Rok I Temat 6 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1. Płaszczyzna
2. Prosta Płaszczyzna
Równanie płaszczyzny π przechodzącej przez punkt P x0
(
0,y0,z0)
i prostopadłej do wektora niezerowego n[
A B C]
→
= , ,
(
)
(
)
(
)
π: A x−x0 +B y−y0 +C z−z0 =0 Równanie ogólne płaszczyzny π
(
)
π: Ax+By+Cz+D=0 A2+B2+C2>0
Równanie odcinkowe płaszczyzny x
a y b z c + + = 1.
Równanie płaszczyzny przechodzącej przez dane trzy punkty nie leżące na jednej prostej
(
0 0 0)
1(
1 1 1)
2(
2 2 2)
0 x ,y ,z , P x,y,z , P x ,y ,z
P – punkty leżące na płaszczyźnie
x y z x y z x y z x y z 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 2 2 2 = Kąt między płaszczyznami π π1, 2: π1: A x1 +B y1 +C z1 +D1=0 , π2: A x2 +B y2 +C z2 +D2 =0
[
]
[
]
n1 A B C1 1 1 n2 A2 B C2 2 → → = , , , = , , – wektory normalne(prostopadłe) odpowiednio do płaszczyzn π π1, 2.
(
)
(
)
ϕ =k π π1, 2 =k n n1, 2 cosϕ= ⋅ ⋅ = + + + + + + → → → → n n n n A A B B C C A B C A B C 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2Warunek prostopadłości płaszczyzn
π1⊥π ⇔2 1⊥ 2⇔ 1 2+ 1 2+ 1 2 =0
→ →
Warunek równoległości płaszczyzn π π1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ⇔ ⇔ = = → → n n A A B B C C
Jeżeli w liczniku jest zero, to przyjmujemy w mianowniku również zero. Odległość punktu P x0
(
0,y0,z0)
od płaszczyzny π: Ax+By+Cz+D= 0(
)
d d P Ax By Cz D A B C = = + + + + + 0 0 0 0 2 2 2 , π .Prosta w przestrzeni trójwymiarowej
Równania parametryczne prostej l
x x ta y y ta z z ta x y z : = + = + = + 0 0 0 t∈R, gdzie P x0
(
0, y0,z0)
∈l, a[
ax ay az]
l t R → = , , , ∈ a →(niezerowy wektor kierunkowy prostej l ).
Równanie kanoniczne prostej x x a y y a z z a x y z − = − = − 0 0 0
Kąt ϕ między prostymi l1, l2 o wektorach kierunkowych a
[
ax ay az]
→ = , , , b[
b bx y bz]
→ = , , l x x ta y y ta z z ta x y z 1 0 0 0 : = + = + = + t∈R l x x ub y y ub z z ub x y z 2 1 1 1 : = + = + = + u∈R cosϕ= ⋅ ⋅ = + + + + ⋅ + + → → → → a b a b a b a b a b a a a b b b x x y y z z x y z x y z 2 2 2 2 2 2 .Warunek prostopadłości prostych l1, l2: l1⊥l2⇔ a⊥b⇔a bx x+a by y+a bz z =0 → →
.
Warunek równoległości prostych l1, l2: l l a b
a b a b a b x x y y z z 1 2⇔ ⇔ = = → →
a b P P a a a b b b x x y y z z x y z x y z → → → × = − − − = 0 1 1 0 1 0 1 0 0 gdzie P x0
(
0,y0,z0)
∈l1, P x1(
1,y z1, 1)
∈l2.Odległość punktu P x1
(
1,y z1, 1)
od prostej l:(
)
→ → → × = = a P P a l P d d 1 0 1,Odległość prostych skośnych l1, l2:
(
)
→ → → → → × × = = b a P P b a l l d d 1 0 2 1, . Przykłady1. Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty ) 3 , 2 , 4 ( ), 2 , 1 , 3 ( ), 1 , 0 , 2 ( B − C − A . Rozwiązanie 0 ) ( ) ( ) ( :A x−xo +B y−yo +C z−zo = π , gdzie Po(xo,yo,zo)∈π i π =[A,B,C], n⊥π . Znajdujemy wektor n=ABxAC. Wyznaczamy wektory AB,AC. ] 1 , 1 , 5 [ ] 1 2 , 0 1 , 2 3 [− − − − = − = AB , AC=[4−2,2−0,−3−1]=[2,2,−4], i j k k j i AC x AB n 6 18 12 4 2 2 1 1 5 =− − − − − = = .
Wyznaczamy równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt A(2,0,1) i prostopadłej do wektora n=[−6,−18,−12] 0 ) 1 ( 12 ) 0 ( 18 ) 2 ( 6 :− x− − y− − z− = π . Ostatecznie π:x+3y+2z−4=0
2. Wyznaczyć równanie prostej l przechodzącej przez punkty P1(0,2,−3) i P2(1,0,5). Znaleźć odległość punktu P3(−2,3,1) od wyznaczonej prostej.
Rozwiązanie
a) Wyznaczamy równania parametryczne prostej przechodzącej przez punkt P1 i równoległej do wektora a=P1P2 .
] 8 , 2 , 1 [ 2 1 = − =PP a , + − = − = = t z t y t x l 8 3 2 2 : , t∈R.
Równanie kanoniczne (kierunkowe) prostej l
8 3 2 2 1 : = + − − = y z x l .
b) Odległość punktu P od prostej l wyznaczamy ze wzoru: 3
a P P x a l P d d = ( 3, )= 1 3 , k j i k j i P P x a P P 16 20 3 4 1 2 8 2 1 ], 4 , 1 , 2 [ 1 3 3 1 =− − − − − = − = , 69 665 8 2 1 3 20 16 2 2 2 2 2 2 = + + + + = d .
3. Obliczyć odległość prostych skośnych l1 i l2:
, 2 3 3 6 4 3 : 1 + = − = + − = t z t y t x l 3 7 3 1 8 4 : 2 + = − + = − y z x l . Rozwiązanie
Odległość prostych skośnych l1, l2:
(
)
d d l l a b P P a b a a a b b b x x y y z z i j k a a a b b b x y z x y z x y z x y z = = × × = − − − → → → → → → → → 1 2 0 1 1 0 1 0 1 0 , . 1 0( 3,6,3) l P − ∈ , P1(4,−1,−7)∈l2 a=[4,−3,2],a ||l1; b=[8,−3,3], b ||l2. ] 10 , 7 , 7 [ 1 0P = − − P k j i k j i b x a 3 4 12 3 3 8 2 3 4 =− + + − − = , 169 10 7 7 3 3 8 2 3 4 ) ( 0 1 =− − − − − = P P b x a ,13 13 169 169 169 12 4 3 169 ) , ( 2 2 2 2 1 = = = + + − = =d l l d . Zadania
1. Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P(2,1,−2) i prostopadłej do wektora n=[ −2, 4,6].
2. Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty P1(0,0,1),P2(5,0,0),P3(1,1,1).
3. Obliczyć kąt między prostą − = = = t z t y t x l 1 2 3 : a płaszczyzną 3x−5y−z+2=0.
4. Obliczyć odległość między prostymi l1 i l2: 3 2 1 1 2 1 : 1 − = + = − y z x l , 6 2 2 1 4 1 : 2 + = − = + y z x l .
5. Obliczyć odległość punktu P0(1,−1,−2) od prostej − = + − = + − = t z t y t x l 4 8 4 2 6 3 : . Odpowiedzi
1. x−2y+3z+3=0; 2. x−y+5z−5=0; 3. prosta jest równoległa do płaszczyzny; 4. 10 ; 5.7.
Lp.
Literatura Rozdział
1 Zbiór zadań z matematyki pod red. R. Krupińskiego. Skrypt dla studentów AM w Szczecinie
II § 4, 5, 6 2 Winnicki K., Landowski M.; Wykłady z matematyki. Skrypt
dla studentów AM w Szczecinie
- 3 Lassak. M. Matematyka dla studiów technicznych.
Supremum, 2006.
