5.2. DZIAŁANIA NA WIELOMIANACH
Przykład 5.2.1. Wyznacz sumę wielomianów
3
4
)
(
x
=
x
3+
x
2−
W
i
P
(
x
)
=
2
x
3−
4
x
2+
2
x
−
3
Rozwiązanie
Komentarz
(
4
3
) (
2
4
2
3
)
)
(
)
(
x
+
P
x
=
x
3+
x
2−
+
x
3−
x
2+
x
−
W
Zapisujemy sumę wielomianów.6
2
3
)
(
)
(
3
2
4
2
3
4
)
(
)
(
3 2 3 2 3−
+
=
+
−
+
−
+
−
+
=
+
x
x
x
P
x
W
x
x
x
x
x
x
P
x
W
Opuszczamy nawiasy i wykonujemy redukcję wyrazów podobnych.Przykład 5.2.2. Wyznacz róŜnicę wielomianów
x
x
x
x
W
(
)
=
4+
4
2−
3
i
P
(
x
)
=
2
x
4−
2
x
2+
3
x
−
5
Rozwiązanie
Komentarz
(
4
3
) (
2
2
3
5
)
)
(
)
(
x
−
P
x
=
x
4+
x
2−
x
−
x
4−
x
2+
x
−
W
Zapisujemy róŜnicę wielomianów.5
3
2
2
3
4
)
(
)
(
x
−
P
x
=
x
4+
x
2−
x
−
x
4+
x
2−
x
+
W
5
6
6
)
(
)
(
x
−
P
x
=
−
x
4+
x
2−
x
+
W
Opuszczamy nawiasy. Pamiętamy, Ŝe jeśli przed nawiasem jest minus to opuszczając nawias zmieniamy znaki. Wykonujemy redukcję wyrazów podobnych.
Przykład 5.2.3. Wyznacz iloczyn wielomianów
x
x
x
W
(
)
=
3−
2
i
P
(
x
)
=
2
x
2−
4
x
+
5
Rozwiązanie
Komentarz
(
2
) (
2
4
5
)
)
(
)
(
x
⋅
P
x
=
x
3−
x
⋅
x
2−
x
+
W
Zapisujemy iloczyn wielomianów.(
)
(
)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
P
x
W
10
8
4
5
4
2
5
2
4
2
2
2
5
4
2
)
(
)
(
2 3 3 4 5 2 3 3 2 3−
+
−
+
−
=
=
⋅
−
−
⋅
−
⋅
−
⋅
+
−
⋅
+
⋅
=
=
⋅
MnoŜymy kaŜdy wyrazpierwszego wielomianu przez kaŜdy wyraz drugiego wielomianu.
x
x
x
x
x
x
P
x
Przykład 5.2.4. Wykonaj działania:
(
2
x
2+
x
) (
2−
2
3
x
3−
4
x
2+
4
x
−
1
)
Rozwiązanie
Komentarz
(
2
x
2+
x
) (
2−
2
3
x
3−
4
x
2+
4
x
−
1
)
=
( )
+
⋅
⋅
+
−
+
−
+
=
=
2
x
2 22
2
x
2x
x
26
x
38
x
28
x
2
2
8
8
6
4
4
4+
3+
2−
3+
2−
+
=
x
x
x
x
x
x
=Usuwamy nawiasy , wykonując mnoŜenie. Do obliczenia
(
)
2 22
x
+
x
stosujemy wzór skróconego mnoŜenia(
)
2 2 22
ab
b
a
b
a
+
=
+
+
=
4
x
4−
2
x
3+
9
x
2−
8
x
+
2
Wykonujemy redukcję wyrazów podobnychPrzykład 5.2.5. Dane są wielomiany
4
3
)
(
x
=
x
−
W
b
ax
x
x
P
(
)
=
2+
+
2
6
2
3
)
(
x
=
x
3+
x
2−
x
+
Q
Sprawdź, czy istnieją takie wartości a i b dla których wielomian
)
(
)
(
)
(
)
(
x
W
x
P
x
Q
x
V
=
⋅
−
jest wielomianem zerowym.
Rozwiązanie
Komentarz
(
3
4
)
(
) (
3
2
6
2
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2 3 2+
+
−
+
−
+
⋅
−
=
−
⋅
=
x
x
x
b
ax
x
x
x
V
x
Q
x
P
x
W
x
V
2
6
2
3
4
4
4
3
3
3
)
(
x
=
x
3+
ax
2+
bx
−
x
2−
ax
−
b
−
x
3−
x
2+
x
−
V
Porządkujemy wielomian V(x) wykonując wskazane działania na wielomianach W(x), P(x), Q(x).(
3
2
)
(
3
4
6
)
4
2
)
(
x
=
a
−
x
2+
b
−
a
+
x
−
b
−
V
Porządkujemy wielomian V(x)
=
−
−
=
+
−
=
−
0
2
4
0
6
4
3
0
2
3
b
a
b
a
Wielomian V(x) będzie wielomianem zerowym, jeśli wszystkie jego współczynniki będą równe zeru. Przyrównując współczynniki wielomianu V(x) do zera otrzymujemy układ równań3
2
3
:
/
2
3
=
=
a
a
2
1
4
:
/
2
4
−
=
−
=
−
b
b
Spr.0
6
11
0
6
3
8
2
3
0
6
3
2
4
2
1
3
=
=
+
−
−
=
+
⋅
−
−
⋅
P
L
≠
Rozwiązujemy układ równań. Wyznaczamy rozwiązania pierwszego i trzeciego równania oraz sprawdzamy, czy spełniają one drugie równanieOdp. Nie istnieją takie wartości a, b dla których wielomian
V(x) jest wielomianem zerowym.
Układ równań nie ma rozwiązania , poniewaŜ obliczone wartości a i b nie spełniają drugiego równania.
ĆWICZENIA
Ćwiczenie 5.2.1. Dane są wielomiany
2
2
4
)
(
x
=
x
3−
x
2+
x
−
W
1
3
)
(
x
=
x
3+
x
+
P
x
x
x
Q
(
)
=
3
3−
Wykonaj działania
a) (1pkt.)
P
(
x
)
⋅
Q
(
x
)
−
W
(
x
)
b) (1pkt.)
2
W
(
x
)
+
[
P
(
x
)
]
2−
Q
(
x
)
c) (1pkt.)
[
Q
(
x
)
]
3+
P
(
x
)
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Przedstawienie wyniku w postaci uporządkowanego
wielomianu.
1
Ćwiczenie 5.2.2. (2pkt.) Sprawdź, czy istnieją takie wartości a i b dla których wielomian
)
(
)
(
)
(
)
(
x
W
x
P
x
Q
x
V
=
−
⋅
jest wielomianem zerowym, gdy
6
4
)
(
x
=
x
3+
x
2+
x
−
W
2
)
(
x
=
x
+
P
b
ax
x
x
Q
(
)
=
2+
+
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Przedstawienie V(x) w postaci uporządkowanego
wielomianu.
1
Ćwiczenie 5.2.3. (2pkt.) Wyznacz wartości a , b i c , dla których wielomiany
(
ax
)
( )
x
c
x
W
(
)
=
−
3
2+
1
+
i
P
(
x
)
=
5
x
3+
(
b
−
2
)
x
2+
5
x
+
1
są równe.
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Przedstawienie W(x) w postaci uporządkowanego
wielomianu.
