są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie U (0, 1)

7. Słaba zbieżność i funkcje charakterystyczne – zadania do samodzielnego rozwiązania

Zad. 7.1 X₁, X₂, . . . jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie E(λ). Zbadać zbieżność według rozkładu ciągu

Yn= max{e^−λX1, e^−λX2, . . . , e^−λXn}.

Zad. 7.2 X₁, X₂, . . . są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie U (0, 1). Znaleźć roz- kład graniczny ciągu Y_n= n min{X₁, . . . , Xn}.

Zad. 7.3 Niech X1, X2, . . . będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie zadanym poprzez funkcję charakterystyczną o okresie 2π zdefiniowaną na przedziale [−π, π] wzorem ϕ(t) = 1 − |t| dla |t| ¬ 1, zaś ϕ(t) = 0 dla 1 ¬ |t| ¬ π. Niech Sn = X₁ + X₂+ . . . + X_n. Wyznacz funkcję charakterystyczną zmiennej losowej ^S_nⁿ. Znajdź granicę według rozkładu ciągu ^S_nⁿ.

Zad. 7.4 X₁, X₂, . . . są niezależnymi zmiennymi losowymi rozkładzie Cauchy’ego C(0, 1).

Znaleźć rozkład graniczny ciągu

Z_n= 1 3n

2n

X

i=1

X_i.

Zad. 7.5 X₁, X₂, . . . – iid. P (X_i = −1) = 0, 75, P (X_i= 1) = 0, 25. Zbadaj zbieżność według rozkładu ciągu

Y_n=

n

P

i=1

(X_i²− 1)

√6n .

Zad. 7.6 X_n, Y_n są niezależnymi zmiennymi losowymi, X_n ma rozkład jednostajny na od- cinku ^−_n¹,¹_n^, natomiast Y_n ma rozkład zadany równościami:

P



Yn= 1 + 1 n



= P



Yn= −1 + 1 n



= 1 2. Zmienna Z_n określona jest wzorem Z_n= 2X_n+ Y_n.

1. Wyznacz funkcję charakterystyczną zmiennej Z_n. 2. Wyznacz granicę według rozkładu zmiennej Zn.

Zad. 7.7 X1, X2, . . . – iid, Xi ma rozkład Poissona z parametrem λ. Zbadaj zbieżność według rozkładu ciągu

Y_n= X₁+ . . . + X_n− nλ

√

nλ .

Zad. 7.8 Zmienne X₁, X₂, . . . są niezależne i mają rozkład jednostajny na przedziale (−1, 1).

Wyznacz rozkład graniczny ciągu

Yn= min{e^X1, e^X2, . . . , e^Xn}.

Zad. 7.9 Niech X1, X2, X3, . . . będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym roz- kładzie dyskretnym: P (X_i = 0) = 0, 3, P (X = 1) = 0, 5, P (X = 2) = 0, 2. Zbadaj zbieżność według rozkładu ciągu:

Y_n=

n

P

i=1

(X_2i− X_2i−1)

√n .

Zad. 7.10 {Xk}_k∈N jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych takich, że X_k∼ N (k, k²), k ∈ N. Zbadaj zbieżność według rozkładu ciągu

Y_n= Pn k=1

1 kX_k

√n −√

n, n = 1, 2, . . .

Zad. 7.11 1. Wyznacz funkcję charakterystyczną zmiennej losowej o rozkładzie Laplace’a, tzn. zmiennej o gęstości rozkładu

f (x) = 1

2e^−|x|, x ∈ R.

2. Czy ciąg

X1+ X₂+ . . . + X_n

√n ,

gdzie X₁, X₂, . . . są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie Laplace’a jest słabo zbieżny? Jeśli tak, to do jakiej zmiennej?

Zad. 7.12 Zbadaj zbieżność według rozkładu ciągu

Y_n= 1

2X₁+ 1

2²X₂+ 1

2³X₃+ ... + 1 2ⁿX_n,

gdzie X₁, X2, ... są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie N (0, 1) każda.

Zad. 7.13 X₁, X₂, ... jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie U (0, 1). Zba- daj zbieżność według rozkładu ciągu

Z_n= Pn

k=1max(X_2k, X_2k−1)

√n −2

3

√n.