Zad. 1. (za 3 pkt.) Wyrazi´c całk ˛e

Kolokwium z TCiWdTD, dn. 28.11.2011

Zad. 1. (za 3 pkt.) Wyrazi´c całk ˛e

I (t) = Z 2t

0

√ x

2t − x dx za pomoc ˛ a funkcji B Eulera. Wyznaczy´c I (1).

Zad. 2. (za 3 pkt.)

Funkcj ˛e f (x) = 2 − x rozwin ˛a´c na szereg Fouriera sinusów w przedziale [0; 1]. Niech S (x) oznacza sum ˛e tego szeregu. Wyznaczy´c

x→1 lim

S (x) . Zad. 3. (za 3 pkt.)

Wyznaczy´c transformat ˛e Fouriera funkcji f (x) = exp (− |x|), a nast ˛epnie wyznaczy´c F ²ⁿ⁺¹ [f ] dla n ∈ N, gdzie F ^k oznacza k-krotne zło˙zenie transformaty Fouriera ze sob ˛ a.

Zad. 4. (za 3 pkt.)

Stosuj ˛ ac transformat ˛e Laplace’a rozwi ˛ aza´c zagadnienie Cauchy’ego:

y ⁰⁰ − 2y ⁰ + y = 2 exp (2t) , y ¡ 0 ⁺ ¢

= 1, y ⁰ ¡ 0 ⁺ ¢

= 2.

Zad. 5. (za 3 pkt.)

Stosuj ˛ ac transformat ˛e Laplace’a rozwi ˛ aza´c równanie całkowe:

y (t) − Z t

0

y (τ ) (t − τ) dτ = exp (t) − 2.