Regulatory predykcyjne z założoną trajektorią przyrostów sterowania i uwzględnianiem ograniczeń nałożonych na wyjścia obiektu regulacji / PAR 2/2009 / 2009 / Archiwum / Strona główna | PAR Pomiary - Automatyka - Robotyka

dr in
. Piotr Marusak

Instytut Automatyki i Informatyki Stosowanej Politechniki Warszawskiej

REGULATORY PREDYKCYJNE Z ZA
OON TRAJEKTORI

PRZYROSTÓW STEROWANIA I UWZGLDNIANIEM OGRANICZE

NA
OONYCH NA WYJCIA OBIEKTU REGULACJI

W artykule przedstawiono metody uwzgl
dniania ogranicze naoonych na wartoci wyj obiektu regulacji w algorytmach predykcyjnych z trajektori przyszych przyrostów sterowania opisan pewn z góry zaoon funkcj. Rozwaono przy tym zarówno numeryczne, jak i analityczne wersje algorytmów. Zaproponowane mechanizmy uwzgl
dniania ogranicze naoonych na wyjcia obiektu regulacji s stosunkowo proste a w sprzyjajcych okolicznociach, umoliwiaj uwzgl
dnianie tych ogranicze na caym horyzoncie predykcji, take w przypadku algorytmów w wersji analitycznej.

PREDICTIVE CONTROLLERS WITH PRESUMED TRAJECTORY OF CONTROL CHANGES AND EFFICIENT MECHANISM OF OUTPUT

CONSTRAINTS HANDLING

A method of taking into consideration constraints put on output variables in predictive control algorithms with presumed trajectory of control changes is presented in the paper. Thanks to different choices of function describing this trajectory one can influence behavior of the predictive controller. Thus, the algorithms under consideration offer bigger freedom of shaping properties of the controllers than the conventional algorithms. The proposed mechanisms of taking into consideration output constraints are relatively simple. Moreover, in favorable conditions, they make possible to take these constraints into consideration on the whole prediction horizon also in the case of analytical algorithms.

1. WSTP

W artykule przedstawiono mechanizmy uwzgldniania ogranicze nao
onych na wyjcia obiektu regulacji w algorytmach predykcyjnych z trajektori przyszych przyrostów sterowa-nia bdc z góry okrelon przez projektanta funkcj. Badasterowa-nia te s kontynuacj prac przed-stawionych w [5]. Przypomnijmy,
e oprócz otrzymania dodatkowej mo
liwoci strojenia takich algorytmów, uwzgldnianie w nich ogranicze nao
onych na sygna sterujcy jest stosunkowo proste. Co wicej, mo
liwe jest uwzgldnianie ogranicze nao
onych na sygna sterujcy na caym horyzoncie sterowania zarówno w przypadku algorytmów numerycznych jak i analitycznych. W przypadku tych ostatnich, waciwo ta wynika z nowego podejcia do generacji sygnau sterujcego. Podobnie jest w przypadku mechanizmów zaproponowa-nych w niniejszej pracy, tzn. mo
liwe jest uwzgldnianie ogranicze nao
ozaproponowa-nych na wyjcie obiektu regulacji na caym horyzoncie predykcji, tak
e w algorytmach analitycznych, bez koniecznoci zao
enia krótkiego horyzontu sterowania, jak w pracy [6].

W nastpnym rozdziale przypomniano sformuowanie standardowych algorytmów predyk-cyjnych w wersjach numerycznej i analitycznej. W rozdz. 3 zaprezentowano rozszerzenie standardowych algorytmów polegajce na zastosowaniu z góry zao
onej trajektorii przy-szych przyrostów sterowania. W kolejnym rozdziale, omówiono problem uwzgldniania, w zaproponowanych algorytmach, ogranicze nao
onych na wyjcie obiektu regulacji.

Rozdz. 5 zawiera opis eksperymentów, przeprowadzonych w ukadzie regulacji nieliniowego obiektu chemicznego (reaktora polimeryzacji), ilustrujcych zalety zaproponowanego podej-cia. Artyku koczy krótkie podsumowanie.

2. ALGORYTMY REGULACJI PREDYKCYJNEJ

W algorytmach predykcyjnych z przesuwanym horyzontem sygna sterujcy wyznacza si w taki sposób, aby przewidywane zachowanie ukadu regulacji w przyszoci speniao zao
one kryteria. Najczciej minimalizowany jest nastpujcy wskanik jakoci [1, 2, 4, 7, 10, 11]:









, min 1 0 2 | 1 2 | ¿ ¾ ½ ¯ ® ­ ' ˜  

¦

¦

   s i k i k p i k i k k MPC y y u J u  (1)

gdzie y_k jest wartoci zadan, y_ki|k jest przewidywan, w bie
cej chwili k, wartoci wyjcia obiektu dla przyszej chwili k+i wyznaczan na podstawie modelu obiektu regulacji,

k i k

u _|

' jest przyszym (szukanym) przyrostem sterowania, p jest horyzontem predykcji, s d p jest horyzontem sterowania, O t 0 jest wspóczynnikiem wa
cym przysze przyrosty sterowania, 'u

>

'u_k|k,!,'u_ks1|k

@

T jest wektorem zmiennych decyzyjnych.

2.1. Algorytm w wersji numerycznej

Wskanik jakoci (1) mo
e by minimalizowany numerycznie, w ka
dej iteracji algorytmu przy obecnoci ogranicze nao
onych na przysze wartoci: przyrostów sterowania, sterowa-nia i wyjcia obiektu:

'umind 'u d 'umax, (2)

umind u d umax, (3)

ymind y d ymax, (4)

gdzie, u

>

u_k|k,!,u_ks1|k

@

T , y

>

y_k1|k,!,y_kp|k

@

T;'u_min,'u_max,u_min,u_max,y_min,y_max s wektorami dolnych i górnych ogranicze wartoci odpowiednio: przyrostów sterowania, sterowania i wyjcia obiektu.

W przypadku zastosowania modeli liniowych, wektor zawierajcy przewidywane wartoci wyjcia obiektu regulacji y, mo
na zapisa w nastpujcej postaci:

,

~_{y A u}

y  ˜' (5)

gdzie ~y

>

~y_k1|k,!,~y_kp|k

@

T jest wektorem zwanym odpowiedzi swobodn obiektu, poniewa
opisuje wpyw jedynie przeszych oddziaywa na obiekt;

, 0 0 0 0 0 1 2 1 1 2 1 » » » » » ¼ º « « « « « ¬ ª      p s p s p p a a a a a a a " # # % # # " " A (6)

gdzie ai s rzdnymi odpowiedzi skokowej obiektu. Macierz A jest nazywana macierz

dyna-miczn i mo
na pokaza,
e wystpuje we wszystkich odmianach algorytmów predykcyjnych niezale
nie od u
ytego modelu liniowego [11].

Wykorzystanie predykcji (5) w zadaniu optymalizacji prowadzi do otrzymania standardowego zadania optymalizacji kwadratowej. W wyniku rozwizania tego zadania, otrzymuje si wek-tor przyszych zmian sterowania 'u, z którego u
ywany jest pierwszy element 'u_k|_k a

na-stpnie optymalizacja jest powtarzana w kolejnej chwili próbkowania. 2.2. Algorytm w wersji analitycznej

Jeli wskanik jakoci (1) jest minimalizowany bez ogranicze, wówczas rozwizanie anali-tyczne jest dane wzorem [7, 8, 9, 11]:



A A I



A



y y



u 1 ~  ˜ ˜ ˜  ˜ ' T O  T , (7) gdzieI jest macierz jednostkow, y

>

y_k,!,y_k

@

T jest wektorem o dugoci p. W takim razie,

warto pierwszego elementu z cigu przyszych sterowa, jest dana zale
noci:



y y



K1 ~

| ˜ 

'ukk , (8)

gdzieK1 jest pierwszym wierszem macierzy K



AT ˜AO˜I



1˜AT. 3. ALGORYTMY Z ZA
OON POSTACI STEROWA

Przypomnijmy,
e w zaproponowanych w pracy [5] algorytmach z zao
on postaci stero-wa, mo
na stosowa wszystkie typowo dostpne w algorytmach predykcyjnych parametry dostrajalne a ponadto, na zachowanie regulatora, mo
na wpywa dziki wyborowi ró
nych postaci funkcji opisujcej trajektori przyszych przyrostów sterowania. Zakada si bowiem,
e trajektoria przyszych przyrostów sterowania jest pewn z góry zao
on funkcj zale
n od czasu, tzn. ), ( | 1 u j uk j k k ˜' B '   D j = 1,…, s, (9)

gdzie D_k jest wartoci zmienian w ka
dej chwili próbkowania przez regulator. Wektor przyszych przyrostów sterowania jest wic opisany zale
noci:

'u = Dk˜Z, (10)

gdzie Z

>

'u_B(1) 'u_B(2) ! 'u_B(s)

@

T. Po podstawieniu (10) do (5), otrzyma si wic: B

y y Dk ˜

~ _{, (11)}

gdzie B A˜Z

>

b₁ b₂ ! b_p

@

T. 3.1. Algorytm w wersji numerycznej

W przypadku wykorzystania predykcji (11), zadanie optymalizacji rozwizywane w ka
dej iteracji algorytmu w wersji numerycznej bdzie miao nastpujc posta:



 



^

y y y y u u

`

 ˜   ˜' ˜' T T MPC J k O min , (12) przy ograniczeniach: 'umind 'u d 'umax, (13) umind u d umax, (14) ymind y d ymax, (15) 'u = Dk˜Z, (16)

gdzie zmienn decyzyjn jest D_k oraz dodane zostay do problemu optymalizacji ogranicze-nia (16) opisujce zale
no przyszych przyrostów sterowaogranicze-nia od zmiennej decyzyjnej. 3.2. Algorytm w wersji analitycznej

Zauwa
my,
e w minimalizowanym wskaniku jakoci (12) zgodnie z (10), 'uT_{˜'u = (D}

k)2˜ZT˜Z, a zgodnie z (11),



y y

 

yyDk ˜B



~ _{. W takim razie, jeli} prze-prowadzona zostanie optymalizacja bez ogranicze, otrzyma si nastpujce rozwizanie [5]:



B B M



1 B



y ~y



 ˜ ˜  ˜  T T k D , (17)

gdzie M O



ZT ˜Z



. W takim razie, przysze wartoci sterowa bd opisane wzorem:



B B M



B



y y



Z

u ˜  ˜ ˜  ˜

' _T 1 _T ~

. (18) a pierwsze z cigu wyznaczonych sterowa 'u_k|k jest równe:





1



~



(1) | B T T k k u u ˜  ˜ ˜  ˜' ' B B M  B y y . (19)

4. UWZGLDNIANIE OGRANICZE SYGNA
ÓW WYJCIOWYCH

W przypadku istnienia w ukadzie regulacji ogranicze ich zignorowanie, w przypadku ogra-nicze dotyczcych sygnaów sterujcych, mo
e wpyn negatywnie na jako dziaania ukadu regulacji a w przypadku ogranicze nao
onych na wyjcia obiektu sterowania – na pogorszenie jakoci produktu lub nawet zagro
enie bezpieczestwa procesu. Uwzgldnianie ogranicze w algorytmach numerycznych wynika wprost z zastosowanego podejcia. Wik-szym problemem jest uwzgldnianie ogranicze w algorytmach analitycznych. W standardowych, analitycznych algorytmach predykcyjnych, zwykle stosuje si mechanizm przycinania sterowa. Mechanizm ten jest stosunkowo prosty i polega na odpowiednim mo-dyfikowaniu przyrostów sterowa, wedug stosownych regu wynikajcych z istniejcych ogranicze [7, 9, 11]. Mechanizm ten jest prosty w implementacji, jednak w klasycznych ana-litycznych algorytmach predykcyjnych za jego porednictwem mo
na wpywa tylko na pierwsz warto z horyzontu sterowania.

W przypadku algorytmów z zao
on trajektori przyrostów sterowa, nawet w wersji anali-tycznej jest mo
liwe uwzgldnianie ogranicze sygnau sterujcego na caym horyzoncie ste-rowania. Ponadto, w przypadku wyboru pewnych funkcji bazowych, mechanizm uwzgldnia-nia tych ogranicze mo
e zosta znacznie uproszczony. Zagadnieuwzgldnia-nia te zostay szczegóowo opisane w pracy [5].

Idea zaproponowanych w niniejszej pracy mechanizmów uwzgldniania ogranicze nao
o-nych na wartoci wyj obiektu regulacji, w algorytmach analitycznao
o-nych, polega na takim przycinaniu wartoci sterowania, aby wymusi spenienie ogranicze nao
onych na wartoci wyjcia obiektu. Mechanizm ten w poczeniu z algorytmami z zao
on trajektori przy-szych przyrostów sterowania umo
liwia wpywanie na wartoci wyjcia z caego horyzontu predykcji, tak
e w przypadku algorytmów w wersji analitycznej i to pomimo zastosowania dowolnego horyzontu sterowania. Zauwa
my bowiem,
e skoro przysze, przewidywane war-toci wyjcia obiektu s dane wzorem (przeksztacony wzór (11)):

k i k i k k i k y b y _| ~_|  ˜D , (11a)

to jest mo
liwe przeksztacenie ogranicze

min

| y

max

| y

y_kik d ,i = 1,…, p, (21)

w ograniczenia nao
one na zmienn decyzyjnDk:

k i k k i y y b ˜D t _min ~_| ,i = 1,…, p, (22) k i k k i y y b ˜D d max ~_| ,i = 1,…, p. (23)

Nastpnie, mo
na u
y regu przycinania w nastpujcej postaci: x dla ograniczenia dolnego (22):

– jeli b_i ˜D_k d y_min ~y_ki|k, to i k i k k b y y_min ~_| D oraz

x dla ograniczenia górnego (23): – jeli b_i ˜D_k t y_max y~_ki|k, to i k i k k b y y_max~_| D .

Zauwa
my,
e zamiast analizowa wszystkie ograniczenia (22) i (23) z osobna, procedur mo
na uproci. Zaó
my,
e

^

k k k pk

`

k l k y y y _| min _1| ,!, _{ |} , (24)

^

k k k pk

`

k h k y y y _{ |} max _1| ,!, _{ |} , (25)

gdzie l jest numerem chwili z horyzontu predykcji, dla której przewidywana warto wyjcia jest najmniejsza, a h – numerem chwili, dla której ta warto jest najwiksza. Wtedy, zamiast analizowania 2˜p regu, wystarczy sprawdzi tylko dwie:

x w przypadku ograniczenia dolnego: – jeli y_kl|k d y_min, to l k l k k b y y_min ~_| D i

x w przypadku ograniczenia górnego: – jeli y_kh|k t y_max, to h k h k k b y y_max ~_| D .

Nastpnie, biorc pod uwag ograniczenia nao
one na wyjcia obiektu i na sterowania, jeli to potrzebne, nale
y skorygowa (przyci) warto Dk, a w konsekwencji 'uk|k. Mo
e si

przy tym zdarzy,
e po przyciciu Dk, inne ograniczenie jest zamane. W takiej sytuacji

ograniczenia nao
one na wyjcia obiektu powinny zosta osabione. Mo
na w szczególnoci zrezygnowa z wymuszania ogranicze nao
onych na wartoci wyjcia w dalszych chwilach z horyzontu predykcji.

4.1. Przypadek niepewnoci modelowania

Niestety czsto, ze wzgldu na bdy modelowania, zastosowanie przedstawionych regu nie gwarantuje spenienia ogranicze nao
onych na wyjcia obiektu. W takiej sytuacji, nale
y oszacowa bd modelowania a nastpnie uwzgldni go w ograniczeniach. Predykcja wyjcia obiektu regulacji z uwzgldnionym wpywem niepewnoci modelowania jest opisana wzorem: k i k k i k i k k i k k i k r k i k y r y b r y _{| |}  _| ~ _|  ˜D  _| , (26)

gdzie rk+i|k jest nieznanym wpywem niepewnoci modelowania na dokadno predykcji.

Przyjmijmy,
e wpyw ten mo
na oszacowa (np. na podstawie poprzednich, ju
znanych bdów predykcji) przyjmujc minimaln i maksymaln warto skadnika rk+i|k:

max | | min |k k ik k ik i k r r r_ d _ d _ , (27)

gdzie 0r_kmin_i|k d0,r_kmax_i|k t . Przyjmijmy nastpnie,
e

^

min

`

| | min | 1 | 1 min | | | k lk k lk min k k k k, , k pk k pk r k l k y r y r y r y _{ }  _{ }  _ ! _  _ , (28)

^

max

`

| | max | 1 | 1 max | | | k hk k hk max k k k k, , k pk k pk r k h k y r y r y r y _{ }  _{ }  _ ! _  _ . (29) Tym razem, r k l k y | oraz r k h k

y | s odpowiednio: najmniejsz i najwiksz wartoci wyjcia

obiektu przewidywan z uwzgldnieniem niepewnoci modelowania, a ograniczenia, które nale
y uwzgldni w algorytmie, przyjm posta:

k l k k l k k l y r y b ˜D t _min  min_| ~ _| , (30) k h k k h k k h y r y b ˜D d _max  max_| ~ _| . (31)

Ograniczenia te, w przypadku algorytmu w wersji numerycznej nale
y doda do problemu optymalizacji a w przypadku algorytmu w wersji analitycznej – zastosowa nastpujce reguy przycinania zmiennej decyzyjnej Dk.

x dla ogranicze dolnych: – jeli y_kl|kr_kmin_l|k d y_min, to

l k l k k l k k b y r y_min  min_| ~_| D i

x dla ogranicze górnych: – jeli y_kh|kr_kmax_h|k t y_max, to

h k h k k h k k b y r y_max  max_{ |} ~_| D .

Przedstawiony wy
ej mechanizm mo
e zosta uproszczony po zao
eniu,
e:

^

min

`

| min | 1 min minrk k, ,rk pk r _ ! _ , (32)

^

max

`

| max | 1 max maxrk k, ,rk pk r _ ! _ , (33) wtedy

^

1| min | min

`

min | | y r min y r , ,y r y k lk k k k pk r k l k     !   , (34)

^

1| max | max

`

max | | y r max y r , ,y r y_kr_{hk khk}  _{k k}  ! _kpk  . (35)

W takim razie, reguy przycinania bd teraz nastpujce: x dla ogranicze dolnych:

– jeli y_kl|kr_min d y_min, to

l k l k k b y r y_min  _min ~_| D i

– jeli y_kh|kr_max t y_max, to h k h k k b y r ymax  max ~_| D ,

gdzie rmin i rmax s waciwie marginesami bezpieczestwa otrzymanymi na podstawie oszacowania wpywu bdów modelowania. Zauwa
my,
e, w praktyce, im dalsza jest chwila z horyzontu predykcji, tym bardziej konserwatywne musi by oszacowanie wpywu bdów modelowania. Z drugiej strony predykcja jest powtarzana w ka
dej chwili próbkowania regulatora. W takim razie rozsdne jest przyjcie oszacowania bdu modelownia dla wszystkich chwil z horyzontu predykcji, równego bdowi dla chwili pierwszej, tzn.

min | 1 min rk k

r _ i r_max r_kmax_1|k. W kolejnej chwili próbkowania mo
emy bowiem dysponowa nowym oszacowaniem niepewnoci.

5. EKSPERYMENTY SYMULACYJNE

Przykadowym obiektem regulacji jest nieliniowy reaktor polimeryzacji (rys. 1a) [3, 11]. Cha-rakterystyki statyczne obiektu s pokazane na rys. 1b.

a) F, Ci_in y=x4/x3 u, Cm_in x1, x2, x3, x4 monomer inicjator b)

Rys. 1. Reaktor polimeryzacji; a) schemat, b) charakterystyki statyczne y(u)

Równania obiektu s nastpujce:

, , 10 978 , 245 , 10 112191 , 0 0024121 , 0 , ) 10 1022 , 0 ( 80 , 4568 , 2 ) 6 ( 10 3 4 4 2 1 4 3 2 2 1 3 2 2 2 1 1 1 x x y x x x x x x x x x x F u x x x x x ˜  ˜ ˜  ˜  ˜ ˜ ˜   ˜ ˜   ˜     . (36)

gdzie x1 – st
enie monomeru, x2 – st
enie inicjatora, y – wyjcie, ci
ar molekularny pro-duktu (NAMW – ang. number–average molecular weight), u – sterowanie, dopyw inicjatora,

F – dopyw monomeru, Cm_in – st
enie monomeru w strumieniu zasilajcym (Cm_in=6

Odpowied skokow, u
yt nastpnie podczas syntezy regulatorów predykcyjnych, pozyska-no z okolic punktu pracy takiego, jak przyjty w [3, 11], czyli: x10=5,50677, x20=0,132906,

x30=0,0019752, x40=49,3818, u0=0,016783 m3/h, F0=1 m3/h oraz y0=25000 kg/kmol. Do obiek-tu dobrano regulatory DMC w wersji analitycznej i numerycznej, zao
ono okres próbkowa-nia Tp=6 min oraz nastpujce wartoci parametrów dostrajalnych: horyzont predykcji p=10,

horyzont sterowania s=5, kara za zmienno sterowania O=1011.

a) b)

Rys. 2. Odpowiedzi ukadów regulacji na skok wartoci zadanej do y 30000 kg/kmol; regulator z trajektori przyszych przyrostów sterowania, opisan funkcj:

'uB(j)=1,'uB(j)=1/j,'uB(j)=1/j2,'uB(j)=1/j3; a) wyjcie, b) sterowanie

Podczas pierwszej serii eksperymentów przetestowano wpyw ró
nych postaci trajektorii przyszych przyrostów sterowania na dziaanie ukadu sterowania (rys. 2). Najwolniejszy przebieg zosta otrzymany dla trajektorii opisanej funkcj 'uB(j)=1 (przebiegi oznaczone

ko-lorem czarnym). Odpowiedzi ukadu regulacji dla funkcji rosncych 'uB(j)=j i 'uB(j)=j2, byy

bardzo wolne wic nie zostay umieszczone na rysunku. Najwiksze przeregulowanie otrzy-mano, gdy zastosowano funkcj 'uB(j)=1/j (przebiegi niebieskie). W przypadku funkcji

'uB(j)=1/j2, 'uB(j)=1/j3, uzyskano przebiegi szybsze i z mniejszym przeregulowaniem.

Do-bierajc odpowiedni posta trajektorii przyszych przyrostów sterowania, mo
na wic w znaczcy sposób wpywa na zachowanie ukadu sterowania – w badanym przypadku zmniejszy przeregulowanie i jednoczenie przyspieszy dziaanie ukadu regulacji. Mo
li-wo zmniejszenia przeregulowania jest szczególnie po
dana w sytuacjach, gdy powinny by spenione ograniczenia nao
one na wartoci wyj obiektu regulacji.

Podczas kolejnego eksperymentu, zao
ono ograniczenie nao
one na wartoci wyjcia obiek-tu (ograniczenie skadu produkobiek-tu):

max

y

yd , (37)

gdzie ymax= 30200 kg/kmol.

Przyjto tak
e,
e trajektoria przyszych przyrostów sterowania jest opisana funkcj 'uB(j)=1/j. Otrzymane odpowiedzi zostay zamieszczone na rys. 3.

W przypadku, gdy ograniczenie (37) nie zostao uwzgldnione w regulatorze, zostao ono zamane (ró
owe przebiegi na rys. 3). Uwzgldnienie ograniczenia w sposób standardowy (wpywanie tylko na najbli
sz chwil z horyzontu predykcji) spowodowao poprawienie sytuacji. Ograniczenie jest naruszone jedynie nieznacznie, przez stosunkowo krótki czas (zie-lone przebiegi na rys. 3). W przypadku, gdy ograniczenie byo uwzgldniane na caym hory-zoncie predykcji, nie zostao ono naruszone (niebieskie przebiegi na rys. 3). Ponadto, z anali-zy przebiegu sterowania wynika,
e regulator zawczasu zacanali-zyna uwzgldnianie tego ograni-czenia. Jest to szczególnie widoczne, gdy porówna si ten przebieg z przebiegiem otrzyma-nym gdy ograniczenie byo nakadane tylko na pierwsz chwil z horyzontu predykcji (kolor zielony). W tym drugim przypadku, pierwsze trzy przyrosty sterowania s dokadnie takie same, jak w przypadku bez uwzgldniania ogranicze.

a) b)

Rys. 3. Odpowiedzi ukadu regulacji na skok wartoci zadanej do y 30000 kg/kmol; regulator z trajektori przyszych przyrostów sterowania opisan funkcj'uB(j)=1/j2;

ograniczenie:nie uwzgldniane w regulatorze,uwzgldniane w sposób standardowy,

uwzgldniane na caym horyzoncie predykcji; a) wyjcie, b) sterowanie

6. PODSUMOWANIE

W referacie zaproponowano mechanizmy uwzgldniania ogranicze nao
onych na wartoci wyj obiektu regulacji w algorytmach predykcyjnych z zao
on postaci trajektorii przy-szych przyrostów sterowania. Dziki nowemu sposobowi generacji sterowa i zastosowaniu opracowanego mechanizmu uwzgldniania ogranicze, mo
liwe jest uwzgldnianie ograni-cze nao
onych na wyjcie obiektu regulacji na caym horyzoncie predykcji nie tylko w przypadku algorytmów numerycznych ale tak
e w przypadku algorytmów analitycznych. Jest to znaczne rozszerzenie mo
liwoci algorytmów w wersji analitycznej, mogce przyczy-ni si do polepszenia ich dziaania i powikszenia puli ich zastosowa. Dotychczas bowiem (w przypadku standardowych algorytmów predykcyjnych w wersji analitycznej) mechanizmy uwzgldniania ogranicze nao
onych na wyjcia obiektu pozwalay ogranicza jedynie pierwsz warto z horyzontu predykcji lub wymagay zao
enia krótkiego horyzontu stero-wania.

Zaproponowana metoda uwzgldniania ogranicze nao
onych na wyjcia obiektu regulacji jest mao skomplikowana a ponadto w stosunkowo atwy sposób mo
na w niej uwzgldni

niedokadno modelowania. Skuteczno metody zostaa zademonstrowana w przykadowym ukadzie sterowania nieliniowego obiektu chemicznego – reaktora polime-ryzacji. Zademonstrowano przy tym efektywno uwzgldniania w algorytmie analitycznym ogranicze nao
onych na wyjcia obiektu na caym horyzoncie predykcji.

7. LITERATURA

[1] E.F. Camacho, C. Bordons: Model predictive control in the process industry; Springer, 1995.

[2] E. F. Camacho, C. Bordons, Model predictive control; Springer, 1999.

[3] F. Doyle, B.A. Ogunnaike, R.K. Pearson: Nonlinear model–based control using

second-order Volterra models. Automatica, vol. 31, str. 697–714, 1995.

[4] J.M. Maciejowski: Predictive control with constraints; Prentice Hall 2002.

[5] P. Marusak: Regulatory predykcyjne z zaoon trajektori przyrostów sterowania

i uwzgl
dnianiem ogranicze sygnau sterujcego; Pomiary Automatyka Robotyka

2/2008, str. 581–590.

[6] P. Marusak: Analytical predictive controllers with efficient handling of output con-straints, w pracy pod redakcj: K. Malinowskiego i L. Rutkowskiego: Recent advances in control and automation, Academic Publishing House EXIT, Warszawa 2008,

str. 131–140.

[7] P. Marusak, J. Puaczewski: Szczególne zalety algorytmu regulacji Dynamic Matrix

Control (DMC); Pomiary Automatyka Kontrola 12/1999, str. 39–43.

[8] J. Puaczewski: Algorytm regulacji DMC. Przypadek obiektu z opónieniem o jednym

wejciu i jednym wyjciu z pomiarem i predykcj zakóce; Raport IAiIS PW nr 98-06,

Warszawa, 1998.

[9] J. Puaczewski: Wielowymiarowy algorytm DMC; Raport IAiIS PW nr 98–11, Warsza-wa, 1998.

[10] J. A. Rossiter, Model–based predictive control: a practical approach; CRC Press, Boca Raton, 2003.

[11] P. Tatjewski: Sterowanie zaawansowane obiektów przemysowych: struktury