mo
na przedstawi jako sum trajektorii wymuszonej, która zale
y wycznie od przyszoci (czyli od przyszych przyrostów sygnau sterujcego 'u(k) na horyzoncie sterowania) oraz trajektorii swobodnej y0

(k), która zale
y wycznie od przeszoci ) ( ) ( ) ( ) ( ˆ 0 k k k k G 'u  y y (11)

Macierz dynamiczna o wymiarowoci NuNu zawiera wspóczynniki odpowiedzi skokowej aktualnie wyznaczonej liniowej aproksymacji modelu nieliniowego. Ma ona posta

» » » » » ¼ º « « « « « ¬ ª    ( ) ( ) ) ( 0 ) ( ) ( 0 0 ) ( ) ( 1 1 1 2 1 k s k s k s k s k s k s k u N N N N ! # % # # ! ! G (12)

natomiast wektor trajektorii swobodnej ma dugo N

>

@

T k N k y k k y k) ( 1| ) ( | ) ( 0 0 0 _{ ! } y (13)

Dziki zastosowaniu suboptymalnej predykcji (11), nieliniowy problem optymalizacji roz-wizywany w ka
dej iteracji algorytmu regulacji predykcyjnej (7) jest w istocie nastpujcym zadaniem programowania kwadratowego

max max max 1 min 2 2 0 ) ( ) ( ) ( : iach ograniczen przy } ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( { min u u u u u u J u y u G y u ' d ' d '  d  ' d '   '   ' k k k k k k k k J k zad k M u / (14)

Klasyczny algorytm NPL uwzgldnia ograniczenia w sposób cisy, s one integraln czci zadania optymalizacji (14). Algorytm taki jest nazywany algorytmem numerycznym. W b-dcym tematem pracy algorytmie analitycznym wektor zmiennych decyzyjnych 'u(k) oblicza si w sposób analityczny, unikajc jakiejkolwiek optymalizacji. Jest to mo
liwe wówczas, gdy rozwi
e si zadanie optymalizacji funkcji kryterialnej bez jakichkolwiek ogranicze, a nastpnie rzutuje uzyskane rozwizanie na zbiór ogranicze.

Zadanie optymalizacji analitycznego algorytmu NPL ma posta

} ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( { min 0 2 2 ) ( J k k k k k k / zad k  '  M  'u 'u y G u y (15)

Poniewa
minimalizowana funkcja celu jest kwadratowa, aby uzyska rozwizanie wystarczy gradient tej funkcji

) ( 2 )) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( 2 ) ( ) ( 0 k k k k k k k k J _GT _{M y}zad _{G u y u} u   '   ' ' w w _/ (16)

przyrówna do zera (wektorowo). Wektor optymalnych przyrostów sygnaów sterujcego obliczany jest ze wzoru

))'u(k) K(k)(yzad(k) y0(k (17)

gdzie



G MG



G M

K(k) T(k) (k)/ 1 T(k) (18)

jest macierz o wymiarowoci NuuN. Jest ona zale
na od macierzy dynamicznej G(k), obli-czanej w ka
dej iteracji algorytmu NPL na podstawie linearyzacji modelu neuronowego. Oznacza to,
e równie
macierz K(k) musi by obliczana w ka
dej iteracji algorytmu. atwo pokaza,
e uzyskane rozwizanie jest minimum globalnym zadania (15), poniewa
macierz drugich pochodnych (hesjan) funkcji kryterialnej 2( ( ) ( ) )

) ( ) ( 2 2 /  ' w w T _{k k} k k J _{G MG} u jest dodatnio

okrelona dla wspóczynników wagowych P_p t0 i O_p !0.

Do obliczania odwrotnoci macierzy _GT(k)_MG(k)/ _{stosuje si rozkad (dekompozycj)} LU [2] tej macierzy, a nastpnie rozwizuje si równania liniowe. Wyznacza si macierze

P(k), L(k) oraz U(k), dla których



( ) ( )/



) ( ) ( ) (k U k P k GT k MG k L (19)

przy czym L(k) jest macierz trójktn doln (z jedynkami na przektnej), U(k) jest macierz

Pomiary Automatyka Robotyka 2/2009 » » » » » » ¼ º « « « « « « ¬ ª » » » » » » ¼ º « « « « « « ¬ ª ) ( 0 0 0 ) ( ) ( 0 0 ) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , 1 ) ( ) ( ) ( 0 1 ) ( ) ( 0 0 1 ) ( 0 0 0 1 ) ( , , 3 3 , 3 , 2 3 , 2 2 , 2 , 1 3 , 1 2 , 1 1 , 1 3 , 2 , 1 , 2 , 3 1 , 3 1 , 2 k u k u k u k u k u k u k u k u k u k u k k l k l k l k l k l k l k u u u u u u u u N N N N N N N N ! # % # # # ! ! ! ! # % # # # ! ! ! U L

Natomiast P(k) jest macierz przestawie w eliminacji Gaussa, w ka
dym wierszu i kolumnie zawiera ona tylko jeden element równy 1, pozostae elementy s zerowe.

Prawdziwa jest zale
no



G MG



G MG



P I

P(k) T(k) (k)/ T(k) (k)/ 1 (k) (21) Czyli, korzystajc z (19), otrzymuje si



G MG



P I

U

L(k) (k) T(k) (k)/ 1 (k) (22) Niech szukana macierz odwrotna ma posta





» » » » » ¼ º « « « « « ¬ ª   ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , 1 , 1 , , 2 2 , 2 1 , 2 , 1 2 , 1 1 , 1 1 k h k h k h k h k h k h k h k h k h k k k u u u u u u N N N N N N T ! # % # # ! ! / MG G H (23)

Otrzymuje si zatem

» » » » ¼ º « « « « ¬ ª » » » » » ¼ º « « « « « ¬ ª 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , 1 , 1 , , 2 2 , 2 1 , 2 , 1 2 , 1 1 , 1 ! # % # # ! ! ! # % # # ! ! k k h k h k h k h k h k h k h k h k h k k u u u u u u N N N N N N P U L (24) Niech wektory h~₁(k), ,h~ (k) u N

! bd kolejnymi kolumnami macierzy odwrotnej, natomiast wektory )v₁(k), ,v (k

u N

! bd kolejnymi kolumnami iloczynu macierzy P(k)I. Powy
sze równanie macierzowe odpowiada Nu ukadom równa liniowych

) ( ) ( ~ ) ( ) ( ), ( ) ( ~ ) ( ) (k k h₁ k v₁ k k k h k v k u u N N U L U L " (25)

Rozwizanie powy
szych równa odbywa si dwuetapowo. Dziki zastosowaniu rozkadu LU najpierw nale
y rozwiza ukady równa L(k)q_p(k) v_p(k), a nastpnie

) ( ) ( ~ ) (k h_p k q_p k

U dla p=1,…,Nu, przy czym

>

@

T N p p p k q k q k q u( ) ) ( ) ( ,1 ! , jest

wektorem rozwiza pierwszych równa podstawianym do drugich. Dziki rozkadowi LU macierze L(k) oraz U(k) s trójktne, rozwizania obu ukadów równa s bardzo proste

1 , , ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( , , 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 , , , , , 1 1 , , , , ! ! u N i j j p j i i p i i i p u i j j p j i i p i p N i k h k u k q k u k h N i k q k l k v k q u ¸¸¹ · ¨¨© §  

¦

¦

  (26) / / / / / / / (20)

Obliczone rozwizanie mo
e nie spenia istniejcych ogranicze minimalnej (umin) lub mak-symalnej wartoci (umax) oraz maksymalnej szybkoci zmian sygnau sterujcego ('umax). Dlatego te
obliczony przyrost 'u(k|k) zostaje rzutowany na zbiór ogranicze. Innymi sowy, uzyskane rozwizanie zostaje przycite w taki sposób, aby speniao istniejce ograniczenia. Procedura rzutowania ogranicze jest nastpujca

) | ( ) ( ) | ( ) | ( ) | ( ) | ( ) 1 ( ) | ( ) | ( ) | ( ) | ( ) | ( ) | ( max max min min max max max max k k u k u u k k u u k k u u k k u u k k u k u k k u k k u u k k u u k k u u k k u u k k u !    ' ' ' ' ! ' '  ' '   ' przyjmij je
eli przyjmij je
eli przyjmij je
eli przyjmij je
eli (27)

Warto zauwa
y,
e w analitycznym algorytmie NPL nie ma potrzeby obliczania caego wek-tora przyszych przyrostów sygnau sterujcego 'u(k), a tylko pierwszy jego element

) | (k k u

' . Wzory (17) i (18) pozostaj w mocy, oblicza si tylko pierwszy wiersz macierzy )

(k

K . Aby byo to mo
liwe dekompozycji LU poddaje si macierz



_T



T k k k k k) ( ) ( ) ( ) ( )/ ( U P G MG L (28)

W rezultacie, oblicza si tylko pierwsz kolumn macierzy odwrotnej H(k). Rozwizuje si tylko pierwsze z równa (25). Równania (26) pozostaj w mocy, ale tylko dla p=1.

Ogólna struktura algorytmu analitycznego z Nieliniow Predykcj i Linearyzacj (NPL) zo-staa przedstawiona na rys. 2. W ka
dej iteracji wykonane s nastpujce kroki:

1. Linearyzacja modelu neuronowego: wyznaczenie macierzy dynamicznej G(k).

2. Obliczenie nieliniowej trajektorii swobodnej y0(k) na podstawie modelu neuronowego.

3. Wyznaczenie rozkadu LU macierzy



GT(k)MG(k)/



T – wzór (28).

4. Wyznaczenie pierwszej kolumny odwrotnoci macierzy



GT(k)MG(k)/



T przez rozwizanie równania liniowego L(k)U(k)h~₁(k) v₁(k), pierwszego z ukadu (25). 5. Obliczenie pierwszego elementu 'u(k|k) optymalnego wektora zmiennych

decyzyj-nych )'u(k – wzór (17).

6. Rzutowanie wielkoci 'u(k|k) na zbiór ogranicze – wzory (27). 7. Zastosowanie do sterowania obliczonego sterowania.

8. Podstawienie k: k1, przejcie do kroku 1.

Szczegóy dotyczce linearyzacji modelu neuronowego, obliczenia macierzy dynamicznej i wyznaczania trajektorii swobodnej podano w pracach [8, 19, 20].

Pomiary Automatyka Robotyka 2/2009 ) (k zad y u(k) Proces 1  z Analityczny algorytm NPL ) (k G y0(k) rozkad LU, rozwizanie ukadu równa liniowych, rzutowanie rozwizania na zbiór ogranicze linearyzacja, wyznaczenie nieliniowej trajektorii swobodnej model neuronowy ) (k y

Rys. 2. Struktura analitycznego algorytmu z Nieliniow Predykcj i Linearyzacj (NPL)

4. EKSPERYMENTY 4.1. Reaktor polimeryzacji

Rozwa
anym procesem jest reaktor polimeryzacji [11]. Jego wejciem (zmienn manipulo-wan) jest nat
enie dopywu inicjatora FI [m3/h], wyjciem (zmienn regulowan) jest red-nia masa czsteczkowa NAMW (ang. Number Average Molecular Weight). Reaktor ten jest

czsto stosowany w celu porównania nieliniowych algorytmów regulacji [8, 9, 19, 20]. 4.2. Modelowanie procesu polimeryzacji

Model fizykochemiczny [11] jest traktowany podczas symulacji jako rzeczywisty proces. Zo-stay wygenerowane dwa zbiory danych liczce 2000 próbek, a mianowicie zbiór danych uczcych oraz danych testowych. Pierwszy z nich su
y do identyfikacji (uczenia) modeli, drugi – wycznie do oceny jakoci otrzymanych modeli. Aby odda warunki panujce w przemyle do wyjcia procesu dodano niewielki szum. Przygotowano dwa modele, a miano-wicie model liniowy

) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) (k b2u k a1y k a2y k y (29)

oraz model neuronowy

)) 2 ( ), 1 ( ), 2 ( ( ) (k f u k y k y k y (30)

Oba modele maj te same argumenty. Oczywicie, wykonano szereg eksperymentów maj-cych na celu okrelenie rzdu dynamiki modeli, w pracy przedstawiono tylko modele bdce efektem tych poszukiwa. Na rys. 3 pokazano wyjcie modelu liniowego na tle obu zbiorów danych, natomiast na rys. 4 pokazano wyjcie modelu neuronowego na tle danych. Niedo-kadno modelu liniowego jest bardzo du
a, natomiast model neuronowy prawidowo oddaje waciwoci procesu.

1 500 1000 1500 2000 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5x 10 4 k NA M W Uczenie 1 500 1000 1500 2000 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5x 10 4 k NA M W Testowanie

Rys. 3. Daneorazwyjcie modelu liniowego dla zbioru uczcego i testowego

1 500 1000 1500 2000 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5x 10 4 k NA M W Uczenie 1 500 1000 1500 2000 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5x 10 4 k NA M W Testowanie

Rys. 4. Daneorazwyjcie modelu neuronowego dla zbioru uczcego i testowego 4.3. Regulacja predykcyjna procesu polimeryzacji

Porównano cztery rodzaje algorytmów regulacji predykcyjnej, a mianowicie: a) Algorytm liniowy z modelem liniowym (29).

b) Analityczny algorytm NPL (bez optymalizacji) z modelem neuronowym (30).

c) Numeryczny algorytm NPL (z optymalizacj kwadratow) z modelem neuronowym (30).

d) Numeryczny algorytm z nieliniow optymalizacj z modelem neuronowym (30). We wszystkich badanych algorytmach przyjto te same parametry: N=10, Nu=3,Pp=1, Op=0.2,

FImin=0,003 m3/h,FImax=0,06 m3/h,'FImax=0,005 m3/h. Czas próbkowania wynosi 1.8 min.

              X  K 5CZENIE               X  K 4ESTOWANIE /".8 /".8              X  K 5CZENIE              X  K 4ESTOWANIE /".8 /".8

Pomiary Automatyka Robotyka 2/2009 1 20 40 60 80 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 k FI 1 20 40 60 80 2 2.5 3 3.5 4 x 104 k N A M W z a dN, A M W

Rys. 5. Wyniki symulacji algorytmu liniowego

1 20 40 60 80 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 k FI 1 20 40 60 80 2 2.5 3 3.5 4 x 104 k NA M W z a dN, A M W

Rys. 6. Wyniki symulacji algorytmu

z nieliniow optymalizacj oraz NPL w wersji analitycznej

1 20 40 60 80 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 k FI 1 20 40 60 80 2 2.5 3 3.5 4 x 104 k N A M W z a dN, A M W

Rys. 7. Wyniki symulacji algorytmu

NPL w wersji numerycznej oraz NPL w wersji analitycznej

            K           X K '
*             K           X K '
*             K           X K '
*

Poniewa
jako modelu liniowego jest za (rys. 3), algorytm wykorzystujcy ten model pra-cuje le, jest on niestabilny co pokazano na rys. 5. Wyniki symulacji algorytmu z nieliniow optymalizacj oraz NPL w wersji analitycznej przedstawiono na rys. 6. Oba porównywane algorytmy pracuj bardzo podobnie. Algorytm suboptymalny z cykliczn linearyzacj, roz-kadem LU i rzutowaniem ogranicze pozwoli w badanym przypadku na osignicie jakoci regulacji praktycznie takiej samej jak w algorytmie z nieliniow optymalizacj powtarzan w ka
dej iteracji. Rys. 7 przedstawia porównanie algorytmu NPL w wersji analitycznej i nume-rycznej z optymalizacj kwadratow powtarzan w ka
dej iteracji. Ró
nice midzy algoryt-mem analitycznym i numerycznym s praktycznie niedostrzegalne.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10-1 100 101 102 N_u MF L OP S algorytm NO numeryczny algorytm NPL analityczny algorytm NPL

Rys. 8. Zo
ono obliczeniowa badanych algorytmów w zale
noci od horyzontu sterowania Na rys. 8 porównano zo
ono obliczeniow badanych nieliniowych algorytmów regulacji predykcyjnej w zale
noci od horyzontu sterowania, we wszystkich przypadkach horyzont predykcji jest stay (N=10). Mo
na zaobserwowa,
e przedstawiony w pracy analityczny

algorytm NPL jest nie tylko du
o bardziej efektywny obliczeniowo ni
algorytm z nieliniow optymalizacj, ale równie
mniej zo
ony ni
numeryczny algorytm NPL, w którym w ka
dej iteracji nale
y rozwiza zadanie optymalizacji kwadratowej.

5. PODSUMOWANIE

Opisany w pracy analityczny algorytm regulacji predykcyjnej cechuje si du
 jakoci regulacji. Jest ona porównywalna nie tylko z dokadnoci algorytmu numerycznego z optymalizacj kwadratow, jest ona niewiele gorsza ni
w algorytmie z nieliniow optymalizacj. Algorytm jest przy tym bardzo efektywny obliczeniowo, nie ma potrzeby optymalizacji. Algorytm wymaga rozkadu LU oraz rozwizania dwóch prostych równa liniowych.

LITERATURA

[1] B. M. Åkesson, H. T. Toivonen (2006): A neural network model predictive controller.

Journal of Process Control, tom 16, nr 3, str. 937-946.

[2] G. H. Golub, C. F. Van Loan (1989): Matrix computations. The Johns Hopkins

Uni-versity Press, Baltimore and London.

               ._U algorytm NO numeryczny algorytm NPL analityczny algorytm NPL .'-014

Pomiary Automatyka Robotyka 2/2009

[4] M. A. Henson (1998): Nonlinear model predictive control: current status and future directions.Computers and Chemical Engineering, tom 23, nr 2, str. 187-202.

[5] K. Hornik, M. Stinchcombe, H. White (1989): Multilayer feedforward networks are universal approximators. Neural networks, tom 2, nr 5, str. 359-366.

[6] M. A. Hussain (1999): Review of the applications of neural networks in chemical process control – simulation and online implementation. Artificial Intelligence in Engineering, tom 13, nr 1, str. 55-68.

[7] G. P. Liu, V. Kadirkamanathan, S. A. Billings (1998): Predictive control of nonlinear systems using neural networks. International Journal of Control, tom 71, nr 6, str.

1119-1132.

[8] M. awryczuk (2007): A family of model predictive control algorithms with artificial neural networks. International Journal of Applied Mathematics and Computer Science, tom 17, nr 2, str. 217-232.

[9] M. awryczuk, P. Tatjewski (2007): A computationally efficient nonlinear predictive control algorithm with RBF neural models and its application. Lecture Notes in Artifi-cial Intelligence, tom 4585, Springer: The International Conference Rough Sets and Emerging Intelligent Systems Paradigms, RSEISP 2007, Warszawa, str. 603-612.

[10] J. M. Maciejowski (2002): Predictive control with constraints. Prentice Hall, Harlow.

[11] B. R. Maner, F. J. Doyle, B. A. Ogunnaike, R. K. Pearson (1996): Nonlinear model predictive control of a simulated multivariable polymerization reactor using second-order Volterra models. Automatica, tom 32, nr 9, str. 1285-1301.

[12] M. Morari, J. Lee (1999): Model predictive control: past, present and future. Com-puters and Chemical Engineering, tom 23, nr 4/5, str. 667-682.

[13] M. Nørgaard, O. Ravn, N. K. Poulsen, L. K. Hansen (2000): Neural networks for modelling and control of dynamic systems. Springer, London.

[14] S. Osowski (1996): Sieci neuronowe w ujciu algorytmicznym. WNT, Warszawa.

[15] S. Piche, B. Sayyar-Rodsari, D. Johnson, M. Gerules (2000): Nonlinear model predic-tive control using neural networks. IEEE Control Systems Magazine, tom 20, nr 3, str.

56-62.

[16] M. Pottmann, D. E. Seborg (1997): A nonlinear predictive control strategy based on radial basis function networks. Computers and Chemical Engineering, tom 21, nr 9,

str. 965-980.

[17] S. J. Qin, T. Badgwell (2003): A survey of industrial model predictive control tech-nology.Control Engineering Practice, tom 11, nr 7, str. 733-764.

[18] J. A. Rossiter (2003): Model-based predictive control. CRC Press, Boca Raton.

[19] P. Tatjewski (2007): Advanced control of industrial processes, structures and algo-rithms. Springer, London.

[20] P. Tatjewski, M. awryczuk (2006): Soft computing in model-based predictive con-trol. International Journal of Applied Mathematics and Computer Science, tom 16,

nr 1, str. 101-120.

[21] D. L. Yu, J. B. Gomm (2003): Implementation of neural network predictive control to a multivariable chemical reactor. Control Engineering Practice, tom 11, nr 11,