Zad. 1. (za 2 pkt.)

(1)

Kolokwium z TCiWdTD, dn. 21.01.2010

Zad. 1. (za 2 pkt.)

Wyznaczy´c pierwsz ˛ a i drug ˛ a pochodn ˛ a w sensie dystrybucyjnym funkcji f (x) =

¹₂

(x + 1) |x + 1| + |x − 1| ko- rzystaj ˛ ac wył ˛ acznie z definicji.

Zad. 2. (a) (za 1 pkt.)

Wyprowadzi´c wzór na transformat ˛e Laplace’a funkcji f (t) = ln t.

(b) (za 3 pkt.)

Rozwi ˛ aza´c w przestrzeni dystrybucji równanie ró˙zniczkowe t

²

D

²

y + 4tDy + 2y = δ.

Zad. 3. (za 2 pkt.)

Wyprowadzi´c i udowodni´c indukcyjnie wzór na Z ©

∆

^k

x

n

ª . Zad. 4. (za 3 pkt.)

Rozwi ˛ aza´c równanie ró˙znicowe

x

n+3

− 4x

ⁿ⁺²

+ 5x

n+1

− 2x

ⁿ

= 3

ⁿ

, gdzie x

0

= x

1

= x

2

= 0.

Zad. 5. (za 4 pkt.)

Rozwi ˛ aza´c zagadnienie:

∂

²

u

∂x

²

+ ∂

²

u

∂y

²

= 0, dla o < x, y < π z warunkami: u

x

(0, y) = u

x

(π, y) = u

y

(x, 0) = 0, u

y

(x, π) = u

0

6= 0.

Kolokwium z TCiWdTD, dn. 21.01.2010

Zad. 1. (za 2 pkt.)

Wyznaczy´c pierwsz ˛ a i drug ˛ a pochodn ˛ a w sensie dystrybucyjnym funkcji f (x) =

¹₂

(x − 1) |x − 1|−|x| korzystaj ˛ac wył ˛ acznie z definicji.

Zad. 2. (a) (za 1 pkt.)

Wyprowadzi´c wzór na transformat ˛e Laplace’a funkcji f (t) = ln t.

(b) (za 3 pkt.)

Rozwi ˛ aza´c w przestrzeni dystrybucji równanie ró˙zniczkowe t

²

D

²

y + 4tDy + 2y = δ.

Zad. 3. (za 2 pkt.)

Funkcj ˛e f (x) = x

²

+ x

⁴

rozwin ˛ a´c na przedziale (0, 1) na szereg Fouriera-Bessela.

Zad. 4. (za 3 pkt.)

Rozwi ˛ aza´c równanie ró˙znicowe

x

_n+2

− 2x

n+1

+ 2x

_n

= n, gdzie x

₀

= 1, x

₁

= 2.

Zad. 5. (za 4 pkt.)

Rozwi ˛ aza´c zagadnienie:

∂

²

u

∂x

²

+ ∂

²

u

∂y

²

= 0, dla o < x, y < π

z warunkami: u

_x

(0, y) = u

_x

(π, y) = u

_y

(x, 0) = 0, u

_y

(x, π) = u

₀