Zad. 1. a) (za 5 pkt.)

Egzamin z TCiWdTD dn. 09.02.2011

...

Nazwisko i im i ˛e, grupa

1 2 3 4 5 6 Egz Cw ´ X

Zad. 1. a) (za 5 pkt.)

Wyznaczy´c transformat ˛e Laplace’a funkcji f (t) = ln t.

b) (za 5 pkt.)

Sformułowa´c i udowodni´c twierdzenie o zachowaniu si ˛e transformaty Laplace’a w niesko´ nczono´sci w przypadku klasycznym.

Zad. 2. (za 10 pkt.)

Stosuj ˛ ac transformat ˛e Laplace’a rozwi ˛ aza´c zagadnienie

y ⁰ (t) + 4y (t) + 5 Z t

0

y (τ ) dτ = sin t, dla t > 0, y ¡ 0 ⁺ ¢

= 0.

Zad. 3. a) (za 5 pkt.)

Poda´c warunki dostateczne istnienia splotu dwóch funkcji prawostronnych (tzn. równych to˙zsamo-

´sciowo zero dla argumentów ujemnych).

b) (za 5 pkt.)

Sformułowa´c i udowodni´c twierdzenie Borela o splocie dla transformaty Laplace’a.

Zad. 4. (za 10 pkt.)

Niech e f ν (p) b ˛edzie niesko´nczon ˛ a transformat ˛ a Hankela funkcji f (x), za´s eg ^ν (p) niesko´nczon ˛ a transformat ˛ a Hankela funkcji g (x). Pokaza´c, ˙ze

+ ∞

Z

0

xf (x) g (x) dx =

+ ∞

Z

0

p e f ν (p) eg ^ν (p) dp.

Zad. 5. a) (za 6 pkt.)

Rozwi ˛ aza´c równanie ró˙znicowe

x n+2 − 2x ⁿ⁺¹ + 2x n = n, gdzie x 0 = 0, x 1 = 1.

b) (za 4 pkt)

Poda´c definicj ˛e przekształcenia z j ˛ adrem fourierowskim oraz wyprowadzi´c warunek konieczny na to, aby funkcja K (α, x) = K (αx) była j ˛ adrem fourierowskim.

Zad. 6. (za 10 pkt.)

Stosuj ˛ ac klasyczn ˛ a transformat ˛e Fouriera rozwi ˛ aza´c zagadnienie (drga´n struny)

⎧ ⎨

⎩

c ^{2 ∂} _∂x

^u

= ^∂ _∂t

^u

dla x ∈ R, t > 0 u (x, 0) = f (x) dla x ∈ R

∂u

∂t (x, 0) = 0 dla x ∈ R,

gdzie u = u (x, t) jest funkcj ˛ a niewiadom ˛ a, f jest funkcj ˛ a dan ˛ a całkowaln ˛ a na R, za´s c stał ˛a dodatni ˛a.