Matematyka podstawowa VIII Geometria analityczna
TEORIA
Zadania wprowadzające:
1. Zapisz równanie prostej w postaci ogólnej a) = 2 + 5
b) = − 4 c) 3 − 5 = 8
2. Zamień równania z postaci ogólnej do postaci kierunkowej a) 3 + 5 − 8 = 0
b) −2 + 7 = 0 c) 5 − 9 = 0
3. Oblicz odległość punktów A i B od siebie.
a) A=(2, -4), B=(-3, 5) b) A=(-2, 1), B=(0, -3)
4. Wierzchołkami trójkąta ABC są punkty A=(-3, -4), B=(-2, 1), C=(3, 0) a) Sprawdź, że | | = | |
b) Uzasadnij, że trójkąt ABC jest prostokątny
5. Punkty A=(-1,-5), B=(3, -1), C=(2,4) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego.
Oblicz długość ramienia tego trójkąta.
6. Punkty A=(1, 5), B=(14, 31), C=(4, 31) są wierzchołkami trójkąta. Prosta zawierająca wysokość tego trójkąta poprowadzona z wierzchołka C przecina prostą AB w punkcie D. Oblicz długość odcinka BD.
7. Oblicz środek odcinka AB, jeżeli A=(-3, 4), B=(3, -4).
8. Odcinek AB ma koniec A=(4, 7). Znajdź współrzędne końca B tak, aby środek odcinka był S=(-2, 3).
9. Znajdź współrzędne końców odcinka AB, jeżeli A leży na osi OX, B na osi OY, a środek S=(2, 3).
10. Wyznacz równanie prostej zawierającej środkową CD trójkąta ABC, którego wierzchołkami są punkty A=(-2, -3), B=(4, 1), C=(-1, 3).
11. Oblicz odległość punktu C=(2, 3) od środka odcinka AB, gdzie A=(1, -2), B=(5, 4).
12. Wskaż równanie prostej, która może być prostą równoległą do prostej k, gdzie prosta k ma równanie = −5 + 6
a) = 5 + 6 b) = + 6
c) = d) = −5
13. Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt (2, 3) i równoległej do prostej 2 − 6 − 10 = 0
14. Które z podanych prostych są prostopadłe?
a) = 3 − 2 = 2 + 5 b) = 2 − 2 = − + 8
15. Wskaż równanie symetralnej odcinka mającego końce w punktach A=(4,-6) i B=(-2, 6).
16. Oblicz pole trójkąta równobocznego o wierzchołkach A=(-4, 4) i B=(5, 8).
17. Wyznacz długość wysokości trójkąta równoramiennego o wierzchołkach A=(2, -5), B=(-4, 2), C=(4, 4)
18. Punkt A=(-1, 1) jest środkiem kwadratu, a punkt B=(2, 0) jego wierzchołkiem. Jaką długość ma bok tego kwadratu?
19. Zapisz równanie okręgu o środku S=(2, 3), r=4.
20. Wyznacz równanie okręgu stycznego do OY i środku S=(-2, 4).
21. Wyznacz równanie okręgu stycznego do OX i środku S=(3, -4)
22. Wyznacz współrzędne środka okręgu o równaniu ( − 1) + ( + 5) = 7.
Zadania:
1. Prosta = + 4 przecina okrąg o równaniu ( + 1) + ( − 2) = 25 w punktach A i B. Oblicz współrzędne punktów A i B, a następnie oblicz obwód trójkąta ABS, gdzie S jest środkiem danego okręgu.
2. Dany jest okrąg o równaniu ( + 4) + ( − 6) = 100. Środek tego okręgu ma współrzędne
a) (-4, -6) b) (4, 6) c) (4, -6) d) (-4, 6)
3. Punkty B=(-2, 4) i C=(5, 1) są dwoma sąsiednimi wierzchołkami kwadratu ABCD.
Pole tego kwadratu jest równe a) 74
b) 58 c) 40 d) 29
4. Punkt O jest środkiem okręgu przedstawionego na rysunku. Równanie tego okręgu ma postać:
a) ( − 2) + ( − 1) = 9 b) ( − 2) + ( − 1) = 3 c) ( + 2) + ( + 1) = 9 d) ( + 2) + ( + 1) = 3
5. Punkt S(2, 7) jest środkiem odcinka AB, w którym A(-1, 3). Punkt B ma współrzędne a) B=(5, 11)
b) B=( , 2)
c) B=(− , −5) d) B=(3, 11)
6. Punkty A=(2, 11), B=(8, 23), C=(6, 14) są wierzchołkami trójkąta. Wysokość trójkąta poprowadzona z wierzchołka C przecina prostą AB w punkcie D. Oblicz współrzędne punktu D.
7. Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach A=(-2, 2), B=(2, 10).
8. Punkt A ma współrzędne (5, 2012). Punkt B jest symetryczny do punktu A względem osi OX, a punkt C jest symetryczny do punktu B względem osi OY. Punkt C ma współrzędne
a) (-5, -2012) b) (-2012, -5) c) (-5, 2012) d) (-2012, 5)
9. Na okręgu o równaniu ( − 2) + ( + 7) = 4 leży punkt a) A=(-2, 5)
b) B=(2, -5) c) C=(2, -7) d) D=(7, -2)
10. Odległość środka okręgu od prostej jest równa 0. Zatem liczba punktów wspólnych okręgu i prostej jest równa:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3
11. Środek okręgu o równaniu ( + 2) + ( − 3) = 5 ma współrzędne a) (2, 3)
b) (2, -3) c) (-2, 3) d) (-2, -3)
12. Dane są dwa okręgi o promieniach 12 i 17. Mniejszy okrąg przechodzi przez środek większego okręgu. Odległość między środkami tych okręgów jest równa
a) 5 b) 12 c) 17 d) 29
13. Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkt A(1, 8) i stycznego do obu osi układu współrzędnych. Rozwiąż wszystkie przypadki.
14. Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu ( − 1) + = 4 z prostą o równaniu = −1 jest równa
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3
