Xn mają rozkład o tej samej wartości oczekiwanej EXi = a, i = 1

rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna (4inf, rpism, 2007/2008)

11. Estymacja punktowa – zadania do samodzielnego rozwiązania

1. Z partii kondensatorów wybrano losowo 12 sztuk i zmierzono ich pojemności otrzymując (w pF): 4,45 4,40 4,42 4,38 4,44 4,36 4,40 4,39 4,45 4,35 4,40 4,36.

(a) Znajdź oszacowanie nieznanej wartości przeciętnej pojemności kondensatora pocho- dzącego z danej partii.

(b) Znajdź nieobciążone oszacowanie wariancji pojemności tych kondensatorów.

2. Zmienne losowe X₁, . . . , X_n mają rozkład o tej samej wartości oczekiwanej EX_i = a, i = 1, . . . , n. Wykaż, że estymatory postaci

T = a₁X₁+ · · · + a_nX_n a₁+ · · · + a_n ,

n

X

i=1

a_i 6= 0, a_i ∈ R, są nieobciążonymi estymatorami parametru a.

3. Niech X1, X2, . . . , Xn będzie próbą prostą z rozkładu o gęstości f (x) = _2a¹ sin ^x_a
1(0,aπ)(x).

Wykaż, że ˆa_n= _π²x¯_n jest zgodnym i nieobciążonym estymatorem parametru a.

4. Rozważmy estymator

θ(xˆ ₁, . . . , x_n) = 1 − 1 n

n

X

i=1

1_(0,1)(x_i) parametru θ = P (X > 1) zmiennej losowej o rozkładzie E(λ).

(a) Czy ˆθ jest zgodnym ciągiem estymatorów parametru θ?

(b) Oblicz ryzyko estymatora ˆθ w punkcie θ.

5. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości f (x) = _p²2 x1_[0,p)(x). Dla próby n-elementowej przyjęto, że ˆθ = ¯X² + ¯X jest estymatorem parametru θ = ²₃p(²₃p + 1). Czy jest to estymator asymptotycznie nieobciążony?

6. Niech ˆp_n: R → R,

ˆ

p_n(x₁, . . . , x_n) = 1 n

n

X

i=1

1{1}(x_i).

Pokaż, że {ˆp_n} jest mocno zgodnym ciągiem estymatorów parametru p rozkładu geome- trycznego z parametrem p ∈ (0, 1). Oblicz ryzyko estymatora ˆpn w punkcie p ∈ (0, 1).

7. Niech X1, . . . , Xn będzie próbą losową prostą z rozkładu wykładniczego z parametrem λ.

Czy

λ : Rˆ ⁿ → R, ˆλ(x₁, . . . , x_n) = ¯x − x₍₁₎,

gdzie x₍₁₎ = min(x₁, . . . , x_n) jest asymptotycznie nieobciążonym estymatorem wartości oczekiwanej?

8. Rozważmy estymator ˆθ_n: Rⁿ→ R,

θˆ_n(x₁, . . . , x_n) = exp(−x₁+ · · · + x_n

n ).

Uzasadnij, że {ˆθ_n}_n∈N jest mocno zgodnym ciągiem estymatorów parametru θ = P (X = 0), gdzie X ∼ P (λ).

1

rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna (4inf, rpism, 2007/2008)

9. Niech X₁, . . . , X_n będzie próbą prostą z rozkładu normalnego N (a, σ²). Dobierz stałą k tak, aby estymator

T = k

n−1

X

i=1

(Xi+1− Xi)² był nieobciążonym estymatorem parametru σ².

10. Niech X₁, . . . , X_n będzie próbą prostą z rozkładu jednostajnego U (0, a). Czy estymatory T₁ = n + 1

n X_(n), T₂ = n

n − 1X_(n) parametru a są

(a) nieobciążone,

(b) asymptotycznie nieobciążone?

11. Niech X₁, . . . , X_n będzie próbą prostą z rozkładu gamma G(α, λ) o gęstości f (x) = λ^α

Γ(α) x^α−1e^−λx1_(0,∞)(x),

gdzie α jest znane, a λ nie znane. Udowodnij, że jeśli nα > 2, to statystyka T = nα − 1

n¯x

jest nieobciążonym i zgodnym estymatorem parametru λ.

2