DWUWYMIAROWE ZMIENNE LOSOWE Rozkład łączny pary zmiennych losowych

(1)

DWUWYMIAROWE ZMIENNE LOSOWE Rozkład łączny pary zmiennych losowych ⁽^X^,^Y⁾

określonych na tej samej przestrzeni zdarzeń elementarnych:

) ) ,

((X Y A

P  , A - dowolny podzbiór zbioru par wartości zmiennych X, Y.

Definicja. Dystrybuantą zmiennej losowej ⁽^X^,^Y⁾ nazywamy funkcję

) , (

) ,

(x y P X x Y y

F    ,

gdzie ^^^^x^^^, ^^^ ^y^^^.

Twierdzenie. Łączny rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej ⁽^X^,^Y⁾ określony jest jednoznacznie przez jej dystrybuantę.

(2)

Zmienne dyskretne

Funkcja prawdopodobieństwa ( łącznego )

dwuwymiarowej zmiennej losowej dyskretnej:

) , ( ) ,

(x y P X x Y y

f    .

Własności:

(i) ^f ⁽^x^,^y⁾^⁰, dla dowolnej pary wartości ⁽^x^, ^y⁾, (ii) ^{ }x y ^

y x

f( , ) 1,

(iii)   ^

A y x

y x f A

Y X P

) , (

) , ( )

) ,

(( ,

(iv) ^F⁽^x^,^y⁾^_s^__x t^ y

t s f ( , ).

Przykład. W każdym z dwóch etapów teleturnieju można otrzymać 0, 1, lub 2 punkty. Niech zmienne losowe X, Y oznaczają liczby punktów uzyskane w etapie I i II, odpowiednio, przez losowo wybranego uczestnika. Funkcję prawdopodobieństwa łącznego określa tabela:

(3)

Y X

0 1 2

0

0,5 0,05 0,01

1

0,2 0,1 0,06

2

0,02 0,03 A

Znaleźć:

(a) ^f⁽²^,²⁾^^P⁽^X ^²^,^Y ^²⁾ (b) ^P⁽^Y ^²⁾

(c) ^F⁽¹^,¹⁾.

(a) _x^{ }_²₀_y_²₀^f⁽^x^, ^y⁾ = 1. Stąd

) 2 , 2 (

f = A = 1 – ( 0,5 + 0,05 + 0,01 + 0,2 + 0,1 + + 0,06 + 0,02 + 0,03 ) = 1 – 0,97 = 0,03.

(b) ^P⁽^Y ^²⁾^ _x^_²₀^P⁽^X ^ ^x^,^Y ^²⁾ =

^f⁽⁰^,²⁾^ ^f⁽¹^,²⁾^ ^f⁽²^,²⁾ = 0,01 + 0,06 + 0,03 = 0,1.

(c) ^F⁽¹^,¹⁾ = ^P⁽^X ^{ Y}¹^, ^¹⁾ =

= ^f⁽⁰^,⁰⁾^ ^f⁽⁰^,¹⁾^ ^f⁽¹^,⁰⁾^ ^f⁽¹^,¹⁾ =

= 0,5 + 0,05 + 0,2 + 0,1 = 0,85.

(4)

Zmienne ciągłe

Zmienna losowa (^X^,Y⁾ jest dwuwymiarową ciągłą zmienną losową, jeśli jej łączny rozkład prawdopodo- bieństwa określony jest przez funkcję gęstości łącznej ( łączną gęstość prawdopodobieństwa ), taką że

(i) ^f⁽^x^,^y⁾^⁰

(ii) _^^{ }__^_^f⁽^x^,^y⁾^dxdy^{ 1}

(iii) ^P⁽⁽^X^,^Y⁾^^A⁾^ _A^{ } ^f⁽^x^,^y⁾^dxdy

W szczególności dla ^A^⁽^^,^x^]^⁽^^,^y^]:

) , (x y

F = ^P⁽^X ^ ^x^,^Y ^ ^y⁾ ^_^{ }^x__^y_^f⁽^s^,^t⁾^dtds.

) , ( )

, (

2

y x y F y x

x

f  

  , ^^^^x^^, ^^^ ^y^^. Przykład. Zmienna losowa ⁽^X^,^Y⁾ ma gęstość prawdopodobieństwa



  ) 0 ,

( x y

y x

f gdy ⁰^_przeciwnie^x^¹^,⁰^ ^y^¹.

(5)

Obliczyć

) 25 , 0 , 5 , 0 (X  Y 

P = ⁰^{ }^,⁵ ^

0 1

25 , 0

)

(x y dydx =

dx y

xy ¹₀_,₂₅

5 , 0

0

2 /2)

 ( ^ = ⁰^^,⁵ ^ ^ ^

0

) 2 / 625 , 0 25 , 0 5 , 0

(x x dx = ?

Rozkłady brzegowe

Niech ⁽^X^,^Y⁾ będzie dwuwymiarową zmienną losową o rozkładzie prawdopodobieństwa określonym przez funkcję ^f⁽^x^, ^y⁾ ( funkcja prawdopodobieństwa lub gęstość ).

Rozkład brzegowy = rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X lub zmiennej losowej Y.

(a) dla dyskretnych zmiennych X, Y , brzegowe funkcje prawdopodobieństwa są postaci

(6)





X x P X x y f x y

f ( ) ( ) ( , )





Y y P Y y x f x y

f ( ) ( ) ( , )

(b) dla ciągłych zmiennych X, Y , brzegowe gęstości są postaci







 f x y dy x

f_X( ) ( , )







 f x y dx y

f_Y( ) ( , ) .

D. (a) ^f^X^(x⁾^ _

y

y Y x X P x X

P(  ) (  ,  }) = ^y ^ ^ ^^y

y x f y

Y x X

P( , ) ( , ).

(b) ^F^X⁽^x⁾^^P⁽^X ^ ^x⁾ = ^P⁽^X ^ ^x^,^^^Y ^^⁾ = _^{ }^x__^_^f⁽^s^,^t⁾^dtds. Stąd

 ) (x

f_X F (x)

dx d

X = _^^_^f⁽^x^,^t⁾^dt.

Przykład. Dwuwymiarowa zmienna losowa ⁽^X^,^Y⁾ ma gęstość

(7)



 

 0

8 / ) ( ) 3 , (

y 2

y x x

f gdy ^¹^_przeciwnie^x^¹^,^¹^ ^y^¹ Znaleźć gęstość zmiennej losowej X.

Niech ^¹^ ^x^¹.







 f x y dy x

f_X( ) ( , ) = ^





1 

1

)2

8 (

3 x y dy

^





1 

1

2

2 2 )

8 (

3 x xy y dy =

1 ] 1 3 / 8[

3 2 2 3

 

 xy y y

x = ₄³^x² ^₄¹.



 

 0

4 / ) 1 3 ) ( (

x2

x

f_X gdy _przeciwnie^¹^^x^¹.

Gęstość zmiennej losowej Y ma identyczną postać.

(8)

Rozkłady warunkowe

(a) Niech ⁽^X^,^Y⁾ będzie dyskretną zmienną losową mającą funkcję prawdopodobieństwa ^f⁽^x^,^y⁾. Niech y – ustalone oraz ^f^Y⁽^y⁾^⁰.

Rozkład warunkowy zmiennej losowej X pod warunkiem, że Y = y określa warunkowa funkcja prawdopodobieństwa:

) (x y

f = ^f_f⁽^x₍^,_y^y₎⁾

Y , x – dowolna wartość zmiennej X.

) (x y

f = ^P⁽^X_P₍^_Y^x_^,^Y_y₎^ ^y⁾ ^ ^P⁽^X ^^x^Y ^ ^y⁾ =

funkcja prawdopodobieństwa zmiennej X pod warunkiem, że zmienna Y przyjęła wartość y.

Analogicznie:

) (yx

f = ^f_f⁽^x₍^,_x^y₎⁾

X = ^P⁽^Y ^ ^y^X ^^x⁾, gdzie^f^X⁽^x⁾^⁰. Notacja: ^f⁽^x^y⁾^ ^f^X^Y⁽^x^y⁾

(9)

) ( )

(yx f yx

f  _Y _X

(b) Niech ⁽^X^,^Y⁾ będzie ciągłą zmienną losową o łącznej gęstości ^f⁽^x^,^y⁾.

Niech y – ustalone oraz ^f^Y⁽^y⁾^⁰.

Warunkową gęstością prawdopodobieństwa zmiennej losowej X pod warunkiem, że ^Y ^ ^y nazywamy funkcję

) (x y

f = ^f_f⁽_Y^x₍^,_y^y₎⁾, ^^^^x^^.

Przykład. (kontynuacja)



 

 0

8 / ) ( ) 3 , (

y 2

y x x

f gdy ^¹^_przeciwnie^x^¹^,^¹^ ^y^¹

 ) ( y f_Y



 

0 4 / ) 1 3

( y² gdy

przeciwnie y 1 1 



Niech ^¹^ ^y^¹ - ustalone.

) (x y

f = ³₍₃⁽^x_y²^_^y₁⁾₎²_/^/₄⁸ = ³₆⁽^x_y²^_^y₂⁾² dla ^x^^[¹^,¹^]

) (x y

f = 0 dla ^x^^[¹^,¹^].

Uwaga. Analogicznie określamy rozkład warunkowy

(10)

zmiennej losowej Y pod warunkiem X = x. Zatem

) (yx

f = ^f_f⁽_X^x₍^,_x^y₎⁾, gdzie y – dowolna wartość Y, x - ustalone, takie że ^f^X⁽^x⁾^⁰. Notacja: ^f⁽^y^x⁾^ ^f^Y^X⁽^y^x⁾, ^f⁽^x^y⁾^ ^f^X^Y⁽^x^y⁾

Przykład. (kontynuacja)

(a) Znaleźć rozkład brzegowy zmiennej Y, liczby punktów uzyskanych w II etapie teleturnieju przez losowo wybranego uczestnika.

(b) Wyznaczyć rozkład warunkowy Y pod warunkiem, że w I etapie uzyskano 2 punkty, tzn. X = 2.

Y X

0 1 2

0

0,5 0,05 0,01

1

0,2 0,1 0,06

2

0,02 0,03 0,03 Y

X

0 1 2 0,5 0,05 0,01

(11)

0 1

0,2 0,1 0,06

2

0,02 0,03 0,03

(a) ^f^Y^{( y}⁾ = ^f⁽⁰^,^y⁾^ ^f⁽¹^,^y⁾^ ^f⁽²^,^y⁾. Stąd

Y 0 1 2 ^f^Y^{( y}⁾ 0,72 0,18 0,1 (b) ^f ^{( y}²⁾ = ^f_f⁽_X²₍^,₂^y₎⁾ = ?

) 2 0 (

f = ^f^Y ^X⁽⁰²⁾ =^f⁽²^,⁰⁾^/ ^f^X⁽²⁾ =

= 0,02/(0,02 + 0,03 + 0,03) =1/4,

) 2 1 (

f = ^f^Y ^X⁽¹²⁾ = ^f⁽²^,¹⁾^/ ^f^X⁽²⁾ =

= 0,03/0,08 = 3/8,

) 2 2 (

f = ^f^Y ^X⁽²²⁾ = ^f⁽²^,²⁾^/ ^f^X⁽²⁾=

= 0,03/0,08 = 3/8.

Niezależne zmienne losowe

(12)

Definicja. Niech ⁽^X^,^Y⁾ będzie dwuwymiarową zmienna losową o dystrybuancie ^F⁽^x^,^y⁾ oraz dystrybuantach

brzegowych ^F^X^(x^), ^F^Y^{( y}⁾, ^x^,^y^⁽^^,^⁾. Zmienne losowe X, Y są niezależne, jeśli

) ( ) ( )

,

(x y F x F y

F  _X _Y ,

dla wszystkich wartości x, y.

Twierdzenie. Zmienne losowe X, Y są niezależne wtedy i tylko wtedy gdy

) ( ) ( ) ,

(x y f x f y

f  _X _Y ,

dla wszystkich wartości x, y.

Wniosek. Poniższe warunki są równoważne:

(i) Zmienne losowe X, Y są niezależne.

(ii) ^f⁽^x^y⁾^ ^f^X⁽^x⁾, ^^^^x^^, dla wszystkich y, takich że ^f^Y⁽^y⁾^⁰.

(iii)^f⁽^y^x⁾^ ^f^Y⁽^y⁾, ^^^ ^y^^, dla wszystkich x, takich że ^f^X⁽^x⁾^⁰.

Przykład. ( kontynuacja )

Czy liczby punktów uzyskane w I i II etapie teleturnieju przez losowo wybranego uczestnika są niezależnymi zmiennymi losowymi ?

(13)

Y X

0 1 2

0

0,5 0,05 0,01

1

0,2 0,1 0,06

2

0,02 0,03 0,03

) 2 , 0 ( ) 1 , 0 ( ) 0 , 0 ( ) 0

( f f f

f_X    = 0,5 + 0,05 +

+ 0,01 = 0,56. ^f^Y⁽⁰⁾^ ^f⁽⁰^,⁰⁾^ ^f⁽¹^,⁰⁾^ ^f⁽²^,⁰⁾ = 0,5 + 0,2

+ 0,02 = 0,72.

Stąd ^f⁽⁰^,⁰⁾^⁰^,⁵^⁰^,⁵⁶^⁰^,⁷²^ ^f^X⁽⁰⁾^f^Y⁽⁰⁾, Zmienne losowe ^{X ,}^Y są zależne.

Przykład. ( kontynuacja ). Czy X, Y są niezależnymi zmiennymi losowymi, jeśli ich łączna gęstość ma

postać:



 

 0

8 / ) ( ) 3 , (

y 2

y x x

f gdy ^¹^_przeciwnie^x^¹^,^¹^ ^y^¹

(14)

Dla ^x^, ^y^^[^¹^,¹^] :

4 / ) 1 3 ( )

(x  x² 

f_X oraz ^f^Y⁽^y⁾^{ y}⁽³ ² ^¹⁾^/⁴.

) ( ) ( ) ,

(x y f x f y

f  _X _Y .

Przykład. Czasy poprawnej pracy dwu podzespołów są niezależnymi zmiennymi losowymi X, Y o rozkładach wykładniczych z parametrami ^¹^,^²^, odpowiednio.

Średnie czasy pracy podzespołów wynoszą 1000 (godzin ) i 1200 ( godzin ). Obliczyć

prawdopodobieństwo zdarzenia takiego, że każdy podzespół nie ulegnie awarii przed upływem 1500 godzin.

1000 /

1 )

(X  ₁ 

E (godz.),

1200 /

1 )

(Y  ₂ 

E (godz.)

Stąd ^¹ ^¹^/¹⁰⁰⁰ (1/godz.) ^² ^¹^/¹²⁰⁰ (1/godz.).

) 1500 ,

1500 (X  Y 

P = ^P⁽^X ^¹⁵⁰⁰⁾^P⁽^Y ^¹⁵⁰⁰⁾ =

1500 1500 ₂

1 

 

  e

e = ^e^¹⁵⁰⁰^/¹⁰⁰⁰^{ e}^¹⁵⁰⁰^/¹²⁰⁰ =

= 0,2231^0,2865 = 0,0639.

Wartość oczekiwana. Kowariancja.

)]

, ( [g X Y

E = ^{ }x y

y x f y x

g( , ) ( , ),

gdy X, Y są dyskretne,

)]

, ( [g X Y

E = _^^{ }__^_^g⁽^x^,^y⁾^f⁽^x^,^y⁾^dxdy,

gdy X, Y są ciągłe.

(15)

Uwaga. Dla ^g⁽^X^,^Y⁾^ ^X lub ^g⁽^X^,^Y⁾^^Y otrzymujemy

wartości oczekiwane brzegowych zmiennych losowych X lub Y.

Np.

] [ X

E = ^{ }x y

y x

xf( , ) = ^{ }x y

y x f

x ( , ) = = ^_x ^xf^X⁽^x⁾^^^X .

Stwierdzenie. Niech c będzie dowolną stałą, a ^g⁽^X^,^Y⁾,

) ,

1(X Y

g , ^g²⁽^X^,^Y⁾ zmiennymi losowymi jednowymiarowymi. Wówczas

)]

, ( [ ) , (

[cg X Y cE g X Y

E  ,

)]

, ( [ )]

, ( ) , (

[g₁ X Y g₂ X Y E g₁ X Y E g₂ X Y

E    .

D. Dowód jest bezpośrednią konsekwencją definicji wartości oczekiwanej oraz własności całki i sumowania.

Stwierdzenie. Jeśli zmienne losowe X, Y są niezależne, to

) ( ) ( )

(XY E X E Y

E  .

D. Niezależność zmiennych jest równoważna

) ( ) ( ) ,

(x y f x f y

f  _X _Y . Stąd i z definicji wartości oczekiwanej mamy

(16)

(a) (zmienne dyskretne )

)]

, ( [g X Y

E = ^{ }x y

y x f y x

g( , ) ( , ).

) ( XY

E = ^{ }x y xyf (x,y) = ^{ }x y xyfX(x)fY(y)=

 

x xfX (x) y yfY(y) = ^y yfY(y) ^

x xfX(x) =

) ( ) ( ) ( )

(Y E X E X E Y

E  .

(b) (zmienne ciągłe) Dowód analogiczny - Sumowanie należy zastąpić całkowaniem.

Definicja. Niech X i Y będą zmiennymi losowymi o łącznej funkcji prawdopodobieństwa ( gęstości ) ^f⁽^x^, ^y⁾. Kowariancją zmiennych X i Y nazywamy liczbę:

)]

)(

[( _X _Y

XY E X  Y 

    .

Uwaga.

Z definicji ^^XY oraz ^E^[^g⁽^X^,^Y^)], przyjmując

) )(

( ) ,

(x y x _X y _Y

g    , otrzymujemy wzory:

XY ^^{ }x y (x^X)(y^Y)f(x,y),

gdy X, Y są dyskretne ^^XY ^_^^{ }__^_⁽^x^^^X⁾⁽^y^^^Y⁾^f⁽^x^,^y⁾^dxdy,

(17)

gdy X, Y są ciągłe.

Notacja: Zamiast ^^XY często piszemy Cov (X,Y).

Interpretacja. Kowariancja określa pewną współzależność między zmiennymi losowymi:

(a) Jeśli „dużym” wartościom zmiennej X

przewyższającym ^^X towarzyszą zwykle „duże”

wartości zmiennej Y przewyższające ^^Y, a wartościom X mniejszym od ^^X towarzyszą zwykle wartości Y mniejsze od ^^Y, to ^^XY > 0.

(b) Jeśli wartościom zmiennej X większym od ^^X towarzyszą zwykle wartości Y mniejsze od ^^Y

wartościom X mniejszym od ^^X towarzyszą zwykle wartości Y większe od od ^^Y, to ^^XY < 0.

Stwierdzenie. Cov(X,Y) = ^E⁽^XY⁾^^^X^^Y. D. Cov(X,Y) = ^E^[(^X ^^^X⁾⁽^Y ^^^Y^)] =

= ^E⁽^XY ^^X^^Y ^^Y^^X ^^^X^^Y⁾ =

= Ê⁽^XY⁾^Ê⁽^X^^Y⁾^Ê⁽^Y^^X⁾^^^X^^Y =

= ^E⁽^XY⁾^^^X^^Y.

Twierdzenie. Jeśli zmienne losowe X i Y są niezależne, to

(18)

Cov(X,Y) = 0.

D. Dla niezależnych zmiennych losowych

) ( ) ( )

(XY E X E Y

E  . Stąd oraz wzoru na kowariancję mamy:

Cov(X,Y) = ^E⁽^XY⁾^^^X^^Y =

= ^E⁽^X⁾^E⁽^Y⁾^^^X^^Y = 0.

Uwaga. Twierdzenie odwrotne nie jest na ogół prawdziwe.

Twierdzenie. Dla dowolnych stałych a, b Var(^aX ^^bY⁾ =

^a²Var(X) + ^b²Var(Y) + 2^abCov(X,Y).

D. E{ ^⁽^aX ^^bY⁾^⁽^a^^X ^^b^^Y⁾^² } =

E{ ^â⁽^X ^^^X⁾^^b⁽^Y^^^Y⁾^² } = E{ ^â⁽^X ^^^X⁾⁾^² } + E ^²âb⁽^X ^^^X⁾⁽^Y ^^^Y⁾^ + E{ ^^b⁽^Y ^^^Y⁾^² } =

= ^a²Var(X) + 2abCov(X,Y) + ^b²Var(Y). c.k.d.

(19)

Wniosek. Jeśli zmienne losowe X i Y są niezależne, to

Var(^aX ^^bY) = ^a²Var(X) + ^b²Var(Y).

Definicja. Współczynnikiem korelacji między zmiennymi losowymi X i Y nazywamy liczbę:

) ( ) (

) , (

Y Var X Var

Y X

 Cov

 .

Przykład. ^ ^^?

Y X

0 1 2

0

0,5 0,05 0,01

1

0,2 0,1 0,06

2

0,02 0,03 0,03

) ( X

E = ^{ }x y

y x f

x ( , ) = 0^(0,5 + 0,05 + 0,01) +

+ 1^(0,2 + 0,1 + 0,06) + 2^(0,02+0,03+0,03) = 0,52.

(20)

) (Y

E = ^{ }x y

y x f

y ( , ) = 0 ^(0,5 + 0,2 + 0,02) +

+ 1^(0,05 + 0,1 + 0,03) + 2^(0,01+0,06+0,03) = 0,38.

Y X

0 1 2

0

0,5 0,05 0,01

1

0,2 0,1 0,06

2

0,02 0,03 0,03

) ( XY

E = ^{ }x y

y x

xyf ( , ) = 0 + 0 + 0 + 0 + 1^¹^0,1 +

+ ¹^²^⁰^,⁰⁶ + ²^¹^⁰^,⁰³ + ²^²^⁰^,⁰³ = 0,31.

Cov(X,Y) = 0,31 – 0,52 ^⁰^,³⁸ = 0,1124.

 ) (X²

E 1²  (0,2 + 0,1 + 0,06) + + ²²^⁽⁰^,⁰²^⁰^,⁰³^⁰^,⁰³⁾ = 0,68

 ) (Y²

E 1² ^{(0,05 +} 0,1 + 0,03) + + ²²^⁽⁰^,⁰¹^⁰^,⁰⁶^⁰^,⁰³⁾ = 0,58.

Var(X) =Ê⁽^X²⁾^^[Ê⁽^X^)]² ^⁰^,⁶⁸^⁰^,⁵²²=0,4096 Var(Y) = Ê⁽^Y²⁾^^[Ê⁽^Y^)]² ^⁰^,⁵⁸^⁰^,³⁸² = 0,4356

. 2661 , 4356 0 , 0 4096 , 0

1124 ,

0 

 

