Zestaw 2.
Funkcja potęgowa, wykładnicza i logarytmiczna. Elementarne równania i nierówności.
Przykład 1. Wykonać działanie xx−a−2−a−1, podając założenia, przy jakich jest ono
wyko-nywalne.
Rozwiązanie. Niech x 6= 0, a ∈ R. Wówczas xx−a−2−a−1 = x−a−2−(−a−1) = x−1 = x1.
Przykład 2. Rozwiązać równanie x−34 = 1
8.
Rozwiązanie. Wyznaczamy dziedzinę równania: x ∈ R+.
Ponieważ obie strony równania są dodatnie, możemy je podnieś do potęgi: (x−34)− 4 3 = (1 8) −4 3. Stąd x = (1 8) −4 3, czyli x = 3 √ 84 = 16. Liczba 16 ∈ R +, więc jest rozwiązaniem równania.
Przykład 3. Rozwiązać nierówność x3+ 2x2− 16x − 32 > 0.
Rozwiązanie. Rozkładamy wielomian po lewej stronie nierówności na czynniki liniowe
(wykorzystujemy metodę grupowania wyrazów i wzór skróconego mnożenia): x3+2x2−
16x − 32 = x2(x + 2) − 16(x + 2) = (x2− 16)(x + 2) = (x − 4)(x + 4)(x + 2). Obliczamy
miejsca zerowe tego wielomianu, z uwzględnieniem ich krotności: x = −4, x = −2, x = 4, jednokrotne. Szkicujemy wykres tego wielomianu i odczytujemy z niego rozwiązania nierówności: x ∈ (−4, −2) ∪ (4, +∞).
Przykład 4. Do którego z przedziałów: (0, 1), czy (1, ∞) należy a, gdy a √
3 < a1,1? Rozwiązanie. Zaważmy, że √3 > 1, 1. Zatem a ∈ (0, 1) ( bo funkcja f (x) = ax jest funkcją malejącą jeżeli a ∈ (0, 1)).
Przykład 5. Rozwiązać równanie 22x−4 = 45−3x.
Rozwiązanie. Równanie 22x−4 = 45−3x jest równoważne równaniu 22x−4 = (22)5−3x.
Korzystając z praw działań na potęgach ((ax)y = axy, a > 0, x, x ∈ R) mamy 22x−4 =
210−6x. Z różnowartościowości funkcji wykładniczej otrzymujemy 2x−4 = 10−6x, czyli
8x = 14. Stąd x = 74.
Przykład 6. Rozwiązać równanie 3x+3 − 3x−2 = 26 9.
Rozwiązanie. Korzystając z praw działań na potęgach (axay = ax+y, aaxy = a
x−y, a > 0, x, y ∈ R) zapisujemy równanie 3x+3 − 3x−2 = 26 9 w postaci: 3 · 3 x − 1 9 · 3 x = 26 9 i równoważnie 3x(3 −1 9) = 26 9 . Stąd 3 x· 26 9 = 26 9, czyli 3 x = 1 i równoważnie 3x = 30. Z
Przykład 7. Rozwiązać nierówność 32x−1 > (1 3)
5x−1.
Rozwiązanie. Zapiszemy nierówność w postaci równoważnej: (13)−2x+1 > (13)5x−1. Z
uwagi na monotoniczność funkcji y = (13)x (a dokładniej z faktu, że funkcja ta jest funkcją malejącą), mamy: −2x + 1 < 5x − 1, czyli x > 27.
Przykład 8. Obliczyć log232.
Rozwiązanie. Zgodnie z definicją, logab = c ⇔ ac = b, a > 0, a 6= 1, b > 0. Kładąc zatem log232 = x, mamy 2x = 32, stąd log
232 = 5.
Przykład 9. Rozwiązać równanie log2(x − 4) = 0.
Rozwiązanie. Określimy dziedzinę równania. Logarytm po lewej stronie równania
ist-nieje dla x spełniających nierówność x − 4 > 0, czyli dla x > 4. Korzystając z definicji logarytmu otrzymujemy x − 4 = 20, czyli x − 4 = 1. Stąd x = 5. Ponieważ 5 ∈ (4, ∞),
więc jest rozwiązaniem tego równania.
Przykład 10. Rozwiązać równanie 2 log(2 − x) − log x = log(x + 5).
Rozwiązanie. Określimy dziedzinę równania. Powyższe logarytmy istnieją, gdy :
2 − x > 0 ∧ x > 0 ∧ x + 5 > 0, czyli x < 2 ∧ x > 0 ∧ x < −5. Stąd x ∈ (0, 2). Korzystając z podstawowych praw działań na logarytmach (dla a, b, c > 0, a 6= 1 mamy
logab + logac = logabc, logab − logac = loga bc, k logab = loga(bk)) otrzymujemy równanie równoważne: log(2 − x)2 = log(x(x + 5)). Z różnowartościowości funkcji lo-garytmicznej mamy (2 − x)2 = x(x + 5) ⇔ 4 − 4x + x2 = x2+ 5x ⇔ 9x = 4 ⇔ x = 49.
Ponieważ 49 ∈ (0, 2), więc jest rozwiązaniem tego równania.
Przykład 11. Rozwiązać nierówność log4(2x + 3) < 1.
Rozwiązanie. Logarytm istnieje, o ile 2x + 3 > 0 ⇔ x > −32. Zauważmy, że 1 = log44, więc nierówność można zapisać w postaci równoważnej log4(2x + 3) < log44. Ponieważ funkcja y = log4x jest funkcją rosnącą, więc 2x + 3 < 4 ⇔ x > 12. Zbiór rozwiązań
nierówności jest częścią wspólną zbiorów (−32, ∞) oraz (1
2, ∞), więc ostatecznie x ∈ (12, ∞).
Przykład 12. Znaleźć dziedzinę funkcji f (x) = log2(4x − x2+ 5).
Rozwiązanie. Funkcja f istnieje dla x takich, że −x2+ 4x + 5 > 0. Liczymy ∆ = 42− 4 · (−1) · 5 = 36, więc √∆ = 6; x
1 = 2·(−1)−4−6 = 5 ∨ x2 = −4+6−2 = −1. Szkicując
parabolę odczytujemy rozwiązania nierówności kwadratowej: x ∈ (−1, 5). Ostatecznie
Zadanie 2.1. Wykonać poniższe działania, podając założenia, przy jakich są one wy-konywalne. a) u−6vw−22x−5 · w−5x6 u−5v−1; b) xx4−2y−7z : x6y−1 y7z−1; c) (ac2−1d−3b4)−2 : (c −4b3 ad−6)−3.
Zadanie 2.2. Podać dziedziny i naszkicować wykresy funkcji: a) y = x, y = x3, y = x5; b) y = x2, y = x4, y = x6; c) y = x−2, y = x−4, y = x−6; d) y = x−1, y = x−3, y = x−5; e) y = x12, y = x 1 3, y = x 1 4; f) y = x−12, y = x− 1 3.
Zadanie 2.3. Rozwiązać równania i nierówności: a) x43 = 3 3 √ 3; b) x−1,5 = 33 8; c) x25 + 3x 1 5 = 28; d) (2 √ x x2 ) −3 = [(x√x)−1]−1 2; e) x6 + 3x3− 4 = 0; f) x−1 x−2; g) x14 < x 1 2; h) −x4− x2+ 6 > 0; i) (x − 3)7(x + 2)2(x + 7)19< 0; j) x4 − 4x3+ x2− 4x < 0; k) 2x3+ x2− 18x − 9 0.
Zadanie 2.4. Przekształcając wykres funkcji y = 3x naszkicować wykresy funkcji: a) y = 3x−1+ 2;
b) y = 3x+2− 1;
c) y = 3−x;
d) y = (13)x−3− 1.
Zadanie 2.5. Do którego z przedziałów: (0, 1), czy (1, ∞) należy a, gdy: a) a2 < a3; b) a √ 2 < a0,8; c) a3,4 < aπ; d) a √ 3 < a1,9.
Zadanie 2.6. Rozwiązać równania i nierówności: a) 2x+3 = 4x−1; b) (0, 5)x−4 = 165x−4; c) (√27)3x−2= 95x−3; d) 2x2 = 42x−2; e) 36x2+x = 9−3x+0,5; f) (0, 04)−2 = 511x2+7x; g) 0, 125 · 42x−1 = (√2 8 ) −x−1; h) 2x+2+ 2x = 20; i) 3 · 9x+ 9x−1− 9x−2 = 251; j) 32x+2+ 32x= 30; k) 2 · 16x− 17 · 4x+ 8 = 0; l) 72x+ 7x = 36 · 7x+ 686; m) 3x+2+ 9x+1 = 810; n) 2x+1 > 8x−1; o) (5 4) 3−x−x2 < (0, 8)x2−2x+2 ; p) (√3)2−x < 9x−4;
r) 3x2
< 94x−6;
s) 42x+3 ¬ (0, 5)x2
.
Zadanie 2.7. Obliczyć poniższe logarytmy: a) log216; b) log2 14; c) log 0, 01; d) log√ 22; e) log55√5; f) log61; g) log√ 2 2 8. Zadanie 2.8.
1) Przekształcając wykres funkcji y = log2x naszkicować wykresy funkcji y = log2(x − 1) + 3 oraz y = −log2x + 3.
2) Przekształcając wykres funkcji y = log1
3 x naszkicować wykresy funkcji
y = log1
3 (x + 2) − 1 oraz y = | log 1
3 (x − 1)| + 1
Zadanie 2.9. Rozwiązać równania i nierówności: a) log2(x − 4) = 0;
b) log5(1 − x) = log56 − log5(2 − x); c) log2(x2− 2) − log 2(6 − x) + 1 = 0; d) log3x − 4 log x = 0; e) 12log (x + 3) = 1 − 12log (x + 24); f) log2(8 − 2x) − 2 log2(2 − x) = 1; g) log3(3x− 8) = 2 − x; h) log7(6 + 7−x) = x + 1; i) (log2x)2+ 3 = 4 log2x; j) log3(2x + 7) < 1; k) log1 2 (x − 4) > −2; l) log3(2x − 1) − 1 < log3(x − 2).
Zadanie 2.10. Znaleźć dziedziny funkcji: a) f (x) = log (x2− x + 2); b) f (x) = log (4x − x2 + 5); c) f (x) = log6(5x− 52x−3); d) f (x) = x −q(3x)2 − 3 · 3x; e) f (x) = 1 −√2x+ 3; f) f (x) =√1 − 2x+√x; g) f (x) = 13x2+ 5x + log (3x2 − 81); h) f (x) = 1−log xx ; i) f (x) =qlog2(x + 2); j) f (x) =q4 − log1 2 x; k) f (x) = q 2 log x − log2x; l) f (x) = 5 log3+x(−x − 1). ODPOWIEDZI: Zadanie 2.1. a) uwxv33, u, w, v, x 6= 0; b) zy2, x, y, z 6= 0; c) bdac128 , a, b, c, d 6= 0. Zadanie 2.3. a) x = 3; b) x = 49; c) x = 45; d) x = 245; e) x = √3−4 ∨ x = 1; f) x ∈ h1, +∞); g) x ∈ (1, +∞);
h) x ∈ (−√2,√2); i) x ∈ (−7, 3) \ {−2}; j) x ∈ (0, 4); k) x ∈ h−3, −12i ∪ h3, +∞). Zadanie 2.4. a) translacja o wektor [1,2]; b) translacja o wektor [-2,-1];
c) symetria względem osi OY;
d) symetria względem osi OY, a nastepnie translacja o wektor [3,-1].
Zadanie 2.5. a) a ∈ (1, +∞); b) a ∈ (0, 1); c) a ∈ (1, +∞); d) a ∈ (1, +∞). Zadanie 2.6. a) x = 5; b) x = 2021; c) x = 116; d) x = 2; e) x = −16 ∨ x = 1; f) x = −1 ∨ x = 114 ; g) x = 5; h) x = 2; i) x = 2; j) x = 12; k) x = −12 ∨ x = 3 2;
l) x = 2; m) x = 2; n) x < 2; o) x > 53; p) x > 185; r) x ∈ (2, 6);
s) nierówność nie ma rozwiązania.
Zadanie 2.7. a) 4; b) −2; c) −2 d) 2; e) 32; f) 0; g) −6. Zadanie 2.8.
1) a) translacja o wektor [1,3]; b) symetria względem osi OX, a następnie translacja o wektor [0,3].
2) a) translacja o wektor [-2,-1]; b) translacja o wektor [1,0], przekształcenie części wykresu leżącego pod osią OX w symetrii względem tej osi, a następnie translacja o wektor [0,1].
Zadanie 2.9. Rozwiązać równania i nierówności: a) x = 5; b) x = −1; c) x = −52 ∨ x = 2; d) x = 0, 01 ∨ x = 1 ∨ x = 100; e) x = 1; f) x = −3 ∨ x = 0; g) x = 2;
h) x = 0;
i) x = 2 ∨ x = 8; j) x ∈ (−72, −2);
k) x ∈ (4, 8); l) x ∈ (5, +∞).
Zadanie 2.10. Znaleźć dziedziny funkcji: a) Df = (−∞, −1) ∪ (2, +∞); b) Df = (−1, 5); c) Df = (−∞, 3); d) Df = h1, +∞); e) Df = R; f) Df = {0}; g) Df = (−∞, −2) ∪ (2, +∞); h) Df = (0, +∞) \ {10}; i) Df = h−1, +∞); j) Df = h161, +∞); k) Df = h1, 100i; l) Df = (−3, −1) \ {−2}.
