Ka˙zde zdanie jest prawdziwe lub fa lszywe. Prosze,odpowiedzie´c TAK lub NIE na zdania z ♥ oraz uzasadni´c w odpowiedzi w zdaniach ♠. Punktacja: za ♥ 2pt lub −1 za z la,odpowied´z, za ♠ 5pt
1 ♥ Niech G be,dzie sko´nczona,grupa,abelowa,. Za l´o˙zmy, ˙ze dla ka˙zdej liczby pierwszej p i dla ka˙zdej liczby naturalnej n grupa G zawiera co najwy˙zej jedna, podgrupe, rze,du pn. W´owczas grupa G jest cykliczna.
2 ♠ Istnieje dok ladnie jedna (z dok ladno´scia,do izomorfizmu) grupa rze,du 255.
3 ♥ Je˙zeli [G : H] = 2 i K / H, to K / G.
4 ♠ Niech G be,dzie sko´nczona, p-grupa,. Je˙zeli G zawiera dok ladnie p − 1 element´ow rze,du p, to G jest cykliczna.
1
5 ♥ Je˙zeli grupa G (niekoniecznie sko´nczona) nie zawiera podgrupy izomorficznej z Zp× Zp (gdzie p jest liczba,pierwsza,), to ka˙zde dwie podgrupy grupy G, izomorficzne z Zp, sa,sprze,˙zone.
6 ♠ Dla ka˙zdej liczby pierwszej p istnieje nieprzemienna grupa G rze,du p3.
7 ♥ 2-podgrupa Sylowa grupy alternuja,cej A5 jest izomorficzna z Z2× Z2.
8 ♠ 2-podgrupa Sylowa grupy permutacji Σ5 jest izomorficzna z Q8.
2
9 ♥ J˙zeli n + m < k, to istnieje monomorfizm grupy Znm w grupe,Σk.
10 ♠ Niech G be,dzie grupa,. Je˙zeli H1, H2 ≤ G i H1 6= H2, to dla dowolnych dw´och element´ow g1, g2 ∈ G grupy G zachodzi g1H1 6= g2H2.
11 ♥ W grupie permutacji Σn ka˙zde dwa elementy rze,du n sa,sprze,˙zone.
12 ♠ Je˙zeli ka˙zda podgrupa Sylowa grupy G jest normalna w G, to G jest produktem swoich podgrup Sylowa.
3
13 ♥ Je˙zeli grupa G jest nieprzemienna, to G/Z(G) jest nieprzemienna.
14 ♠ Istnieje dzia lanie grupy SL2(Z6) (macierze o wyrazach w Z6 o wyznaczniku 1) na zbiorze siedmioelementowym bez punkt´ow sta lych.
15 ♥ W grupie Σ11 ka˙zde dwa elementy rze,du 15 sa,sprze,˙zone.
16 ♠ W grupie A4 nie ma podgrupy rzedu 6.
4
17 ♥ Ka˙zda grupa sko´nczenie generowana ma wzrost conajwy˙zej wyk ladniczy.
18 ♠ Grupa < x, y|x3, y3, xyx2y2 > jest przemienna i sko´nczona.
19 ♥ Grupa sko´nczona G jest rozwia,zalna wtedy i tylko wtedy, gdy ka˙zda jej podgrupa nietrywialna posiada nietrywialna,w la´sciwa,podgrupe,normalna,.
20 ♠ Niech G = N o H gdzie N jest grupa,nilpotentna,, H abelowa,. Wtedy G jest nilpotentna.
5
