Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna — wykład 2

Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna — wykład 2

dr Mariusz Grz ˛ adziel semestr zimowy 2013

Pot˛egowanie

Dla dowolnej liczby dodatniej a oraz liczy wymiernej w = p/q definiujemy:

a^w≡ (a^1/q)^p. Symbol „≡” oznacza „równy z definicji”.

Powy˙zsza definicja ma sens tak˙ze dla a ujemnych, je´sli q jest nieparzyste.

Dla x niewymiernego mo˙zemy obliczy´c z zadan ˛a dokładno´sci ˛a a^xznajduj ˛ac warto´sci a^x1, a^x2, . . . , gdzie xk oznacza przybli˙zenie dziesi˛etne liczby x wyra˙zone dokładno-

´sci ˛a do k miejsc po przecinku. Obliczanie kolejnych warto´sci a^xknale˙zy kontynuowa´c do momentu, w którym bł ˛ad przybli˙zenia |a^x− a^xk| b˛edzie mniejszy ni˙z zadana liczba dodatnia.

Funkcja pot˛egowa

Funkcja, która przyporz ˛adkowuje argumentowi x ∈ D, gdzie D jest zbiorem liczb rzeczywistych lub jego odpowiednim podzbiorem, pot˛eg˛e x^p, gdzie p jest liczb ˛a rze- czywist ˛a, nazywamy funkcj ˛a pot˛egow ˛a.

Zastosowania w naukach przyrodniczych Przy pewnych zało˙zeniach mo˙zna poka- za´c, ˙ze stosunek powierzchni ciała zwierz ˛at do ich masy jest proporcjonalny do od- wrotno´sci trzeciego pierwiastka z masy (czyli do m^−1/3, gdzie m oznacza mas˛e zwie- rz˛ecia). Wynika st ˛ad, ˙ze mniejsze zwierz˛eta musz ˛a wi˛ecej wysiłku czasu wkłada´c w zdobywanie po˙zywienia ni˙z zwierz˛eta o wi˛ekszej masie — por. [Wrz08, str. 71–72].

Funkcje wielomianowe Funkcj˛e

W (x) ≡ a0+ a1x + a2x²+ · · · + anxⁿ nazywamy funkcj ˛a wielomianow ˛a.

• łatwo mo˙zna obliczy´c ich warto´s´c;

• mog ˛a opisa´c bogactwo kształtów badanych obiektów — w naukach przyrodni- czych i ekonomicznych.

Funkcja wykładnicza

Dla a dodatniego i ró˙znego od 1 definiujemy funkcj˛e f (x) ≡ a^x. Dziedzin ˛a funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych R.

Funkcja wykładnicza jest stosowana do modelowania procesów wzrostu populacji, roz- padu promieniotwórczego itd.

Funkcja logarytmiczna

Logarytmem o podstawie a, 0 < a 6= 1 z liczby dodatniej x nazywamy liczb˛e rzeczy- wist ˛a y, dla której

a^y= x.

Funkcja logarytmiczna, dla ustalonej podstawy 0 < a 6= 1 przyporz ˛adkowuje argu- mentowi x > 0 logarytm log_ax.

Własno´sci funkcji— parzysto´s´c,nieparzysto´s´c

Definicja 1 (funkcji parzystej). Funkcja f : X → Y jest parzysta, je´sli dla ka˙zdego x ∈ X

−x ∈ X oraz f (−x) = f (x).

Interpretacja geometryczna: funkcja jest parzysta, gdy o´sOy jest osi ˛a symetrii jej wy- kresu.

Definicja 2 (funkcji nieparzystej). Funkcja f : X → Y jest nieparzysta, je´sli dla ka˙zdegox ∈ X

−x ∈ X oraz f (−x) = −f (x).

Interpretacja graficzna: funkcja jest nieparzysta, je´sli pocz ˛atek układu współrz˛ednych jest ´srodkiem symetrii jej wykresu.

Przykłady Funkcje f1(x) = cos x, f2(x) = cos x + x²s ˛a parzyste; funkcje f3(x) = sin x, f4(x) = 2x³s ˛a nieparzyste.

Definicja 3 (funkcji okresowej). Funkcja f : X → R jest okresowa, je´sli istnieje T >

0 takie, ˙ze dla ka˙zdego x ∈ X

x ± T ∈ X oraz f (x + T ) = f (x).

Liczb˛eT nazywamy okresem funkcji f . Je˙zeli istnieje najmniejszy okres funkcji f , to nazywamy go okresem podstawowym.

Funkcje trygonometryczne

Funkcje trygonometryczne sinus i kosinus s ˛a funkcjami okresowymi. Ich okres pod- stawowy jest równy 2π

Definicja 4. Zbiór A ⊂ R b˛edziemy nazywa´c:

• ograniczonym z dołu, je´sli istnieje dla niego ograniczenie dolne, tj. je´sli dla ka˙z- degom ∈ R istnieje x ∈ A taki, ˙ze m ¬ x.

−6 −4 −2 0 2 4 6

−1.0−0.50.00.51.0

x sin

cos

Rysunek 1: Wykresy funkcji sinus i kosinus

• ograniczonym z góry, je´sli istnieje dla niego ograniczenie górne, tj. je´sli tj. je´sli dla ka˙zdegom ∈ R istnieje x ∈ A taki, ˙ze M ­ x.

• ograniczonym, je´sli jest ograniczony z góry i z dołu.

Definicja 5 (funkcji ograniczonej). Funkcja f jest na zbiorze (b˛ed ˛acym podzbiorem jej dziedzinyDf:

• ograniczona z dołu, je´sli jej zbiór warto´sci jest ograniczony z dołu, tj. istnieje m ∈ R taki, ˙ze dla ka˙zdego x ∈ A m ¬ f (x).

• ograniczona z góry, je´sli jej zbiór warto´sci jest ograniczony z góry;

• ograniczona, je´sli jest zarówno ograniczona z dołu jak i z góry.

Przykłady. (i) Funkcja f (x) = _x¹ na zbiorze (0, ∞) jest ograniczona z dołu, ale nie jest ograniczona z góry; (ii) funkcja g(x) = x²jest ograniczona na zbiorze [1, 2].

Definicja 6 (funkcji rosn ˛acej). Funkcja f jest rosn ˛aca na zbiorzeA ⊂ D_f, je´sli dla ka˙zdychx₁, x₂∈ A

[(x1< x2) =⇒ (f (x1) < f (x2))]

Definicja 7 (funkcji malej ˛acej). Funkcja f jest malej ˛aca na zbiorzeA ⊂ Df, je´sli dla ka˙zdychx1, x2∈ A

[(x1< x2) =⇒ (f (x1) > f (x2))]

Funkcje ros ˛ace,malej ˛ace

Definicja 8 (funkcji rosn ˛acej). Funkcja f jest rosn ˛aca na zbiorzeA ⊂ Df, je´sli dla ka˙zdychx₁, x₂∈ A

[(x₁< x₂) =⇒ (f (x₁) < f (x₂))]

Definicja 9 (funkcji malej ˛acej). Funkcja f jest malej ˛aca na zbiorzeA ⊂ D_f, je´sli dla ka˙zdychx₁, x₂∈ A

[(x₁< x₂) =⇒ (f (x₁) > f (x₂))]

Przykłady

• Funkcja f (x) = x²jest rosn ˛aca na [0, ∞);

• funkcja g(x) = _1+2x¹ ₂ jest malej ˛aca na [1, 2].

Definicja 10 (funkcji niemalej ˛acej). Funkcja f jest niemalej ˛aca na zbiorzeA ⊂ D_f, je´sli dla ka˙zdychx1, x2∈ A

[(x1< x2) =⇒ (f (x1) ¬ f (x2))]

Definicja 11 (funkcji nierosn ˛acej). Funkcja f jest nierosn ˛aca na zbiorzeA ⊂ Df, je´sli dla ka˙zdychx1, x2∈ A

[(x1< x2) =⇒ (f (x1) ­ f (x2))].

Definicja 12 (funkcji monotonicznej). Funkcja f jest monotoniczna na zbiorze A ⊂ D_f, je´sli jest nierosn ˛aca lub niemalej ˛aca na tym zbiorze; funkcj˛ef nazywamy ´sci´sle monotoniczn ˛a, je´sli jest malej ˛aca lub rosn ˛aca na tym zbiorze.

Zło˙zenie funkcji

Definicja 13. Niech X, Y, Y1, Z b˛ed ˛a podzbiorami R, Y1⊂ Y oraz niech f : X → Y , g : Y1 → Z. Zło˙zeniem funkcji g i f nazywamy funkcj˛e (g ◦ f ) : X → Z okre´slon ˛a wzorem:

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) dla x ∈ R.

Przykłady. (i) Dla f (x) = 2x+1 i g(x) = 2x (dziedziny Dfi Dgs ˛a równe R) zło˙zenie g ◦ f b˛edzie równe funkcji h(x) = 4x + 2, Dh= R. (ii) funkcja h(x) = sin(x²) mo˙ze by´c wyra˙zona jako zło˙zenie funkcji f (x) = x²i g(x) = sin(x) :

h(x) = (g ◦ f )(x), Dh= R;

Poj˛ecie funkcji odwrotnej

Zło˙zenie h(x) = g ◦ f (x) funkcji g(x) = log₂x, gdzie dziedzina Dg jest równa zbiorowi liczb dodatnich i f (x) = 2^x, Df = R, jest równa funkcji identyczno´sciowej:

h(x) = (g ◦ f )(x) = x, Dh= R.

Uwaga Funkcja g(x) = log₂x jest funkcj ˛a odwrotn ˛a do funkcji f (x) = 2^x.

Definicja 14 (Funkcja odwrotna do funkcji ´sci´sle monotonicznej). Niech zbiór I b˛e- dzie odcinkiem, półprost ˛a lub prost ˛a. Niechf b˛edzie funkcj ˛a ´sci´sle monotoniczn ˛a na swojej dziedzinieDf = I. Oznaczmy zbiór warto´sci funkcji f przez Y . Funkcj ˛a od- wrotn ˛a dof nazywamy funkcj˛e h spełniaj ˛ac ˛a warunki:

• dziedzina funkcji h jest równa Y ;

• zbiór warto´sci h jest równy I;

• dla ka˙zdego y ∈ Y jest spełniony warunek: y = f (x) ⇒ x = h(y).

Funkcje elementarne

Definicja 15. Funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: (a) stała, pot˛egowa,wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna, trygonometryczne,...; (b) wszystkie funkcje które mo˙zna

otrzyma´c z funkcji wymienionych w punkcie (a) za pomoc ˛a sko´nczonej liczby działa´n arytmetycznych oraz operacji zło˙zenia.

Przykłady. Funkcjami elementarnymi sa:

• funkcja f (x) = x^{cos x}+^1+x_1−x;

• funkcja | · | zdefiniowana przez

|x| =

(x, x ­ 0,

−x x < 0;

zauwa˙zmy, ˙ze funkcja | · | mo˙ze by´c przedstawiona jako zło˙zenie h = g ◦ f funkcji f (x) = x²oraz g(x) =√

x Prace cytowane

Literatura

[Bed04] Bednarski, T., Elementy matematyki w naukach ekonomicznych. Oficyna ekonomiczna. Kraków 2004.

[Bod08] Bodnar, D., Zbiór zada´n z matematyki dla biologów. Wydawnictwo Uni- wersytetu Warszawskiego. Warszawa 2008.

[Kur08] Kuratowski, K., Rachunek ró˙zniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmien- nej. PWN, Warszawa 2008.

[R10] The R Project for Statistical Computing. Strona WWW http://www.r- project.org/

[Wrz08] Wrzosek, D., Matematyka dla biologów. Wydawnictwo Uniwersytetu Warszawskiego. Warszawa 2008.

[ZZ00] Zakrzewscy, D. i M. Repetytorium z matematyki. Wydawnictwo Szkolne PWN, Warszawa 2000.

[ZZ ˙Z05] Zakrzewscy, D. i M., ˙Zak, T. Matematyka. Matura na 100%. Wydawnic- two Szkolne PWN, Warszawa 2005.