• Nie Znaleziono Wyników

Nawigacja - geometria analityczna

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Nawigacja - geometria analityczna"

Copied!
5
0
0

Pełen tekst

(1)

Rok I Temat 6 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1. Płaszczyzna

2. Prosta Płaszczyzna

Równanie płaszczyzny π przechodzącej przez punkt P x0

(

0,y0,z0

)

i prostopadłej do wektora niezerowego n

[

A B C

]

= , ,

(

)

(

)

(

)

π: A xx0 +B yy0 +C zz0 =0 Równanie ogólne płaszczyzny π

(

)

π: Ax+By+Cz+D=0 A2+B2+C2>0

Równanie odcinkowe płaszczyzny x

a y b z c + + = 1.

Równanie płaszczyzny przechodzącej przez dane trzy punkty nie leżące na jednej prostej

(

0 0 0

)

1

(

1 1 1

)

2

(

2 2 2

)

0 x ,y ,z , P x,y,z , P x ,y ,z

P – punkty leżące na płaszczyźnie

x y z x y z x y z x y z 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 2 2 2 = Kąt między płaszczyznami π π1, 2: π1: A x1 +B y1 +C z1 +D1=0 , π2: A x2 +B y2 +C z2 +D2 =0

[

]

[

]

n1 A B C1 1 1 n2 A2 B C2 2 → → = , , , = , , – wektory normalne

(prostopadłe) odpowiednio do płaszczyzn π π1, 2.

(

)

(

)

ϕ =k π π1, 2 =k n n1, 2 cosϕ= ⋅ ⋅ = + + + + + + → → → → n n n n A A B B C C A B C A B C 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2

Warunek prostopadłości płaszczyzn

π1⊥π ⇔2 121 2+ 1 2+ 1 2 =0

→ →

(2)

Warunek równoległości płaszczyzn π π1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ⇔ ⇔ = = → → n n A A B B C C

Jeżeli w liczniku jest zero, to przyjmujemy w mianowniku również zero. Odległość punktu P x0

(

0,y0,z0

)

od płaszczyzny π: Ax+By+Cz+D= 0

(

)

d d P Ax By Cz D A B C = = + + + + + 0 0 0 0 2 2 2 , π .

Prosta w przestrzeni trójwymiarowej

Równania parametryczne prostej l

x x ta y y ta z z ta x y z : = + = + = +      0 0 0 tR, gdzie P x0

(

0, y0,z0

)

l, a

[

ax ay az

]

l t R → = , , , ∈ a

(niezerowy wektor kierunkowy prostej l ).

Równanie kanoniczne prostej x x a y y a z z a x y z − = − = − 0 0 0

Kąt ϕ między prostymi l1, l2 o wektorach kierunkowych a

[

ax ay az

]

→ = , , , b

[

b bx y bz

]

→ = , , l x x ta y y ta z z ta x y z 1 0 0 0 : = + = + = +      tR l x x ub y y ub z z ub x y z 2 1 1 1 : = + = + = +      uR cosϕ= ⋅ ⋅ = + + + + ⋅ + + → → → → a b a b a b a b a b a a a b b b x x y y z z x y z x y z 2 2 2 2 2 2 .

Warunek prostopadłości prostych l1, l2: l1⊥l2⇔ aba bx x+a by y+a bz z =0 → →

.

Warunek równoległości prostych l1, l2: l l a b

a b a b a b x x y y z z 1 2⇔ ⇔ = = → →

(3)

a b P P a a a b b b x x y y z z x y z x y z → → → ×       = − − − = 0 1 1 0 1 0 1 0 0 gdzie P x0

(

0,y0,z0

)

l1, P x1

(

1,y z1, 1

)

l2.

Odległość punktu P x1

(

1,y z1, 1

)

od prostej l:

(

)

→ → → × = = a P P a l P d d 1 0 1,

Odległość prostych skośnych l1, l2:

(

)

→ → → ×       × = = b a P P b a l l d d 1 0 2 1, . Przykłady

1. Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty ) 3 , 2 , 4 ( ), 2 , 1 , 3 ( ), 1 , 0 , 2 ( BCA . Rozwiązanie 0 ) ( ) ( ) ( :A xxo +B yyo +C zzo = π , gdzie Po(xo,yo,zo)∈π i π =[A,B,C], n⊥π . Znajdujemy wektor n=ABxAC. Wyznaczamy wektory AB,AC. ] 1 , 1 , 5 [ ] 1 2 , 0 1 , 2 3 [− − − − = − = AB , AC=[4−2,2−0,−3−1]=[2,2,−4], i j k k j i AC x AB n 6 18 12 4 2 2 1 1 5 =− − − − − = = .

Wyznaczamy równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt A(2,0,1) i prostopadłej do wektora n=[−6,−18,−12] 0 ) 1 ( 12 ) 0 ( 18 ) 2 ( 6 :− x− − y− − z− = π . Ostatecznie π:x+3y+2z−4=0

2. Wyznaczyć równanie prostej l przechodzącej przez punkty P1(0,2,−3) i P2(1,0,5). Znaleźć odległość punktu P3(−2,3,1) od wyznaczonej prostej.

Rozwiązanie

a) Wyznaczamy równania parametryczne prostej przechodzącej przez punkt P1 i równoległej do wektora a=P1P2 .

(4)

] 8 , 2 , 1 [ 2 1 = − =PP a ,      + − = − = = t z t y t x l 8 3 2 2 : , tR.

Równanie kanoniczne (kierunkowe) prostej l

8 3 2 2 1 : = + − − = y z x l .

b) Odległość punktu P od prostej l wyznaczamy ze wzoru: 3

a P P x a l P d d = ( 3, )= 1 3 , k j i k j i P P x a P P 16 20 3 4 1 2 8 2 1 ], 4 , 1 , 2 [ 1 3 3 1 =− − − − − = − = , 69 665 8 2 1 3 20 16 2 2 2 2 2 2 = + + + + = d .

3. Obliczyć odległość prostych skośnych l1 i l2:

, 2 3 3 6 4 3 : 1      + = − = + − = t z t y t x l 3 7 3 1 8 4 : 2 + = − + = − y z x l . Rozwiązanie

Odległość prostych skośnych l1, l2:

(

)

d d l l a b P P a b a a a b b b x x y y z z i j k a a a b b b x y z x y z x y z x y z = = ×       × = − − − → → → → → → → → 1 2 0 1 1 0 1 0 1 0 , . 1 0( 3,6,3) l P − ∈ , P1(4,−1,−7)∈l2 a=[4,−3,2],a ||l1; b=[8,−3,3], b ||l2. ] 10 , 7 , 7 [ 1 0P = − − P k j i k j i b x a 3 4 12 3 3 8 2 3 4 =− + + − − = , 169 10 7 7 3 3 8 2 3 4 ) ( 0 1 =− − − − − = P P b x a ,

(5)

13 13 169 169 169 12 4 3 169 ) , ( 2 2 2 2 1 = = = + + − = =d l l d . Zadania

1. Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P(2,1,−2) i prostopadłej do wektora n=[ −2, 4,6].

2. Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty P1(0,0,1),P2(5,0,0),P3(1,1,1).

3. Obliczyć kąt między prostą      − = = = t z t y t x l 1 2 3 : a płaszczyzną 3x−5yz+2=0.

4. Obliczyć odległość między prostymi l1 i l2: 3 2 1 1 2 1 : 1 − = + = − y z x l , 6 2 2 1 4 1 : 2 + = − = + y z x l .

5. Obliczyć odległość punktu P0(1,−1,−2) od prostej      − = + − = + − = t z t y t x l 4 8 4 2 6 3 : . Odpowiedzi

1. x−2y+3z+3=0; 2. xy+5z−5=0; 3. prosta jest równoległa do płaszczyzny; 4. 10 ; 5.7.

Lp.

Literatura Rozdział

1 Zbiór zadań z matematyki pod red. R. Krupińskiego. Skrypt dla studentów AM w Szczecinie

II § 4, 5, 6 2 Winnicki K., Landowski M.; Wykłady z matematyki. Skrypt

dla studentów AM w Szczecinie

- 3 Lassak. M. Matematyka dla studiów technicznych.

Supremum, 2006.

Cytaty

Powiązane dokumenty

Pankowska A., Solnica J., Skarżyński H.: Wykorzystywanie zmodyfikowanego profilu umiejętności słuchowych w obser- wacji efektów rehabilitacji słuchu dorosłych pacjentów

Podsumowaniem projektu mogą być przygotowany i przeprowadzony przez uczniów quiz oraz prezentacja plakatów tematycznych połączona z konkursem na najciekawsze ujęcie tematu..

Oblicz sum¦ k¡tów wewn¦trznych wielok¡ta, który jest cz¦±ci¡ wspóln¡ trójk¡ta ABC i jego obrazu, tj..

Znajdź współrzędne wierzchołka C oraz oblicz pole

jemy ortocentra, potem piszemy równanie prostej która przechodzi przez dwa z nich i sprawdzamy, że pozostałe dwa też leż a na tej

Wskaż równanie prostej, która może być prostą równoległą do prostej k, gdzie prosta k ma równanie = −5 + 6.?. Jaką długość ma bok

Prosta o równaniu x=0 jest jedną ze stycznych do tego okręgu przechodzących przez punkt A.. Wyznacz równanie drugiej stycznej do tego okręgu przechodzącej przez

Wyznacz równanie drugiej stycznej do tego okręgu, przechodzącej przez punkt A3. Wykaż, że długość tego odcinka jest nie mniejsza