Sprawdzian nr 1. Metody matematyczne w t

Sprawdzian nr 1. Metody matematyczne w technologii materiałów, AGH, 2020.

Zadanie 1) Obliczyd granice funkcji: (a)

1

lim1 , 1

a x b

x

 x



 gdzie ,a b0; (b)

2 0 4

(1 cos ) sin 3

lim .

x

x x

 x



Zadanie 2) Obliczyd całki: (a)





Zadanie 3) Obliczyd całkę podwójną (x y dxdy) ,





Zadanie 4) Rozwinąd w szereg Taylora do trzeciego wyrazu funkcję 1 ( ) 1 sin

f x  x

 wokół punktu x₀0.

Zadanie 5) Znaleźd numerycznie (met. bisekcji) dowolne miejsce zerowe równania x⁵  x 1 0 z dokładnością 0,1.

Zadanie 6) Znaleźd numerycznie metodą Newtona przybliżenie rozwiązania równania x³  x 1 0. Jako punkt startu przyjąd x₀ 2 i wykonad dwie iteracje metody. Można zapisywad dziesiętnie z dwoma miejscami po przecinku.

Zadanie 7) (Promieniowanie ciała doskonale czarnego, rozkład Plancka, prawo StefanaBoltzmanna). Każda obiekt materialny o temperaturze dodatniej (w skali Kelvina) emituje promieniowanie elektromagnetyczne. Rozkład widmowy promieniowania dla tzw. ciała doskonale czarnego ma postad (rozkład Plancka):

3 / 3

( , ) 8 .

1

h k TB

T h

c e^

 

  

 (1)

gdzie h stała Plancka, k_B stała Boltzmanna, c prędkośd światła (w próżni), T temperatura bezwzględna,   częstotliwośd promieniowania.

(i) Narysowad wykresy funkcji

3

( ) ^x 1 f x x

e

 dla x0. Jaki jest związek tej funkcji z rozkładem promieniowania ciała doskonale czarnego?

(ii) Całkowita moc emitowana przez ciało w drodze promieniowanie elektromagnetycznego jest oczywiście określona całką po wszystkich długościach lub częstościach fal, tzn.

3 / 3

0 0

( , ) 8 .

1

h k TB

v T dv h dv

c e^

 

 

 

 

Stosując odpowiednie podstawienie pokazad, że całka ta ma postad T⁴ gdzie stała  zależy tylko od podstawowych stałych fizycznych. Podad wyrażenie na .