a x,wykªadow a prze±lizgn¡ª si nad problemem deni ji tej»e dlaxniewymierny h (byªokonsekwentnie powiedzianejedynie, jak sili zywarto±¢

Byªo: Zbiór argumentów; zbiór warto± i; monotoni zno±¢; funk ja odwrotna; funk ja li-

niowa; kwadratowa; wielomiany; funk je wymierne; funk je trygonometry zne i i h od-

wrotno± i; funk ja wykªadni za ilogarytmi zna.

1.1 Funk ja wykªadni za  kilka dopowiedze«

1.1.1 Warto±¢ funk ji wykªadni zej dla argumentów niewymierny h

Mówi¡ o funk ji wykªadni zej

a ^x

^{, wykªadow a} prze±lizgn¡ª si nad problemem deni ji tej»e dla

x

niewymierny h (byªokonsekwentnie powiedzianejedynie, jak sili zywarto±¢

a ^x

^dla

x ∈ Q

^{).Terazbdzieotym}dopowiedzenie."Szkolny"sposóbwprowadzeniapotgi

a ^x

^dla

x

niewymierny hpolegaªzazwy zaj nazdeniowaniu

a ^x

^{jakograni y}

lim

n→∞ a ^{r n}

^,gdzie

{r n }

^{byª jakim± i¡giem} monotoni znym li zb wymierny h zbie»nym do

x

^{(np. i¡giem}

przybli»e« dziesitny h

x

^{). W wykªadzie szkolnym zazwy zaj nie dowodziªo si istnienia}

grani y tego i¡gu, poprzestaj¡ na argumenta h intui yjny h. Uzbrojeni w twierdzenia

ograni a h i¡gów, mo»emyªatwo pokaza¢istnieniegrani y

lim

n→∞ a ^{r n}

^{:Otó»je±li}

{r n }

^jest

i¡giem monotoni znym, totaki jest te» i¡g

a ^{r n}

^{; jest to ponadto i¡g} ograni zony, wi

zbie»ny.

1.1.2 Funk ja wykªadni za o podstawie

e

Okazuje sidogodne (zprzy zyn, którestan¡ sijasneniedªugo) wzi¡¢wdeni jifunk ji

wykªadni zej

a = e

^{. Funk ja odwrotna do}

e ^x

^{, tzn.}

log _e x

^{,nazywasi logarytmem natural-}

nym 1

.

1.2 Grani a funk ji w punk ie

Def. deni jaHeinegoLi zb

g

^{nazywamy grani ¡ funk ji}

f

^{wpunk ie}

a

^{( o ozna zamy:}

x→a lim f (x) = g

^{) je»eli dla ka»dego i¡gu}

{x n }

^{zbie»nego do}

a

^{i o wyraza h ró»ny h od}

a

za hodzirówno±¢:

n→∞ lim f(x n ) = g

Przykª.

lim

x→0 (x ² ) = 0

^{.We¹my bowiem dowolny i¡g}

{x n }

^{zbie»ny dozera; mamy:}

n→∞ lim (x n ) ² =



n→∞ lim x _n

 2

= 0.

Przykª.Rozwa»my funk j

sgn(x)

^{, deniowan¡ jako}

sgn(x) =



 

 

+1

^dla

x > 0 0

^dla

x = 0

−1

^dla

x < 0

(1)

Funk ja sgn

(x)

^{nie posiada grani y w punk ie}

x = 0

^{. We¹my bowiem:}

x _n = ¹ _n

^{; mamy}

n→∞ lim x _n = 0

^oraz

lim

n→∞ sgn(x n ) = 1

^{. We¹my teraz drugi i¡g}

x ^′ _n = − _n ¹

^{; mamy}

lim

n→∞ x ^′ _n = 0

oraz

lim

n→∞ sgn(x ^′ _n ) = −1

^{, takwi}

lim

x→0 sgn(x)

^{nie istnieje.}

1

WprowadzonojewXVII w.,apierwsizrobilitoNapieri Bernoulli.

Mo»na jednak mówi¢ tuo grani y jednostronnej w punk ie

0

^.

Def. Li zb

g

^{nazywamy grani ¡} lewostronn¡ (prawostronn¡)funk ji

f

^{w punk ie}

a

^,

je±li warunki:

lim

n→∞ x _n = a

ⁱ

x _n < a

(odpowiednio

x _n > a

^{) implikuj¡}

lim

n→∞ f (x n ) = g

^.

Sytua je teozna zamy symbolami:

x→a lim − f (x) = g

^{grani a} lewostronna i

lim

x→a +

f (x) = g

^{ grani a}prawostronna. (2) W ten sposób, mamy

Przykª. ( .d.)

x→0 lim − sgn(x) = −1

ⁱ

lim

x→0 +

sgn(x) = +1.

Symbolu

lim

x→a f (x)

^{u»ywamy równie» naozna zenie grani y} niewªa± iwej:

Przykª. Mamy:

lim

x→0 1

x ² = ∞

^;

natomiast

Przykª.

lim

x→0 1

x

^{nie istnieje; natomiast:}

x→0 lim −

1

x = −∞

ⁱ

lim

x→0 +

1

x = +∞.

Przykª. Podobnie:

lim

x→ ^π ₂ tg(x)

^{nie istnieje; natomiast:}

lim

x→ ( ^π 2 ) −

tg(x) = −∞

ⁱ

lim

x→ ( ^π 2 ) +

tg(x) = +∞.

Istniej¡jednakfunk je,które nieposiadaj¡nawetjednostronny hgrani (wªa± iwy h,ani

niewªa± iwy h). Nale»ydo ni hnp. funk ja:

f (x) = sin

 1 x



x 6= 0.

W punk ie

x = 0

^{nie posiada ona} jednostronnej grani y (ani lewo-, ani prawostronnej).

Aby pokaza¢ nieistnieniegrani y prawostronnej,we¹my dwa i¡giowyraza hdodatni h:

{x n } = _(4n+1)π ²

^,

{x ^′ n } = _(4n+3)π ²

^{. Oba i¡gi s¡zbie»ne dozera. Mamy}

f (x n ) = sin

 1 x _n



= sin (4n + 1)π 2

!

= sin



2πn + π 2



= +1

ipodobnie

f (x ^′ _n ) = sin 1 x ^′ _n

!

= sin



2πn + 3π 2



= −1

Widzimy,»e nieistnieje grani aprawostronna wzerze(podobnieprzekonujemysi, »e nie

istnieje te» grani a lewostronna).

Pró z grani y funk ji dlasko« zonego

a

^{, rozwa»amy te» grani  w} niesko« zono± i.

Def.Mówimy,»egrani ¡funk ji

f(x)

^wniesko« zono± ijestli zba

g

^(ozn.

lim

x→∞ f (x) = g

^{),je»eli dlaka»dego i¡gu}

{x n }

^{takiego, »e}

lim

n→∞ x = ∞

^{za hodzi:}

lim

n→∞ f (x n ) = g

^.

Przykª. Mamy:

x→∞ lim 1

x = 0, lim

x→∞ e ^x = ∞, lim

x→−∞ e ^x = 0.

⁽³⁾

Przykª.Funk je trygonometry zne:

sin x, cos x, tg x

^{nie posiadaj¡grani w}

±∞

^.

Tw.Przyzaªo»eniu,»egrani e

lim

x→a f(x)

ⁱ

lim

x→a g(x)

^{istniej¡is¡sko« zone,za hodz¡wzory:}

x→a lim [f (x) + g(x)] = lim

x→a f (x) + lim

x→a g(x);

⁽⁴⁾

x→a lim [f (x) − g(x)] = lim

x→a f (x) − lim

x→a g(x);

⁽⁵⁾

x→a lim [f (x)g(x)] = lim

x→a f (x) · lim

x→a g(x);

⁽⁶⁾

x→a lim f (x)

g (x) = lim

x→a f (x)

x→a lim g (x) ,

^je»eli

lim

x→a g (x) 6= 0.

⁽⁷⁾

Wzory te pozostaj¡ te» prawdziwe, je±li

a

^jest

±∞

^{, jak te» s¡ prawdziwe dla grani}

jednostronny h.

Dow. Dowody s¡ takiesame jak dla grani i¡gówz poprzedniegorozdziaªu.

Mamy te» analogonyinny h twierdze« dlagrani i¡gów:

Tw.Je±li grani e

lim

x→a f (x)

ⁱ

lim

x→a g (x)

^{istniej¡, to}

nierówno±¢

f (x) ¬ g(x)

^implikuje

lim

x→a f (x) ¬ lim

x→a g (x);

⁽⁸⁾

nierówno± i

f (x) ¬ h(x) ¬ g(x)

^{wraz z równo± i¡}

lim

x→a f (x) = lim

x→a g(x)

implikuj¡

lim

x→a f(x) = lim

x→a h(x) = lim

x→a g(x).

⁽⁹⁾

Jak poprzednio, wzory tes¡ te» prawdziwe dla

a = ±∞

^{oraz dlagrani} jednostronny h.

Dowody s¡ analogi znejak wprzypadu grani i¡gów.

CBDO

1.4 Kilka warunków dostate zny h istnienia grani y

Najsampierwprzenie±my deni j i¡guograni zonego na funk je:

Def. Mówimy,»e funk ja

f (x)

^jestograni zonaz góry (doªu),je»eliistnieje takastaªa

M

^{, »e dla ka»dego}

x

^{z dziedziny za hodzi:}

f (x) < M

(odpowiednio

f (x) > M

^{). W±ród}

ró»ny hanalogonównaistnieniegrani i¡gówi funk ji, mamynastpuj¡ y odpowiednik

twierdzenia o zbie»no± i i¡gówmonotoni zny hograni zony h:

Tw. Je±li funk ja jest niemalej¡ a i ograni zona z góry, to istnieje grani a

lim

x→a −

f (x)

dladowolnego

a

^.

Uwaga.Niezbdnejesttuzaªo»enieomonotoni zno± ifunk ji.Dlafunk jiniemonoto-

ni zny htwierdzenietonie za hodziprzypomnijmy sobieprzykªadfunk ji

f (x) = sin _x ¹

^.

Ci¡g

n a − ¹ _n ^o

^{jestrosn¡ y,ast¡d i¡g}

^n a − ¹ _n ^o

^jestniemalej¡ y;aponiewa»jestte»

ograni zony, tojest zbie»ny. Nie h

n→∞ lim f



a − 1 n



= g.

Pozostaje pokaza¢, »e przy narzu eniu warunków:

lim

n→∞ x _n = a

^oraz

x _n < a

^{za hodzi}

n→∞ lim f (x n ) = g.

We¹myjakie±

ǫ > 0

^{.Istniejewów zas}

N

^takie,»e

g −f ^ a − _N ^{1 } < ǫ

^{.Maj¡ to}

N

^bierzemy

takie

k

^{, »eby dla}

n > k

^{za hodziªa nierówno±¢}

a − _N ¹ < x _n

^{. St¡d}

f



a − 1 N



< f (x n ),

sk¡d

g − f (x n ) < g − f



a − 1 N



< ǫ.

⁽¹⁰⁾

Jedno ze±nie: Poniewa»

x _n ^n→∞ → a

^{, to dla ka»dego}

n

^istnieje

r _n

^{takie, »e}

x _n < a − _r ¹

n

.

Mamy st¡d

f (x n ) < f



a − 1 r _n



¬ g =⇒ g − f (x n ) > 0.

⁽¹¹⁾

Zobu nierówno± i: (10) i(11) mamy:

−ǫ < 0 < g − f (x n ) < ǫ =⇒ |g − f (x n )| < ǫ =⇒ lim

n→∞ f (x n ) = g.

CBDO

W analogi zny sposób dowodzi si twierdze« dla funk ji nierosn¡ y h oraz dla grani

prawostronny h. Mo»na to podsumowa¢jako

Tw. Je±lifunk ja jest nierosn¡ a lub niemalej¡ a i ograni zona,to grani e

lim

x→a ±

f (x)

istniej¡ wka»dym punk ie

a

^{. Dla}

a = ±∞

^{,istnieje grani a}

lim

x→±∞ f (x)

CBDO

Za hodzi te» twierdzenie wpewnym sensie odwrotne:

Tw. XX Je±li funk ja

f

^{nie posiada grani y sko« zonej w punk ie}

a

^{, to istnieje i¡g}

{x n }

^taki,»e

x _n 6= a

^,

lim

n→∞ x = a

^{oraz i¡g}

{f (x n )}

^{jestrozbie»ny.}

Bez dowodu. jednak TRZEBA dowodu! Ale wtedy trzeba jesz ze odpowied-

niego dowodu dla analogonu z i¡gów. A dla d.  jesz ze o superpozy ji w

grani y.

Pró z deni ji Heinego,jest jesz ze jedna, innaalerównowa»na, irówniewa»na, de-

ni ja Cau hy'ego.

Def. Mówimy, »e funk ja

f

^{posiadaw punk ie}

a

^{grani }

g

^{, je»eli}

∀ ǫ>0 ∃ δ>0 ∀ x:0<|x−a|<δ : |f (x) − g| < ǫ.

A oto obie ana równowa»no±¢:

Tw. XXX Obie deni je grani y funk ji w punk ie: Cau hy'ego i Heinego s¡ równo-

wa»ne.

tzn. je±li funk jaw jakim± punk ie ma grani wmy±l def.Cau hy'ego,to maj¡ te»zgodniez def.

Heinegoinaodwrót;aje±li niemawmy±ldef.Cau hy'egotonie mate» zdef.Heinegoinaodwrót.

Dow. Przypu±¢my najsampierw,»e warunek Cau hy'ego nie jest speªniony, tzn.

∃ ǫ>0 ∀ δ>0 ∃ x:0<|x−a|<δ : |f (x) − g| ­ ǫ.

W sz zególno± i,bior¡

δ = ¹ _n

^, wnioskujemy, »e istnieje i¡g

{x n }

^taki,»e

0 < |x n − a| < 1

n

⁽¹²⁾

|f (x n ) − g| ­ ǫ.

⁽¹³⁾

Warunek (12) mówi,»e

lim

n→∞ x _n = a

^oraz

x _n 6= a

^{. Gdybywi} przypu± i¢, »e

lim

x→a f (x) = g

^,

tomusiaªabyby¢speªnionarówno±¢

lim

n→∞ f (x n ) = g

^{; aletarówno±¢ jest sprze zna z(13).}

Pokazali±my w ten sposób, »e warunek Cau hy'ego jest konie zny, aby funk ja posia-

daªa grani w my±l deni ji Heinego.

Teraz poka»emy, »e jest onrównie»warunkiem wystar zaj¡ ym.

Nie hbdziedane

ǫ > 0

^{i nie h}

lim

n→∞ x = a

^oraz

x _n 6= a

^{.Poniewa»zzaªo»enia warunek}

Cau hy'egojestspeªniony,toistnieje

δ > 0

^takie,»enierówno±¢:

0 < |x n −a| < δ

^implikuje

|f (x n ) − g| < ǫ

^{. Poniewa» speªniona jest równo±¢}

lim

n→∞ x = a

^{, to nierówno±¢}

|x n − a| < δ

za hodzidlawszystki hdostate zniedu»y h

n

^{(tzn.po z¡wszy odpewnego}

M ∈ N

^).Dla

ty h

n

^{mamy wi nierówno±¢}

|f (x n ) − g| < ǫ

^{, a to zna zy, »e}

lim

n→∞ f (x n ) = g

^{ zyli}

lim x→ f (x) = g

^.

Wteorii i¡gówmieli±mywarunekCau hy'ego dla i¡gów,któregospeªnieniegwaran-

towaªozbie»no±¢ i¡gu. Przygrani y funk ji mamy analogi znetwierdzenie.

Tw.XXXXWarunkiemkonie znym idostate znymnaistnienie(sko« zonej)grani y

funk ji

f

^{w punk ie}

a

^{jest, aby dla dowolnego}

ǫ > 0

^{istniaªo takie}

δ > 0

^{, »e dla}

x, x ^′

speªniaj¡ y h:

0 < |x − a| < δ, 0 < |x ^′ − a| < δ

⁽¹⁴⁾

za hodzi:

|f (x) − f (x ^′ )| < ǫ

^.

Dow. Poka»emy najsampierw konie zno±¢ tego warunku. Je±li

lim

x→a f (x) = g

^{, to dla}

dowolnego zadanego

ǫ > 0

^{istnieje takie}

δ > 0

^{, »e warunek:}

0 < |x − a| < δ

^implikuje

|f (x) − g| < ¹ ₂ ǫ

^{. Je±li wi warunki (14) s¡ speªnione,to za hodz¡} nierówno± i:

|f (x) − g| < 1

2 ǫ i |f (x ^′ ) − g| < 1 2 ǫ,

ipododaniu ty h»e pod znakiemwarto± i bezwzgldnej otrzymujemy

|f (x) − f (x ^′ )| < ǫ

^.

Je±li hodzi o dostate zno±¢warunku, toprzypu±¢my, »e grani a funk ji

f

^{w punk ie}

a

^{nie istnieje, mimo i» s¡ speªnione zaªo»enia tw. XXXX. Istnieje wów zas na mo y tw.}

XX taki i¡g

{x n }

^{, »e}

lim

n→∞ x _n = a

^,

x _n 6= a

^{oraz »e i¡g}

{f (x n )}

^{jest rozbie»ny. Z}

równo± i

lim

n→∞ x _n = a

^{wynika, »e istnieje takie}

k

^{, »e dla}

n ­ k

^{mo»na w} nierówno± ia h (14) podstawi¢

x = x n

ⁱ

x ^′ = x k

^{. To implikuje, »e}

|f (x n ) − f (k k )| < ǫ

^{. Z} twierdzenia Cau hy'ego dla i¡gówwnioskujemy st¡d,»e i¡g

{f (x n )}

^{jest zbie»ny  wbrewnaszemu}

przypusz zeniu.

CBDO

Powy»sze twierdzeniaXXX iXXXXdaj¡ sirozszerzy¢ naprzypadek

a = ∞

^.Brzmi¡

one wtedy nastpuj¡ o:

Tw. XXX'. Warunkiem konie znym i dostate znym na to, aby za hodziªa równo±¢

x→∞ lim f (x) = g

^{jest, aby}

∀ ǫ>0 ∃ r ∀ x>r : |f (x) − g| < ǫ.

Tw. XXXX'. Warunkiem konie znym i dostate znym na to, aby istniaªa grani a (sko«-

zona)

lim

x→∞ f (x)

^{, jest, aby}

∀ ǫ>0 ∃ r ∀ x,x ^′ >r : |f (x) − f (x ^′ )| < ǫ.

CBDO

2 Funk je i¡gªe

Def. Mówimy, »e funk ja

f

^{jest i¡gªa w punk ie}

a

^{, je±li speªniony jest warunek}

x→a lim f(x) = f (a).

⁽¹⁵⁾

Przypominaj¡ sobie deni j grani y funk ji

f

^{w punk ie}

a

^{mo»na wi} powiedzie¢, »e dlafunk ji

f

^{i¡gªejwpunk ie}

a

^{mamy:Dladowolnego i¡gu}

{x n }

^takiego,»e

lim

n→∞ x _n = a

za hodzi

f ( lim

n→∞ x _n ) = lim

n→∞ f (x n ).

⁽¹⁶⁾

Je±liwrówno± i(15) zast¡pi grani przezgrani jednostronn¡,tootrzymamydeni j

i¡gªo± i jednostronnej:

Def. Mówimy,»e funk ja

f

^jest prawostronnie(lewostronnie) i¡gªawpunk ie

a

^,je±li

x→a→0 lim +

f(x) = f (a)



x→a→0 lim −

f(x) = f (a)



Je±lifunk ja

f

^{jst okre±lonaniedlawszystki h}

x

^{,dlaktóry hokre±lonajestgrani a,tow}

powy»szy h deni ja h ograni zamy zakres zmienno± i

x

^{do zbioru argumentów funk ji.}

I tak np. je±li

f

^{jest okre±lona na od inku domknitym}

[a, b]

^{, to i¡gªo±¢}

f

^{w punk ie}

a

ozna za jedynie jej i¡gªo±¢ prawostronn¡, i¡gªo±¢ wpunk ie

b

^{ i¡gªo±¢ lewostronn¡.}

Def. Funk j i¡gª¡ dla ka»dej warto± i argumentu ze zbioru

X

^{nazywamy funk j¡}

i¡gª¡ na

X

^.

I tak np. mówi¡ , »e funk ja

f

^{jest i¡gªa na od inku domknitym}

[a, b]

^{mamy na}

my±li, »e jest prawostronnie i¡gªa w punk ie

a

^, lewostronnie i¡gªa w punk ie

b

^oraz

obustronnie i¡gªawpunkta h wewntrzny h od inka

[a, b]

^.

Def. Mówimy,»e funk ja

f

^jestprzedziaªami i¡gªanaod inku

[a, b]

^{,je±liten od inek}

mo»napodzieli¢ zapomo ¡sko« zonego ukªadu punktów

a ₀ , a ₁ , a ₂ , . . . , a _n

^gdzie

a = a 0 < a ₁ < a ₂ · · · < a n = b

na podprzedziaªy

[a _k−1 , a _k ]

⁽

k = 1, 2, . . . , n

^{) w taki sposób, »e wewn¡trz ka»dego prze-}

dziaªufunk ja

f

^{jest i¡gªai istniej¡ grani e} jednostronne

lim

x→a k−1,+

f (x)

ⁱ

lim

x→a k,−

f (x)

^.

Innymi sªowy, funk ja posiadaj¡ a sko« zon¡ ilo±¢ punktów nie i¡gªo± i, w który h

istniej¡ obie grani ejednostronne, jest funk j¡ przedziaªami i¡gª¡.

Przykªady.

1. Pokazali±my niedawno, »e

lim

x→0 x ² = 0

^{. Zna zy to,»e funk ja}

f(x) = x ²

^{jest i¡gªaw}

punk ie

x = 0

^{(jest te» i¡gªana aªym zbiorze}

R

^{, o niedªugopoka»emy).}

2. Funk ja

f(x) = [x]

^{(wykres) jest nie i¡gªa w punkta h} aªkowity h. Dokªadniej, w ty h punkta h jest i¡gªa prawostronnie, le z nielewostronnie. Poniewa» jednak

grani elewostronne istniej¡,tojestprzedziaªami i¡gªanadowolnymod inkusko«-

zonym.

3. Funk ja

f (x) = sin ^{ 1} _x ^

^ma nieokre±lon¡ warto±¢ w punk ie

x = 0

^{. Dookre±lmy j¡}

tam, deniuj¡ :

f (0) = 0

^{. Nawet tak} dookre±lona funk ja jest nie i¡gªa w

x = 0

^,

poniewa» nieistniej¡ grani e (lewo- aniprawostronne) w tym punk ie.

4. Funk ja Diri hleta jest nie i¡gªaw ka»dym punk ie.

2.1 Warunek i¡gªo± i Cau hy'ego

Twierdzenie poni»ej mo»e by¢ przyjte jako deni ja i¡gªo± i funk ji (deni ja Cau-

hy'ego)Jestonarównowa»nadeni jiHeinego.Tarównowa»no±¢jestkonsekwen j¡twier-

dzeniao równowa»no± i warunków istnieniagrani funk ji: Cau hy'ego i Heinego.

Warunkiemkonie znymi dostate znymnato,aby funk ja

f

^{byªa i¡gªawpunk ie}

a

^,

jest,aby

∀ ǫ>0 ∃ δ>0 ∀ x:|x−a|<δ |f (x) − f (a)| < ǫ.

Mo»natowyrazi¢bardziejobrazowomówi¡ ,»e dostate zniemaªymprzyrostomzmiennej

niezale»nej odpowiadaj¡ tak maªe, jak tylko si h e, przyrosty warto± i funk ji. Mo»na

tozapisa¢ nastpuj¡ o (po ostatnimkwantykatorze wwyra»eniu powy»ej):

Warunek

|h| < δ

^implikuje:

|f (a + h) − f (a)| < ǫ

^.

Rys.

Jesz ze ina zej: Funk ja

f

^{jest i¡gªaw punk ie}

a

^{, je»eli}

x→h lim (f (x + h) − f (x)) = 0.

⁽¹⁷⁾

Uwaga. Ci¡gªo±¢ funk ji w punk ie jest wªasno± i¡ lokaln¡: Aby zbada¢, zy funk ja

jest i¡gªaw punk ie

a

^{,wystar zy zna¢ zna¢ t funk j w dowolnie maªymoto zeniu}

a

^.

2.2 Ci¡gªo±¢ funk ji elementarny h

Z wzorów na dziaªania na grani a h funk ji wynika od razu, »e dziaªania arytmety zne

wykonywane na funk ja h i¡gªy h daj¡ w wyniku funk je i¡gªe.

Innymi sªowy: Je±li funk je

f

^,

g

^{s¡ i¡gªe w punk ie}

a

^{, to i h suma, ró»ni a, ilo zyn,}

iloraz (je±li

g (a) 6= 0

^{) s¡ równie» i¡gªe w punk ie}

a

^.

Zróbmyteraz maªy katalog funk ji i¡gªy h:

•

^{Funk ja staªa}

f (x) = const.

^{i funk ja}

f (x) = x

^{s¡ funk jami i¡gªymi, o wida¢ od}

razu zdeni ji.

•

^{St¡d oraz z} twierdzenia o i¡gªo± i ilo zynu i sumy funk ji i¡gªy h wynika, »e wielomiany s¡ funk jami i¡gªymi.

•

^{St¡d oraz z} twierdzenia o i¡gªo± i ilorazu funk ji i¡gªy h wynika, »e funk je wy- mierne

f (x) = ^P _Q(x) ^(x)

^{s¡ funk jami i¡gªymi w ty h punkta h,gdzie}

Q (x) 6= 0

^.

•

^{Ci¡gªo±¢ funk ji} wykªadni zej

a ^x

^,

a > 0

^. Najsampierw poka»emy, »e

x→0 lim a ^x = 1.

Pamitamy bowiem grani dla i¡gów:

n→∞ lim a ^{1 n} = 1.

n→∞ lim a ^{− n 1} = 1

n→∞ lim a ^{n 1} = 1.

Dlatego te», dladowolnego

ǫ > 0

^{mo»na znale¹¢ wska¹nik}

N

^{taki, »e (dla}

a > 1

⁾

1 − ǫ < a ^{− N 1} < a ^{N 1} < 1 + ǫ

Je»eli teraz we¹miemy takie

x

^{, »e}

|x| < _N ¹

^{, ( zyli}

− _N ¹ < x < _N ¹

^{), tomamy}

a ^{− N 1} < a ^x < a ^{N 1}

sk¡d

1 − ǫ < a ^x < 1 + ǫ =⇒ |a ^x − 1| < ǫ

ato ozna za, »e

lim

x→0 a ^x = 1.

Teraz!We¹mydowolne

x

^.Mamy:

a ^x+h −a ^x = a ^x (a ^h −1)

^oraz

lim

h→0 a ^h = 1

^,sk¡d

lim

h→0 a ^x+h − a ^x = 0

^{, o zgodnie z wersj¡ warunku i¡gªo± i (17) ozna za, »e funk ja}

a ^x

^{jest i¡gªaw}

dowolnym punk ie

x

^.

•

^{Ci¡gªo±¢ funk ji} trygonometry zny h. Przypominaj¡ sobie deni j funk ji

sin x

(RYS) mamy nierówno±¢ (dla

x > 0

^):

0 < sin x < x

St¡d, namo y twierdzenia o grani a htrze hfunk ji, wynika, »e

x→0 lim sin x = 0

⁽¹⁸⁾

(± i±lerze zbior¡ ,powy»szagrani ajestgrani ¡prawostronn¡;alezantysymetriifunk ji

sin wynika równie» ta sama równo±¢ dla grani y lewostronnej). Nierówno±¢ (18) zna zy

te», »e funk ja

sin x

^{jest i¡gªaw}

x = 0

^.

Znaj¡ grani  (18) ªatwo poka»emy, »e

x→0 lim cos x = 1.

Mamy bowiem:

1 − cos x = 2 sin ^{2 x} ₂ < 2 sin ^x ₂ < x

^{, o  na mo y} twierdzenia o grani a h trze h funk ji  ozna za, »e

lim

x→0 (1 − cos x) = 0

^{. Mamy te» w ten sposób} ustanowion¡

i¡gªo±¢ funk ji

cos x

^wzerze.

Teraz poka»emy,»e funk je:

sin x

ⁱ

cos x

^{s¡wszdzie i¡gªe,} korzystaj¡ tuz warunku (17).

Mamy bowiem:

sin(x + h) − sin x = 2 sin h

2 cos x + h 2

!

i,korzystaj¡ z nierówno± i:

| sin x| ¬ |x|

^oraz

| cos x| ¬ 1

^{, mamy}

| sin(x + h) − sin x| ¬ |h| =⇒ lim

h→0 | sin(x + h) − sin x| = 0

zyli

h→0 lim sin(x + h) − sin x = 0.

| cos(x + h) − cos x| = 2

    

sin h 2

    

·

    

sin x + h 2

!    

¬ |h|

odaje

h→0 lim cos(x + h) − cos x = 0.

Wniosek.Funk ja

tg x = _{cos x} ^{sin x}

^{jest i¡gªadla}

x 6= ^π ₂ + kπ

^{, a}

ctg x

^dla

x 6= kπ

^(tu

k ∈ Z

^).

•

^{Do kompletu funk ji} elementarny h trzeba by jesz ze pokaza¢ i¡gªo±¢ logarytmu oraz funk ji yklometry zny h (odwrotny h dofunk ji trygonometry zny h). Zrobimyto

za hwil, kiedy poka»emy i¡gªo±¢funk ji odwrotny h do i¡gªy h.

Na razie za± bdziemy potrzebowa¢:

Tw.Je±li

lim

x→a f (x) = A

ⁱ

lim

y→A g(y) = B

^,to

lim

x→a g(f (x)) = B

^.

Dow. Nie h

lim

n→∞ x _n = a

^{; mamy wtedy}

lim

n→∞ f (x n ) = A

^{. We¹my}

y _n = f (x n )

^{. Mamy}

n→∞ lim y _n = A

^,zatem

lim

n→∞ g(y n ) = B = lim

n→∞ g(f (x n ))

^{, ato zna zy, »e}

lim

x→g (f (x)) = B

^.

CBDO

Korzystaj¡ z tego, poka»emy, »e superpozy ja (zªo»enie) dwó h funk ji i¡gªy h jest

funk j¡ i¡gª¡. Dokªadniej:

Tw. Je±li funk ja

y = f (x)

^{jest i¡gªa w punk ie}

x = a

^{, za± funk ja}

z = g(y)

^jest

i¡gªaw punk ie

y = f (a)

^{, tofunk ja}

g(f (x))

^{jest i¡gªawpunk ie}

x = a

^.

Dow. We¹my i¡g

{x n }

^{taki, »e}

lim

n→∞ x _n = a

^{. Mamy wtedy}

lim

n→∞ f (x n ) = f (a)

^{. Bior¡}

b = f (a)

ⁱ

y _n = f (x n )

^mamy

lim

n→∞ y _n = b

^{, sk¡d} wykorzystuj¡ zkolei i¡gªo±¢ funk ji

g

^:

n→∞ lim g (y n ) = g(b),

^tzn.

lim

n→∞ g (f (x n )) = g(f (a)).

CBDO

Przykª.Przywoªywanatukilkakrotniefunk ja

sin ^{ 1} _x ^

^{jest i¡gªawewszystki hpunk-}

ta hpoza

x = 0

^.

2.3 Niektóre ogólne wªasno± i funk ji i¡gªy h

Def. Ci¡gªo±¢ jednostajna Mówimy, »e funk ja

f

^{jest i¡gªa jednostajnie na zbiorze X,}

je±li

∀ ǫ>0 ∃ δ>0 ∀ x,x ^′ ∈X:|x−x ^′ |<δ : |f (x) − f (x ^′ )| < ǫ.

⁽¹⁹⁾

Uwaga 1. Zauwa»my, »e deni ja i¡gªo± i zwykªej mówiªa o i¡gªo± ifunk ji w punk ie,

natomiastdeni ja i¡gªo± ijednostajnej mówio i¡gªo± ifunk ji na zbiorze.

Uwaga 2. Porównuj¡ to zdeni j¡ i¡gªo± i funk ji

f

^{wpunk ie}

x

^:

∀ ǫ>0 ∃ δ>0 ∀ x ^′ :|x−x ^′ |<δ : |f (x) − f (x ^′ )| < ǫ.

wida¢nastpuj¡ eró»ni e:Wdeni ji i¡gªo± izwykªej,deltamogªazale»e¢odwybranego

ǫ

^oraz

x

^{. W deni ji i¡gªo± i} jednostajnej, delta mo»e zale»e¢ tylko od

ǫ

^{, musi za± by¢}

taka sama dla wszystki h

x ∈ X

^.

Przykª. Rozwa»my funk j

f (x) = x ²

^{na zbiorze}

X ₁ = [0, 1]

^{i na zbiorze}

X ₂ = [0, ∞[

^.

Na obu ty h zbiora h jest o zywi± ie i¡gªa w zwykªym sensie. Co do i¡gªo± i jedno-

stajnej, to

f (x)

^{jest i¡gªa} jednostajnie na

X ₁

^{(wystar zy wzi¡¢}

δ = ₃ ^ǫ

^przy sprawdzaniu warunku (19)), natomiast nie jest i¡gªajednostajnie na

X ₂

^{. We¹my bowiem np.}

ǫ = 1

ⁱ

jakiekolwiek

δ

^{. Wtedy}

x ^′ = x + ¹ ₂ δ

^{i mamy:}

f (x) − f (x ^′ ) = xδ + ¹ ₄ δ ²

^{, o mo»na u zyni¢}

dowolniedu»ym przezodpowiedni dobór

x

^{tu wystar zy wzi¡¢}

x = ¹ _δ

^.

Przykª. Funk ja

f x = _x ¹

^{jest i¡gªa na zbiorze}

X =]0, 1]

^{, natomiast nie jest tam}

jednostajnie i¡gªa.

Nastpuj¡ etwierdzeniemówiotym,»e takasytua janiemo»e sizdarzy¢dlafunk ji

i¡gªy h naod inku domknitym.

Tw. o i¡gªo± i jednostajnej Funk ja i¡gªana od inku domknitym

[a, b]

^{jest te» na}

nimjednostajnie i¡gªa.

Dow. sibdzieodbywaª przez sprowadzenie doniedorze zno± i (tzn. przyjmijmy,»e

prawdziwejestzaprze zenie tezy,i jakokonsekwen j otrzymamysprze zno±¢). Przyjmij-

mywi ,»eistnieje

ǫ > 0

^{takie,»e dlaka»dego}

δ > 0

^{istniejeparaargumentów}

x, x ^′

^{taki h}

»e

|x − x ^′ | < δ i |f (x) − f (x ^′ )| > ǫ.

Wsz zególno± i, bior¡

δ = _n ¹

^, wnioskujemy, »e istniej¡ takiedwa i¡gi

{x n }

ⁱ

{x ^′ n }

^,»e

a ¬ x n ¬ b, a ¬ x ^′ _n ¬ b, |x n − x ^′ _n | < 1

n , |f (x) − f (x ^′ )| ­ ǫ.

⁽²⁰⁾

Poniewa» i¡g

{x n }

^jest ograni zony, zatem  na podstawie tw. Bolzano-Weierstrassa  zawierapod i¡gzbie»ny

{x _mn }

^{. Ozna zmy jegograni jako}

c

^:

lim

n→∞ x _mn = c

^.Zpierwszej

z nierówno± i (20) mamy:

a ¬ c ¬ b

^{. Funk ja}

f

^{z zaªo»enia jest i¡gªawszdzie na}

[a, b]

^,

wi tak»e w punk ie

c ∈ [a, b]

^{. Mamy wi :}

lim

n→∞ f(x m n ) = f (c)

^{. Ale teraz: Rozwa»my}

pod i¡g i¡gu

{x ^′ n }

^{oty hsamy hnumera h, opod i¡g}

{x mn }

^{, tzn.}

{x ^′ _mn }

^{.Ztrze iej}

z nierówno± i (20) wynika, »e równie»

{x ^′ _mn }

^{d¡»y do tej samej grani y:}

lim

n→∞ x ^′ _m

n = c

^,

bo

lim

n→∞ x ^′ _m

n = lim

n→∞ x _{m n}

^{. Ci¡gªo±¢ funk ji}

f

^{jak poprzednio daje:}

lim

n→∞ f (x ^′ _{m n} ) = f (c)

^{. A}

zatem:

n→∞ lim (f (x ^′ _{m n} ) − f (x m n )) = 0.

Ale tojest sprze zne z ostatni¡z nierówno± i (20).

CBDO

Tw.(Weierstrassa).Funk ja

f

^{i¡gªawprzedzialedomknitym}

[a, b]

^jestograni zona, a ponadto osi¡ga tam swoje kresy: dolny

m = inf

x∈[a,b] f(x)

^{oraz górny}

M = sup

x∈[a,b]

f (x)

^.

Innymi sªowy, istniej¡ wtymprzedziale takiedwa punkty

c

ⁱ

d

^,»e

f (c) = m

^oraz

f (d) = M

^.

Dow.Poka»emynajsampierw,»efunk ja

f

^jestograni zona,tzn.

∃ A : ∀ x∈[a,b] : |f (x)| <

A

^.Otó»zpoprzedniegotwierdzenia(o i¡gªo± ijednostajnej)wnioskujemy,»e: Wzi¡wszy

np.

ǫ = 1

^{istnieje takie}

δ > 0

^{, »e je±li punkty}

x, x ^′

^{nale»¡ do przedziaªu o dªugo± i}

mniejszej o

δ

^{, to}

f (x) − f (x ^′ ) < 1

^{. We¹my}

n

^{takie, aby za hodziªa} nierówno±¢:

b−a n < δ

^.

W ten sposób, je±li podzielimy przedziaª

[a, b]

^na

n

^{z± i, todªugo±¢ ka»dego z ni hjest}

mniejsza od

δ

^{. Ozna zmy przez}

a ₀ , a ₁ , . . . , a _n

^{ko« e ty h} przedziaªów, przy zym

a ₀ = a

^,

a _n = b

^{.rys. W ten sposób mamy:}

dla

a ₀ ¬ x ¬ a 1

^:

|f (x) − f (a 1 )| < 1

^{, sk¡d}

|f (x)| ¬ 1 + |f (a 1 )|

^;

i ogólnie,w

k

^-tymprzedziale:

dla

a _k−1 ¬ x ¬ a k

^:

|f (x) − f (a k )| < 1

^{, sk¡d}

|f (x)| ¬ 1 + |f (a k )|

^.

Ozna zmyprzez

A

^{najwiksz¡zli zb ze zbioru}

{1 + |f (a k )|}

^,

k ∈ {1, 2, . . . , n}

^.Mamy

wten sposób:

|f (x)| < A

^dladowolnego

x ∈ [a, b]

^.

Wtensposóbpokazali±my,»efunk ja

f

^jestograni zona(tzn.zbiórwarto± itejfunk ji jest ograni zony). Istniej¡wi kresy: górny i dolny tego zbioru.

Poka»emy teraz przez sprowadzenie doniedorze zno± i »e

M

^{jest jedn¡ zwarto± i}

funk ji, tzn.

M = f (d)

^{dla pewnego}

d ∈ [a, b]

^{. Przypu±¢my wi , »e jest to nieprawda,}

tzn.

∀ _x∈[a,b] : M − f (x) 6= 0

^{. Skoro tak,to funk ja}

g(x) = 1

M − f (x)

jest okre±lona na aªym przedziale

[a, b]

^{i jest w tym przedziale i¡gªa. Jest to wi }

zgodnie z tym opokazali±my przed hwil¡ funk ja ograni zona. Istnieje wi takie

N

^,

»e

∀ x∈[a,b]

^:

g (x) < N

^{, zyli}

M − f (x) > _N ¹

^{, lub winnejformie:}

f (x) < M − _N ¹

^{. Alejestto}

sprze zne zzaªo»eniem, »e

M

^{jest kresem górnym zbioruwarto± i funk ji}

f

^na

[a, b]

^.

Dla kresu dolnegodowód jest analogi zny.

CBDO

Tw. (Wªasno±¢ Darboux). Funk ja i¡gªa w przedziale domknitym

[a, b]

^przyjmuje

wtym przedziale wszystkie warto± i po±rednie. Innymi sªowy:Je±li

f(a) < y < f (b)

^(lub

f (a) > y > f (b)

^{) to}

∃ c∈[a,b] : f (c) = y

^.

Dow. Zaªó»my, »e

f(a) < y < f (b)

^(gdy

f (b) < y < f (a)

^{, dowód jest} analogi zny).

Przypu±¢my, »e twierdzenie jest faªszywe, a w/e , »e

∀ x∈[a,b] : y − f (x) 6= 0

^{. Zdeniujmy}

funk j

h (x) = _{|y−f (x)|} ¹

^{;jestonaokre±lonana aªym}

[a, b]

^{,aponadtonamo y}twierdzenia Weierstrassa ograni zona.Nie h

h (x) < M

^{, tzn.}

|y − f (x)| > 1

M

⁽²¹⁾

Podstawiaj¡ w twierdzeniu OCJ

2

ǫ = _M ¹

wnioskujemy, »e istnieje

δ > 0

^{takie, »e dla}

dowolny h punktów

x, x ^′

^{nale»¡ y h doprzedziaªu o dªugo± imniejszej ni»}

δ

^{, za hodzi}

|f (x) − f (x ^′ )| < 1 M .

Nie h

n

^{ozna za li zbnaturaln¡tak¡,»e}

^b−a _n < δ

^{.Podzielmyod inek}

[a, b]

^na

n

^{równy h}

z± i. Wozna zenia hz poprzedniego twierdzenia mamy

|f (a k ) − f (a k−1 )| < 1

M dla k = 1, 2, . . . , n.

⁽²²⁾

Poniewa»

f (a 0 ) = f (a) < y < f (a n ) = f (b)

^{, wi w±rówd li zb}

1, 2, . . . , n

^{istnieje taka}

najmniejsza li zba

m

^,»e

y < f (a m )

^{. Mamy wi}

m > 0

^oraz

f (a m−1 ) < y < f (a m ), skąd 0 < y − f (a m−1 ) < f (a m ) − f (a m−1 ) < 1 M

(ostatnianierówno±¢wynika z (22)), o jednakprze zy (21).

CBDO

Zestawiaj¡ dwapoprzednietwierdzenia,mo»emypowiedzie¢,»e za hodzinastpuj¡ e

Tw. Funk ja i¡gªa w przedziale domknitym

[a, b]

^{przyjmuje wszystkie warto± i od}

kresu dolnego

m

^{dokresu górnego}

M

^{, wª¡ znie z}

m

ⁱ

M

^{. Innymisªowy,zbioremwarto± i}

funk ji jest przedziaª

[m, M]

^.

2

OCi¡gªo± iJednostajnej

niejestwarunkiemkonie znym, abytawªasno±¢ miaªamiejs e;za hodziona równie» dla

niektóry h funk ji nie i¡gªy h.

Przykª.

Przykª. Jak z wª. Darboux wynika istnienie pierwiastków rze zywisty h równania:

x ^2k+1 + a 2k x ^2k + · · · + a 0 = 0

^.

2.4 Ci¡gªo±¢ funk ji odwrotny h

Nie h

X, Y

^{ zbiory. Wiadomo, »e je±li}

f : X → Y

^{jest bijek j¡, to istnieje funk ja}

odwrotna

f ⁻¹ : Y → X

^.

Poka»emy teraz,»e funk ja odwrotnado funk ji i¡gªejjest i¡gªa. Dokªadniej,za ho-

dzinastpuj¡ e

Tw.Je±lifunk ja

f : [a, b] → [A, B]

^{jest i¡gª¡bijek j¡,tofunk jaodwrotna}

g ≡ f ⁻¹ : [A, B] → [a, b]

^{te» jest i¡gªa.}

Uwaga. Z tw.Weierstrassa wiemy,»e

A = m = inf

x∈[a,b] f(x)

^oraz

B = M = sup

x∈[a,b]

f(x)

^.

Dow. Nie h

m ¬ c ¬ M

^{. Na mo y ostatniego} Twierdzenia, funk ja

f

^{jest okre±lona}

wpunk ie

c

^{. Nie h}

c = lim

n→∞ y _n

^,gdzie

{y n }

^{nale»y doprzedziaªu}

[m, M]

^{, tzn. jest posta i}

y _n = f (x n )

^{. Trzeba pokaza¢, »e}

lim

n→∞ g (y n ) = g(c)

^.

Przeformuªujmytownastpuj¡ ysposób:Nie h

c = f (d)

^{.Trzebapokaza¢,»ewarunek}

n→∞ lim f (x n ) = f (d)

^{po i¡ga zasob¡}

lim

n→∞ x n = d

^(bo

g(y n ) = x n , g (c) = d

^{). Ci¡g}

{x n }

^jest

ograni zony, jako le»¡ y w przedziale

[a, b]

^{. Je±li tak, to mo»na wybra¢ z niego pod i¡g}

zbie»ny

{x k n }

^{. Nie h}

lim

n→∞ x _{k n} = d ^′

^{. Wyka»emy, »e}

d ^′ = d

^{. Z i¡gªo± i funk ji}

f

^wynika,

»e

lim

n→∞ f (x k n ) = f (d ^′ )

^{. Poniewa» za±}

n→∞ lim f (x k n ) = lim

n→∞ y _{k n} = lim

n→∞ y _n = lim

n→∞ f (x n ) = f (d),

(w drugiejrówno± ikorzystali±myz twierdzenia,»e je±li i¡g

{a n }

^jestograni zonyije±li wszystkie jego pod i¡gi zbie»ne s¡ zbie»ne do tej samej grani y

G

^{, to równie» sam i¡g}

{a n }

^{jestzbie»nydo}

G

^)wi

f(d ^′ ) = f (d)

^{.Poniewa»za±}

f

^{jestwzajemnie}jednozna zna, to

d = d ^′

^.

CBDO

Korzystaj¡ z powy»szego twierdzenia, poka»emy, »e

Tw.Ka»dafunk ja

f

^{, i¡gªanaod inku}

[a, b]

^{,bd¡ abijek j¡,jest± i±le}monotoni zna (tzn. ± i±le rosn¡ ab¡d¹ ± i±le malej¡ a).

Dow. Z zaªo»enia

f (a) 6= f (b)

^{. Zaªó»my, »e}

f(a) < f (b)

^{(gdy jest na odwrót, ro-}

zumowanie jest analogi zne). Udowodnimy, »e wtedy

f (x)

^{jest w aªym przedziale}

[a, b]

rosn¡ a. Nie h

x < x ^′

^{.Trzeba pokaza¢, »e}

f (x) < f (x ^′ )

^.

Zauwa»my najsampierw, »e warunki

a ¬ x ¬ b

ⁱ

f(a) < f (b)

^implikuj¡

f (a) ¬ f(x) ¬ f (b)

^{. Gdyby bowiem tak nie byªo, to mieliby±my albo i)}

f (x) < f (a)

^{, albo ii)}

f (x) > f (b)

^{. W przypadku i) mieliby±my} nierówno±¢:

f (x) < f (a) < f (b)

^{i, na mo y}

wªasno± i Darboux, istniaªby w przedziale

[x, b]

^punkt

x ^′′

^{taki, »e}

f (x ^′′ ) = f (a)

^{; ale to}

prze zyzaªo»eniu,»e

f(x)

^jestró»nowarto± iowa(bo

x ^′′ 6= a

^{).Wprzypadkuii)natomiast}

istniaªby w przedziale

[a, x]

^punkt

x ^′′′

^{taki, »e}

f (x ^′′′ ) = f (b)

^{, o z kolei jest sprze zne z}

zaªo»eniem oró»nowarto± iowo± i funk ji

f (x)

^{(bo podobniejak uprzednio }

x ^′′′ 6= b

^).

Pokazali±my wi , »e

f (a) ¬ f (x) ¬ f (b)

^. Jedno ze±nie wnioskujemy, »e warunki

x ¬ x ^′ ¬ b

ⁱ

f(x) < f (b)

^{po i¡gaj¡za sob¡}

f(x) ¬ f (x ^′ ) ¬ f (b)

^{.Tak wi}

f(x) < f (x ^′ )

^.

CBDO