Zad. 1. (za 3 pkt.) Obliczy´c całk˛e

Kolokwium z TCiWdTD, dn. 17.11.2014

Zad. 1. (za 3 pkt.) Obliczy´c całk˛e

 = Z +∞

1

√

ln 

 ³ 1 + √

ln  ´ 4 .

Zad. 2. (za 3 pkt.) Funkcj ˛e

 () =

⎧ ⎨

⎩

0 dla  ∈ (−; 0)

 dla  ∈ £ 0; ^ ₂ ¤



2 dla  ∈ ¡ _

2   ¢

rozwin ˛ a´c na szereg Fouriera w przedziale [− ]. Dookre´sli´c warto´sci funkcji  w punk- tach  = ± tak, aby spełnione były warunki Dirichleta w przedziałe [−; ]. Niech  () oznacza sum˛e tego szeregu. Wyznaczy´c  ¡

17 − √ 2 ¢

. Zad. 3. (za 3 pkt.)

Wykaza´c, ˙ze je´sli F oznacza transformat˛e Fouriera,  ^  () jest bezwzgl ˛ednie calkowalna na R oraz  = F [], to zachodzi wzór:

 ^  ()

 ^ = ( −) ^ F £

 ^  () ¤ () . Zad. 4. (za 3 pkt.)

Stosuj ˛ ac transformat ˛e Laplace’a rozwi ˛ aza´c układ równa´ n całkowych:

⎧ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎨

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎩

 1 () =  ^ − Z  0

 1 ()  + 4 Z 

0

 2 ()  ^− 

 2 () = 1 − Z 

0

 1 ()  ^−  + Z 

0

 2 () 

.

Zad. 5. (za 3 pkt.)

Pokaza´c, ˙ze dla  ≥  prawdziwy jest wzór dla transformaty Laplace’a:

L

∙

 ^  ^  ()

 ^

¸

() = ( −1) ^  ^

 ^ [ ^  ()] ,

gdzie L [] =  ,  ∈  ^() .